長方形の面積を二等分するやつの証明

$\rm \square ABCD$は$\rm MN$に対して対称、
また直線$\rm EF$も$\rm MN$に対して対称なので
$\rm DM=BN,\; EM=FN \Longrightarrow DE=BF$、
$\rm AD\;/\!\!/\;BC\Longrightarrow \angle DEF=\angle DFE,\;\angle AEF=\angle CFE$、
またほか長方形の性質、そして下記の多角形の合同条件から
$\rm \square ABFE\equiv\square CDEF$と言える。

ゆえに${\color{blue}S_1}={\color{red}S_2}\;\;\blacksquare$

$\rm \square ABCD$は$\rm EF$と$\rm MN$に対してそれぞれ対象なので
$\rm \square AMOP\equiv\square DMOQ\equiv\square BNOP\equiv\square CNOQ$が成立する。

また、対頂角の性質から$\angle\rm EOM=\angle FON$、
$\rm\square OMDQ\equiv\square BPON$から$\rm OM=ON$、
$\therefore \triangle\rm EOG\equiv\triangle OFN\;(RSA)$

なので${\rm {\color{purple} \triangle NFO}={\color{purple} \triangle MEO}}=t$、
$\square{\rm ABNM=\square CDMN}=s$とすると
$\square{\rm ABCD}=2s$、
${\color{blue}S_1}={\rm \square ABNM-\triangle NFO+\triangle MEO}=s-t+t=s$、
${\color{red}S_2}={\rm \square CDMN-\triangle MEO+\triangle NFO}=s-t+t=s$
$\therefore {\color{blue}S_1}={\color{red}S_2}\quad\blacksquare$