長方形の面積を二等分するやつの証明

どうも、YKです。
今回やってみるのは幾何問題で結構な頻度で出てくる『とある直線が長方形の中心（対角線の交点）を通るだけでその面積を二等分する』の証明です。
そういや証明はやってないし見たこともないなぁー、ってなったので挑戦してみます。
まあ、高校１年過程でできそうな証明ではありますがね。

今回はこの長方形$\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{C}\mathrm{D}$を使って証明していきます。
長方形とゆかいな仲間たち。
図の規格は$\mathrm{A}\mathrm{B}=\mathrm{C}\mathrm{D}=20$,$\mathrm{A}\mathrm{D}=\mathrm{B}\mathrm{C}=30$,
$\tan (\mathrm{\angle }\mathrm{E}\mathrm{O}\mathrm{G})=1.6$。が、この数値はあまり関係ない。

$◻\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{C}\mathrm{D};\mathrm{A}\mathrm{C}$と$\mathrm{B}\mathrm{D}$の交点を$\mathrm{O}$とし、
点$\mathrm{O}$から線分$\mathrm{A}\mathrm{D},\mathrm{B}\mathrm{C},\mathrm{A}\mathrm{B},\mathrm{C}\mathrm{D}$に下ろした垂線の足をそれぞれ点$\mathrm{M},\mathrm{N},\mathrm{P},\mathrm{Q}$として、
また、中心を通る直線と長方形の辺の交点を$\mathrm{E},\mathrm{F}$とします。

今回は$\mathrm{E},\mathrm{F}$がそれぞれ$\mathrm{D}\mathrm{M},\mathrm{B}\mathrm{N}$の内部にありますが、
別の所にあっても同様の方法で証明できます。
${90}^{\circ }$回転と上下左右反転でもできるよ。

ということでやっていくぞぉ。
$S(◻\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{F}\mathrm{E})=S_1$、$S(◻\mathrm{C}\mathrm{D}\mathrm{E}\mathrm{F})=S_2$として、
$S_1=S_2$が証明できればオッケー。

できました。いえい。
↓ のは先に思い付いたけど結構長くて本編じゃなくなったやつ。座標軸を使って

これで十分、かな？　長方形が平行二等分線（$◻\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{C}\mathrm{D}$からは$\mathrm{M}\mathrm{N}$と$\mathrm{P}\mathrm{Q}$）に対して対称なのは座標平面にて証明できるかも。

それでは！　またどこかでお会いしましょう。
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