長方形の面積を二等分するやつの証明
どうも、YKです。
今回やってみるのは幾何問題で結構な頻度で出てくる『とある直線が長方形の中心（対角線の交点）を通るだけでその面積を二等分する』の証明です。
そういや証明はやってないし見たこともないなぁー、ってなったので挑戦してみます。
まあ、高校１年過程でできそうな証明ではありますがね。
今回はこの長方形$\rm ABCD$を使って証明していきます。
![長方形とゆかいな仲間たち。
図の規格は!FORMULA[1][1416224889][0],!FORMULA[2][577326552][0],
!FORMULA[3][-1843370163][0]。が、この数値はあまり関係ない。](https://firebasestorage.googleapis.com/v0/b/mathlog-361213.appspot.com/o/uploads%2Fmathdown%2F03YDkd4xZRejEAZXLNgS.png?alt=media)
長方形とゆかいな仲間たち。
図の規格は$\rm AB=CD=20$,$\rm AD=BC=30$,
$\tan\,(\angle\rm EOG)=1.6$。が、この数値はあまり関係ない。
$\square{\rm ABCD};\;{\rm AC}$と$\rm BD$の交点を$\rm O$とし、
点$\rm O$から線分$\rm AD,\;BC,\;AB,\;CD$に下ろした垂線の足をそれぞれ点$\rm M,\;N,\;P,\;Q$として、
また、中心を通る直線と長方形の辺の交点を$\rm E, \;F$とします。
今回は$\rm E,\;F$がそれぞれ$\rm DM,\;BN$の内部にありますが、
別の所にあっても同様の方法で証明できます。
$90^\circ$回転と上下左右反転でもできるよ。
ということでやっていくぞぉ。
$S(\square{\rm ABFE})={\color{blue}S_1}$、$S(\square{\rm CDEF})={\color{red}S_2}$として、
${\color{blue}S_1}={\color{red}S_2}$が証明できればオッケー。
$\rm \square ABCD$は$\rm MN$に対して対称、
また直線$\rm EF$も$\rm MN$に対して対称なので
$\rm DM=BN,\; EM=FN \Longrightarrow DE=BF$、
$\rm AD\;/\!\!/\;BC\Longrightarrow \angle DEF=\angle DFE,\;\angle AEF=\angle CFE$、
またほか長方形の性質、そして下記の多角形の合同条件から
$\rm \square ABFE\equiv\square CDEF$と言える。
ゆえに${\color{blue}S_1}={\color{red}S_2}\;\;\blacksquare$
＜多角形の合同条件＞
- 対応角の大きさがそれぞれ全て同じ
- 対応辺の長さがそれぞれ全て同じ
できました。いえい。
↓ のは先に思い付いたけど結構長くて本編じゃなくなったやつ。座標軸を使って
$\rm \square ABCD$は$\rm EF$と$\rm MN$に対してそれぞれ対象なので
$\rm \square AMOP\equiv\square DMOQ\equiv\square BNOP\equiv\square CNOQ$が成立する。
また、対頂角の性質から$\angle\rm EOM=\angle FON$、
$\rm\square OMDQ\equiv\square BPON$から$\rm OM=ON$、
$\therefore \triangle\rm EOG\equiv\triangle OFN\;(RSA)$
なので${\rm {\color{purple} \triangle NFO}={\color{purple} \triangle MEO}}=t$、
$\square{\rm ABNM=\square CDMN}=s$とすると
$\square{\rm ABCD}=2s$、
${\color{blue}S_1}={\rm \square ABNM-\triangle NFO+\triangle MEO}=s-t+t=s$、
${\color{red}S_2}={\rm \square CDMN-\triangle MEO+\triangle NFO}=s-t+t=s$
$\therefore {\color{blue}S_1}={\color{red}S_2}\quad\blacksquare$
これで十分、かな？ 長方形が平行二等分線（$\rm\square ABCD$からは$\rm MN$と$\rm PQ$）に対して対称なのは座標平面にて証明できるかも。
それでは！ またどこかでお会いしましょう。
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