任意の収束次数の方程式の数値解法の漸化式を導く

$f(z)$を$z=\alpha$で零点をもち、$f^{\prime}(z)$が$z=\alpha$で非ゼロ値をとる正則関数とすると

$$f(z)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{f^{(n)}(\alpha)}{n!}(z-\alpha)^n$$

Laurent展開の定義より

$$g(z)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}c_n(z-\alpha)^n$$

ただし、
$\displaystyle c_n=\frac{1}{2\pi i }\oint_C\frac{g(\xi)}{(\xi-\alpha)^{n+1}}d\xi$

$\displaystyle g\rightarrow\frac{1}{f}$とすると

$$\frac{1}{f(z)}=\sum_{n=-\infty}^{\infty}c_n(z-\alpha)^n$$

$\displaystyle c_n=\frac{1}{2\pi i }\oint_C\frac{1}{f(\xi)(\xi-\alpha)^{n+1}}d\xi$

$$ c_{-1}=\frac{1}{2\pi i}\oint_C\frac{1}{f(\xi)}d\xi=\frac{1}{2\pi i}\oint_C\frac{1}{\sum_{n=1}^{\infty}\frac{f^{(n)}(\alpha)}{n!}(\xi-\alpha)^n}d\xi=\frac{1}{2\pi i}\oint_C\frac{(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{f^{(n)}(\alpha)}{n!}(\xi-\alpha)^{n-1})^{-1}}{\xi-\alpha}d\xi$$
$$c_{-1}= \lim_{\xi \to \alpha} (\sum_{n=1}^{\infty}\frac{f^{(n)}(\alpha)}{n!}(z-\alpha)^{n-1})^{-1}=\frac{1}{f^{\prime}(\alpha)}$$

よって示された。