解が高々可算個の C→C の関数方程式の解は, ほとんどの点で有理式で記述できる

$\C$上に解を無限個持つとき, 解を非可算もつことを示そう.
$\L_{\infty}=(+,-, \cdot, 1, 0)+(f_z)_{z\in\C}$を言語(各$f_z$は$1$変数の関数記号)とし, $\L_{\infty}$-文の集合$\D$を
$$\D=\{\exists x\lnot(f_z(x)=f_w(x))\mid z, w\in \C, z\neq w\}$$
で定める. いま, $\C$上に解を無限個存在するので, $\D$の任意の有限部分集合$d$に対して
$$\ACF+\Phi+d$$
はモデルをもつ. したがって, コンパクト性定理より
$$\ACF+\Phi+\D$$
はモデルを持つ. このモデルを一つとると, $|\ACF+\Phi+\D|=|\C|$に気をつければ, 命題3, 命題4より特に$|M|=|\C|$なるモデルの存在が従う. 命題5より, $M$を$\L$に制限すれば$\C$に同型なので, 各$f_z$の$M$での解釈は$|\C|$個(特に非可算個)の解を与える.

任意の$\L_f$-項$p(x_1, x_2, \ldots, x_n)$および$M_f, M_{\sigma\circ f\circ\sigma^{-1}}$それぞれでの解釈$p_f(x_1, x_2, \ldots, x_n)$と$p_{\sigma\circ f\circ\sigma^{-1}}(x_1, x_2, \ldots, x_n)$について, $a_1, \ldots, a_n\in\C$の代入を考えると, 以下が成立することが式に出てくる関数記号の個数についての帰納法でわかる:
$$p_f(a_1, a_2, \ldots, a_n)=\sigma^{-1}\left(p_{\sigma\circ f\circ\sigma^{-1}}(\sigma(a_1), \sigma(a_2), \ldots, \sigma(a_n))\right)$$
したがって, $\sigma$が全単射であることから, 任意の$\L$-文$\varphi$に対して,
$$M_f\vDash\varphi\Leftrightarrow M_{\sigma\circ f\circ\sigma^{-1}}\vDash\varphi$$
である. よって, $\sigma\circ f\circ\sigma^{-1}$も$\Phi$の解である.

1. 略
2. [2]p.171 定理3.2.3(2)と同様の議論を, $L$の$M$上の超越基底を保つ写像のみを考えて行うことで写像の延長が可能である.
3. $L/k, M/k$が有限次の場合はGalois理論として知られている([2]p.200 定理4.1.19(3)など). $L/k$が無限次, $M/k$が有限次の場合は, [3]p.277 命題2.7および[3]p.279例1から
   $$ \Gal(L/k)\cong\lim_{\substack{\longleftarrow\\ L\supset K\supset k}}\Gal(K/k)$$
   と計算でき(右辺はすべての有限次拡大を走る, 位相群の圏での射影極限), さらにコンパクト位相群の射影系においては$K\supset M$についての完全列
   $$\Gal(K/k)\to\Gal(M/k)\to 1$$
   は射影極限で保たれるので,
   $$\Gal(L/k)\cong\lim_{\longleftarrow}\Gal(K/k)\to\Gal(M/k)\to 1$$
   も完全となり, 全射性が示される(射影極限を取っているので$K\supset M$なるもののみについて考えてよい). $M/k$が無限次の場合は, さらに
   $$ \Gal(M/k)\cong\lim_{\substack{\longleftarrow\\ M\supset K\supset k}}\Gal(K/k)$$
   より, 完全列
   $$\Gal(L/k)\to\Gal(K/k)\to 1$$
   の射影極限
   $$\Gal(L/k)\to\Gal(M/k)\to 1$$
   を考えれば, 全射性が示される.

$\alpha$を含む$\Q$上の$\C$の超越基底をひとつ固定し, $\{\alpha_i\}_{i\in I}$とおく. また, $K=\Q(\{\alpha_i\}_{i\in I})$とおくと, $\C=K^{\alg}$であるので, $f(\alpha)$の$K$上の最小多項式を一つとり, $P(t)$とおく.
$P(t)$が$\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n\in\{\alpha_i\}_{i\in I}$のみに依存するとする. $n=0$なら示すことはない. そうでないとき, $\alpha\neq\alpha_1$であると仮定すると, $\alpha_1$と$\alpha'\in\{\alpha_i\}_{i\in I}\backslash\{\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n, \alpha\}$を交換し, $\alpha_2, \cdots, \alpha_n, \alpha$を固定する写像は$\Aut(\Q(\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n, \alpha, \alpha')/\Q)$の元であるが, 補題8よりこれは$\sigma\in\Aut(\C/\Q)$に拡張できる. この$\sigma$について補題7より$\sigma\circ f\circ\sigma^{-1}$は$\Phi$の解であるが, $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n$のとり方より任意の$\sigma$について$\sigma\circ f\circ\sigma^{-1}(\alpha)$は互いに相異なるため, 解の有限性に矛盾.
よって, $f(\alpha)$の最小多項式は$\alpha$のみに依存し, したがって$f(\alpha)\in\Q(\alpha)^{\text{alg}}$である.

超越数$\alpha$に対して, $f(\alpha)$の$\Qalg(\alpha)$上の最小多項式は, $\Qalg(s)[t]$の$t$についてモニックな元$P_\alpha(t, s)$が一意に存在して$P_\alpha(t, \alpha)$と書くことができる. このとき, すべての$\alpha$に対して, $P_\alpha(t, s)$は一致する.
実際, 超越数$\alpha_0, \alpha_1$に対して, $\alpha_0$と$\alpha_1$が$\Qalg$上代数的に従属な場合は$\{\alpha_0\}\cup\{\alpha_i\}_{i\in I}$および$\{\alpha_1\}\cup\{\alpha_i\}_{i\in I}$がいずれも$\C$の$\Qalg$上の超越基底となるように, 代数的に独立な場合は$\{\alpha_0, \alpha_1\}\cup\{\alpha_i\}_{i\in I}$が$\Qalg$上の超越基底となるように, $\{\alpha_i\}_{i\in I}$を取れる. いずれの場合も, 補題9と同様に基底の入れ替えによって誘導される$\C$の自己同型を考えることで, $j=0, 1$について$\{\alpha_i\}_{i\in I}$のうち有限個を除いたすべての$\alpha$に対して, $P_\alpha=P_{\alpha_j}$が成立する. これより$P_{\alpha_0}=P_{\alpha_1}$が従う.
共通の$P_\alpha$を単に$P$とかき, $P$の最小分解体のGalois群を$G$とおく. $\deg P\ge2$として矛盾を導く. $\Phi$の解の個数$n$について, $(\deg P)^m>n$なる正の整数$m$を取る. このとき, 推進定理を繰り返し用いることで, 代数的に独立な超越数$\alpha_1, \ldots, \alpha_m$に対して
$$\Gal(\Qalg(f(\alpha_1), \ldots, f(\alpha_m))^\Gal/\Qalg(\alpha_1, \ldots, \alpha_m))=G^m$$
が成立する. $G^m$の元のうち, $(\deg P)^m$個の元が存在し, それらによる$f(\alpha_1), \ldots, f(\alpha_m)$の移る先の組はいずれも相異なるようにできる. さらに, 補題8よりこれは$\Aut(\C/\Qalg(\alpha_1, \ldots, \alpha_m))$に延長できる. このようにして得た$(\deg P)^m$個の元のそれぞれについて補題7を適用することで, 解が$n$個であることに矛盾するため, $\deg P=1$である.
特に, $f(\alpha)\in\Qalg(\alpha)$である.

前半は補題10の証明より従う. 後半を示す.
$\{\alpha_i\}_{i\in I}$を超越基底とする. $f(\beta)\notin\Qalg$と仮定し, その最小多項式が$\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n\in\{\alpha_i\}_{i\in I}$のみに依存するとする. このとき, 補題9と同様$\alpha_1$と$\alpha'\in\{\alpha_i\}_{i\in I}\backslash\{\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n\}$を入れ替えて$\alpha_2, \cdots, \alpha_n$を固定する$\C$の自己同型は無限個の解を構成するので, 矛盾.
したがって, 最小多項式の係数は$\Qalg$の元からとれ, 特に$f(\beta)\in\Qalg$である.

言語$\L_1=(+,-, \cdot, 1, 0, f, c)$を考える. ここで, $c$は定数記号である. また,
$$R_i(t)=\dfrac{a_{i, p}t^p+a_{i, p-1}t^{p-1}+\cdots+a_{i, 0}}{b_{i, q}t^q+b_{i, q-1}t^{q-1}+\cdots+b_{i, 0}}$$
とおき(各係数は$\Qalg$の元), $a_{i, r}, b_{i, r}$の$\Q$上の最小多項式をそれぞれ$A_{i, r}(t), B_{i, r}(t)$とかく. さらに, $\L_1$-項$S, T$に対して, 以下の$\L_1$-文を単に$S\sim R_i(T)$とかく:
\begin{align*} \exists x_{i, p}\cdots\exists x_{i, 0}\exists y_{i, q}\cdots\exists y_{i, 0} & \big(S(y_{i, q}T^q+y_{i, q-1}T^{q-1}+\cdots+y_{i, 0})=x_{i, p}T^p+x_{i, p-1}T^{p-1}+\cdots+x_{i, 0} \\ & \land A_{i, p}(x_{i, p})=0\land\cdots\land A_{i, 0}(x_{i, 0})=0 \\ & \land B_{i, q}(y_{i, q})=0\land\cdots\land B_{i, 0}(y_{i, 0})=0\big) \end{align*}
これを用いて, 以下の$\L_1$-文の集合を考える.
\begin{align*} \Gamma_1&=\{\lnot(Q(c)=0)\mid Q(t)\in\Q[t], \deg Q\ge 1,Q:\text{モニック} \}\\ &\cup\{\lnot(f(c)\sim R_1(c)\lor \cdots\lor f(c)\sim R_n(c))\} \end{align*}
$f(x)=\sigma R_i(x)$と書けない$x\in\Qalg$が無限に存在すると仮定すると, $\ACF+\Phi+\Gamma_1$はモデルを持つ. 実際, コンパクト性定理より, 任意の有限部分集合がモデルを持つことをいえばよいが, $c$として$f(x)=\sigma R_i(x)$と書けない$x\in\Qalg$をうまく取ることで, 固定された任意の$\{\lnot(Q(c)=0)\mid Q(t)\in\Q[t], \deg Q\ge 1,Q:\text{モニック} \}$の有限部分集合を充足することができる.
Löwenheim-Skolemの定理および命題5より, 特に$\C$に$f$および$c$の解釈を付け加えた$\ACF+\Phi+\Gamma_1$のモデルを取れるが, $c$の解釈は超越数であるため, $R_i$のとり方に矛盾.
したがって, 主張が示された.

言語$\L_2=(+,-, \cdot, 1, 0, f, c_1, c_2)$を考える. ここで, $c_1, c_2$は定数記号である. また, $S\sim R_i(T)$の略記を補題12と同様に定める.
$f(x)=\sigma R_2(x)$なる$x\in\Qalg$が無限個存在したと仮定する. 以下の$\L_2$-文の集合を考える:
\begin{align*} \Gamma_2&=\{\lnot(Q(c_1)=0)\mid Q(t)\in\Q[t], \deg Q\ge 1,Q:\text{モニック} \}\\ &\cup\{\lnot(Q(c_2)=0)\mid Q(t)\in\Q[t], \deg Q\ge 1,Q:\text{モニック} \}\\ &\cup\{f(c_1)\sim R_1(c_1)\land f(c_2)\sim R_2(c_2)\} \end{align*}
このとき, 補題12と同様にコンパクト性定理より$\ACF+\Phi+\Gamma_2$は$\C$に$f$および$c_1, c_2$の解釈を付け加えたモデルをもつが, これは補題11に矛盾する.

恒等射でない$\sigma\in\Gal(\Qalg/\Q)$であって, $f(x)=\sigma R_1(x)$が成立する$x\in\Qalg$が無限に存在するようなものがあったとする. このとき, $\sigma$によって変化する$R_1$の係数を$a_{i, r}$とする($b$の場合もまったく同様にできる). 以下の$\L_2$-文の集合を考える:
\begin{align*} \varphi&=\exists x_{i, p}\cdots\exists x_{i, 0}\exists y_{i, q}\cdots\exists y_{i, 0}\exists x'_{i, p}\cdots\exists x'_{i, 0}\exists y'_{i, q}\cdots\exists y'_{i, 0}\\ &\big(f(c_1)(y_{i, q}c_1^q+\cdots+y_{i, 0})=x_{i, p}c_1^p+\cdots+x_{i, 0} \\ & \land f(c_2)(y'_{i, q}c_2^q+\cdots+y'_{i, 0})=x'_{i, p}c_2^p+\cdots+x'_{i, 0} \\ & \land A_{i, p}(x_{i, p})=0\land\cdots\land A_{i, 0}(x_{i, 0})=0 \land A_{i, p}(x'_{i, p})=0\land\cdots\land A_{i, 0}(x'_{i, 0})=0 \\ & \land B_{i, q}(y_{i, q})=0\land\cdots\land B_{i, 0}(y_{i, 0})=0\land B_{i, q}(y'_{i, q})=0\land\cdots\land B_{i, 0}(y'_{i, 0})=0 \\ & \land \lnot(x_{i, r}=x'_{i, r}) \big) \end{align*}
として
\begin{align*} \Gamma_3&=\{\lnot(Q(c_1)=0)\mid Q(t)\in\Q[t], \deg Q\ge 1,Q:\text{モニック} \}\\ &\cup\{\lnot(Q(c_2)=0)\mid Q(t)\in\Q[t], \deg Q\ge 1,Q:\text{モニック} \}\\ &\cup\{\varphi\} \end{align*}
このとき, 先の二つの補題と同様, コンパクト性定理より$\ACF+\Phi+\Gamma_3$は$\C$に$f$および$c_1, c_2$の解釈を付け加えたモデルをもつが, これは補題11に矛盾する.
いま, $\Gal(\Qalg/\Q)$の作用によって, 各係数の移る方法は有限通りであるため, 主張が従う.

補題6, 補題11, 補題14より直ちに従う.

$2$つの$\ACF+\Phi$のモデル$M\subset N$をとる. このとき, $M$と$N$が初等的同値であることを示そう. $\kappa>|M|+|\C|$なる無限基数$\kappa$を取ると, 上方Löwenheim-Skolemの定理より, $M$の拡大であり, 濃度$\kappa$のモデル$M^*$が存在する. 実は, このような拡大として初等拡大がとれることが知られている. $M^*$は$N$の拡大でもあるが, 定理15より, このような拡大は一意であるので再び上方Löwenheim-Skolemの定理より, $M^*$は$N$の初等拡大でもある. したがって, $M$と$N$は初等的同値である.