q超幾何級数のqモーメント

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関数 $f$ の区間 $[0, 1]$ でのモーメントは
$\begin{array}{r} \int_{0}^{1} x^{w - 1} f (x) d x \end{array}$
で与えられる. 関数 $f (x)$ が
$\begin{aligned} f (x) & = \sum_{0 \leq n} c_{n} x^{n} \end{aligned}$
とMaclaurin展開されているとき, 項別に積分できるならそれは
$\begin{aligned} \int_{0}^{1} x^{w - 1} f (x) d x & = \sum_{0 \leq n} \frac{c_{n}}{n + w} \end{aligned}$
と表される. その類似として, $q$ 積分を
$\begin{aligned} \int_{0}^{1} f (x) d_{q} x & := \sum_{0 \leq n} q^{k} f (q^{k}) \end{aligned}$
と定義すれば, 上のように展開される関数 $f$ の $q$ モーメントは
$\begin{aligned} \int_{0}^{1} x^{w - 1} f (x) d_{q} x & = \sum_{0 \leq k} q^{w k} f (q^{k}) \\ = \sum_{0 \leq n, k} c_{n} q^{(n + w) k} \\ = \sum_{0 \leq n} \frac{c_{n}}{1 - q^{n + w}} \end{aligned}$
と表される. 今回は $q^{w}$ をあらためて $w$ として
$\begin{array}{r} \sum_{0 \leq n} \frac{c_{n}}{1 - w q^{n}} \end{array}$
を $q$ モーメントとして考えることにする. 以下 $q$ 超幾何級数の場合を考える. まず, 一般 $q$ 超幾何関数の場合から考えるために
$\begin{aligned} c_{n} & := \frac{(a_{1}, \dots, a_{r}; q)_{n}}{(b_{1}, \dots, b_{r}; q)_{n}} t^{n} \end{aligned}$
とする. このとき, $c_{n}$ は漸化式
$\begin{array}{r} (1 - b_{1} q^{n - 1}) \dots (1 - b_{r} q^{n - 1}) c_{n} - (1 - a_{1} q^{n - 1}) \dots (1 - a_{r} q^{n - 1}) t c_{n - 1} = 0 \end{array}$
を満たす.
$\begin{array}{r} μ (w) := \sum_{0 \leq n} \frac{c_{n}}{1 - w q^{n}} \end{array}$
としてそれが満たす $q$ 差分方程式を考える. まず,
$\begin{aligned} 0 & = \sum_{0 \leq n} \frac{(1 - b_{1} q^{n - 1}) \dots (1 - b_{r} q^{n - 1}) c_{n} - (1 - a_{1} q^{n - 1}) \dots (1 - a_{r} q^{n - 1}) t c_{n - 1}}{1 - w q^{n}} \\ = \sum_{0 \leq n} \frac{((1 - b_{1} q^{n - 1}) \dots (1 - b_{r} q^{n - 1}) - (1 - b_{1} / w q) \dots (1 - b_{r} / w q)) c_{n}}{1 - w q^{n}} \\ - \sum_{0 \leq n} \frac{((1 - a_{1} q^{n - 1}) \dots (1 - a_{r} q^{n - 1}) - (1 - a_{1} / w q) \dots (1 - a_{r} / w q)) t c_{n - 1}}{1 - w q^{n}} \\ + (1 - b_{1} / w q) \dots (1 - b_{r} / w q) \sum_{0 \leq n} \frac{c_{n}}{1 - w q^{n}} \\ - (1 - a_{1} / w q) \dots (1 - a_{r} / w q) t \sum_{0 \leq n} \frac{c_{n - 1}}{1 - w q^{n}} \end{aligned}$
である. ここで, $b_{r} = q$ とすれば, $c_{- 1} = 0$ となるので,
$\begin{aligned} \sum_{0 \leq n} \frac{c_{n - 1}}{1 - w q^{n}} & = \sum_{0 \leq n} \frac{c_{n}}{1 - w q^{n + 1}} = μ (w q) \end{aligned}$
と書き換えらえるので, $q$ 差分方程式
$\begin{aligned} 0 & = \sum_{0 \leq n} \frac{((1 - b_{1} q^{n - 1}) \dots (1 - b_{r} q^{n - 1}) - (1 - b_{1} / w q) \dots (1 - b_{r} / w q)) c_{n}}{1 - w q^{n}} \\ - \sum_{0 \leq n} \frac{((1 - a_{1} q^{n - 1}) \dots (1 - a_{r} q^{n - 1}) - (1 - a_{1} / w q) \dots (1 - a_{r} / w q)) t c_{n - 1}}{1 - w q^{n}} \\ + (1 - b_{1} / w q) \dots (1 - b_{r} / w q) μ (w) - (1 - a_{1} / w q) \dots (1 - a_{r} / w q) t μ (w q) \end{aligned}$
が得られる. ここで, 第1項と第2項の分子は $1 - w q^{n}$ で割り切れることに注意すると, 両辺に $(w q)^{r}$ を書ければ $w$ に関する多項式になる. 以下の形でまとめる.

$b_{r} := q$ とする.
$\begin{array}{r} μ (w) := \sum_{0 \leq n} \frac{(a_{1}, \dots, a_{r}; q)_{n}}{(b_{1}, \dots, b_{r}; q)_{n}} \frac{t^{n}}{1 - w q^{n}} \end{array}$
と定義すると, $μ$ は差分方程式
$\begin{aligned} (w q - b_{1}) \dots (w q - b_{r}) μ (w) - (w q - a_{1}) \dots (w q - a_{r}) t μ (w q) \\ = \sum_{0 \leq n} \frac{((w q - b_{1}) \dots (w q - b_{r}) - (w q)^{r} (1 - b_{1} q^{n - 1}) \dots (1 - b_{r} q^{n - 1})) c_{n}}{1 - w q^{n}} \\ - \sum_{0 \leq n} \frac{((w q - a_{1}) \dots (w q - a_{r}) - (w q)^{r} (1 - a_{1} q^{n - 1}) \dots (1 - a_{r} q^{n - 1})) t c_{n - 1}}{1 - w q^{n}} \end{aligned}$
を満たす. ここで, 右辺は $w$ に関する多項式である.

上の方程式を用いて $μ (w q^{n})$ を $μ (w)$ で与える公式を求めたい. 命題1の右辺の多項式を $p (w)$ とする.
$\begin{aligned} (w q - b_{1}) \dots (w q - b_{r}) μ (w) - (w q - a_{1}) \dots (w q - a_{r}) t μ (w q) = p (w) \end{aligned}$
$w \mapsto w q^{n - 1}$ として
$\begin{aligned} \frac{(1 - w q^{n} / b_{1}) \dots (1 - w q^{n} / b_{r})}{(1 - w q^{n} / a_{1}) \dots (1 - w q^{n} / a_{r})} \frac{b_{1} \dots b_{r}}{a_{1} \dots a_{r} t} μ (w q^{n - 1}) - μ (w q^{n}) & = \frac{p (w q^{n - 1})}{(w q^{n} - a_{1}) \dots (w q^{n} - a_{r}) t} \end{aligned}$
と変形して両辺に
$\begin{array}{r} \frac{(w q / a_{1}, \dots, w q / a_{r}; q)_{n}}{(w q / b_{1}, \dots, w q / b_{r}; q)_{n}} {(\frac{a_{1} \dots a_{r} t}{b_{1} \dots b_{r}})}^{n} \end{array}$
を掛けると,
$\begin{aligned} \frac{(w q / a_{1}, \dots, w q / a_{r}; q)_{n - 1}}{(w q / b_{1}, \dots, w q / b_{r}; q)_{n - 1}} {(\frac{a_{1} \dots a_{r} t}{b_{1} \dots b_{r}})}^{n - 1} μ (w q^{n - 1}) - \frac{(w q / a_{1}, \dots, w q / a_{r}; q)_{n}}{(w q / b_{1}, \dots, w q / b_{r}; q)_{n}} {(\frac{a_{1} \dots a_{r} t}{b_{1} \dots b_{r}})}^{n} μ (w q^{n}) \\ = \frac{(- 1)^{r}}{a_{1} \dots a_{r} t} \frac{(w q / a_{1}, \dots, w q / a_{r}; q)_{n - 1}}{(w q / b_{1}, \dots, w q / b_{r}; q)_{n}} {(\frac{a_{1} \dots a_{r} t}{b_{1} \dots b_{r}})}^{n} p (w q^{n - 1}) \end{aligned}$
を得る. これを $n = 1$ から $N$ まで足し合わせると,
$\begin{aligned} μ (w) - \frac{(w q / a_{1}, \dots, w q / a_{r}; q)_{N}}{(w q / b_{1}, \dots, w q / b_{r}; q)_{N}} {(\frac{a_{1} \dots a_{r} t}{b_{1} \dots b_{r}})}^{N} μ (w q^{N}) \\ = \frac{(- 1)^{r}}{a_{1} \dots a_{r} t} \sum_{n = 1}^{N} \frac{(w q / a_{1}, \dots, w q / a_{r}; q)_{n - 1}}{(w q / b_{1}, \dots, w q / b_{r}; q)_{n}} {(\frac{a_{1} \dots a_{r} t}{b_{1} \dots b_{r}})}^{n} p (w q^{n - 1}) \\ = \frac{(- 1)^{r}}{b_{1} \dots b_{r}} \sum_{n = 0}^{N - 1} \frac{(w q / a_{1}, \dots, w q / a_{r}; q)_{n}}{(w q / b_{1}, \dots, w q / b_{r}; q)_{n + 1}} {(\frac{a_{1} \dots a_{r} t}{b_{1} \dots b_{r}})}^{n} p (w q^{n}) \end{aligned}$
これを $μ (w q^{N})$ について解くと,
$\begin{aligned} μ (w q^{N}) & = \frac{(w q / b_{1}, \dots, w q / b_{r}; q)_{N}}{(w q / a_{1}, \dots, w q / a_{r}; q)_{N}} {(\frac{b_{1} \dots b_{r}}{a_{1} \dots a_{r} t})}^{N} \\ \cdot (μ (w) - \frac{(- 1)^{r}}{b_{1} \dots b_{r}} \sum_{n = 0}^{N - 1} \frac{(w q / a_{1}, \dots, w q / a_{r}; q)_{n}}{(w q / b_{1}, \dots, w q / b_{r}; q)_{n + 1}} {(\frac{a_{1} \dots a_{r} t}{b_{1} \dots b_{r}})}^{n} p (w q^{n})) \end{aligned}$
を得る. まとめると以下のようになる.

$b_{r} := q$ とする.
$\begin{array}{r} μ (w) := \sum_{0 \leq n} \frac{(a_{1}, \dots, a_{r}; q)_{n}}{(b_{1}, \dots, b_{r}; q)_{n}} \frac{t^{n}}{1 - w q^{n}} \end{array}$
として, 多項式 $p (w)$ を
$\begin{aligned} p (w) & := \sum_{0 \leq n} \frac{((w q - b_{1}) \dots (w q - b_{r}) - (w q)^{r} (1 - b_{1} q^{n - 1}) \dots (1 - b_{r} q^{n - 1})) c_{n}}{1 - w q^{n}} \\ - \sum_{0 \leq n} \frac{((w q - a_{1}) \dots (w q - a_{r}) - (w q)^{r} (1 - a_{1} q^{n - 1}) \dots (1 - a_{r} q^{n - 1})) t c_{n - 1}}{1 - w q^{n}} \end{aligned}$
によって定義すると, $0 \leq N$ に対して,
$\begin{aligned} μ (w q^{N}) & = \frac{(w q / b_{1}, \dots, w q / b_{r}; q)_{N}}{(w q / a_{1}, \dots, w q / a_{r}; q)_{N}} {(\frac{b_{1} \dots b_{r}}{a_{1} \dots a_{r} t})}^{N} \\ \cdot (μ (w) - \frac{(- 1)^{r}}{b_{1} \dots b_{r}} \sum_{n = 0}^{N - 1} \frac{(w q / a_{1}, \dots, w q / a_{r}; q)_{n}}{(w q / b_{1}, \dots, w q / b_{r}; q)_{n + 1}} {(\frac{a_{1} \dots a_{r} t}{b_{1} \dots b_{r}})}^{n} p (w q^{n})) \end{aligned}$
が成り立つ.

$r = 2$ の場合を考える.
$\begin{aligned} c_{n} & := \frac{(a, b; q)_{n}}{(c, q; q)_{n}} t^{n} \\ μ (w) & := \sum_{0 \leq n} \frac{(a, b; q)_{n}}{(c, q; q)_{n}} \frac{t^{n}}{1 - w q^{n}} \end{aligned}$
として,
$\begin{aligned} p (w) & = \sum_{0 \leq n} \frac{(w q - c) (w q - q) - (w q)^{2} (1 - c q^{n - 1}) (1 - q^{n})}{1 - w q^{n}} c_{n} \\ - \sum_{0 \leq n} \frac{(w q - a) (w q - b) - (w q)^{2} (1 - a q^{n - 1}) (1 - b q^{n - 1})}{1 - w q^{n}} t c_{n - 1} \\ = \sum_{0 \leq n} (c q (1 + w q^{n}) - (c + q) w q) c_{n} - t \sum_{0 \leq n} (a b (1 + w q^{n}) - (a + b) w q) c_{n - 1} \\ = \sum_{0 \leq n} (c q - t a b + w q ((c - t a b) q^{n} + (a + b) t - c - q)) c_{n} \end{aligned}$
と $w$ に関する一次式になる. このとき,
$\begin{aligned} μ (w q^{N}) & = \frac{(w q / c, w; q)_{N}}{(w q / a, w q / b; q)_{N}} {(\frac{c q}{a b t})}^{N} (μ (w) - \frac{1}{c q} \sum_{n = 0}^{N - 1} \frac{(w q / a, w q / b; q)_{n}}{(w q / c, w; q)_{n + 1}} {(\frac{a b t}{c q})}^{n} p (w q^{n})) \end{aligned}$
と求められる. 特別な場合として $p (w)$ の定数項が $0$ になる場合を考えてみる. その条件は $c q = t a b$ , つまり $t = \frac{c q}{a b}$ である. このとき,
$\begin{aligned} p (w) & = w q \sum_{0 \leq n} (c (1 - q) q^{n} + \frac{(a + b) c q}{a b} - c - q) c_{n} \\ =: A w \end{aligned}$
と置く. 定数 $A$ を求めたい. Heineの和公式より,
$\begin{aligned} μ (c) & = \sum_{0 \leq n} \frac{(a, b; q)_{n}}{(c, q; q)_{n}} \frac{1}{1 - c q^{n}} {(\frac{c q}{a b})}^{n} \\ = \frac{1}{1 - c} \sum_{0 \leq n} \frac{(a, b; q)_{n}}{(c q, q; q)_{n}} {(\frac{c q}{a b})}^{n} \\ = \frac{(c q / a, c q / b; q)_{\infty}}{(c, c q / a b; q)_{\infty}} \end{aligned}$
であるから,
$\begin{aligned} p (w) = (w q - c) (w q - q) μ (w) - (w q - a) (w q - b) t μ (w q) \end{aligned}$
であったことを用いると, $w = \frac{c}{q}$
$\begin{array}{r} A = \frac{q}{c} p (\frac{c}{q}) = - \frac{q}{c} (c - a) (c - b) \frac{c q}{a b} μ (c) = - q^{2} \frac{(c / a, c / b; q)_{\infty}}{(c, c q / a b; q)_{\infty}} \end{array}$
を得る. よって, これらを用いて,
$\begin{aligned} μ (w q^{N}) & = \frac{(w q / c, w; q)_{N}}{(w q / a, w q / b; q)_{N}} (μ (w) - \frac{w}{c q} \sum_{n = 0}^{N - 1} \frac{(w q / a, w q / b; q)_{n}}{(w q / c, w; q)_{n + 1}} p (w q^{n})) \\ = \frac{(w q / c, w; q)_{N}}{(w q / a, w q / b; q)_{N}} (μ (w) + \frac{w q}{c} \frac{(c / a, c / b; q)_{\infty}}{(c, c q / a b; q)_{\infty}} \sum_{n = 0}^{N - 1} \frac{(w q / a, w q / b; q)_{n}}{(w q / c, w; q)_{n + 1}} q^{n}) \end{aligned}$
を得る. ここで, $w = c$ のとき,
$\begin{aligned} μ (c) & = \frac{(c q / a, c q / b; q)_{\infty}}{(c, c q / a b; q)_{\infty}} \end{aligned}$
であることを用いると,
$\begin{aligned} μ (c q^{N}) & = \frac{(c, q; q)_{N}}{(c q / a, c q / b; q)_{N}} (\frac{(c q / a, c q / b; q)_{\infty}}{(c, c q / a b; q)_{\infty}} + q \frac{(c / a, c / b; q)_{\infty}}{(c, c q / a b; q)_{\infty}} \sum_{n = 0}^{N - 1} \frac{(c q / a, c q / b; q)_{n}}{(c, q; q)_{n + 1}} q^{n}) \\ = \frac{(c, q; q)_{N}}{(c q / a, c q / b; q)_{N}} (\frac{(c q / a, c q / b; q)_{\infty}}{(c, c q / a b; q)_{\infty}} + \frac{(c q / a, c q / b; q)_{\infty}}{(c, c q / a b; q)_{\infty}} \sum_{n = 0}^{N - 1} \frac{(c / a, c / b; q)_{n + 1}}{(c, q; q)_{n + 1}} q^{n + 1}) \\ = \frac{(c q / a, c q / b; q)_{\infty}}{(c, c q / a b; q)_{\infty}} \frac{(c, q; q)_{N}}{(c q / a, c q / b; q)_{N}} \sum_{n = 0}^{N} \frac{(c / a, c / b; q)_{n}}{(c, q; q)_{n}} q^{n} \end{aligned}$
と簡潔に表される. これはHodgkinsonによって示された等式の $q$ 類似である. これらをまとめると, 以下のようになる.

$\begin{array}{r} μ (w) := \sum_{0 \leq n} \frac{(a, b; q)_{n}}{(c, q; q)_{n}} \frac{t^{n}}{1 - w q^{n}} \end{array}$
とするとき, $0 \leq N$ に対して,
$\begin{aligned} μ (w q^{N}) & = \frac{(w q / c, w; q)_{N}}{(w q / a, w q / b; q)_{N}} {(\frac{c q}{a b t})}^{N} (μ (w) - \frac{1}{c q} \sum_{n = 0}^{N - 1} \frac{(w q / a, w q / b; q)_{n}}{(w q / c, w; q)_{n + 1}} {(\frac{a b t}{c q})}^{n} p (w q^{n})) \end{aligned}$
が成り立つ. ここで, $p (w)$ は
$\begin{aligned} p (w) & := \sum_{0 \leq n} (c q - t a b + w q ((c - t a b) q^{n} + (a + b) t - c - q)) \frac{(a, b; q)_{n}}{(c, q; q)_{n}} t^{n} \end{aligned}$
によって与えられる $w$ に関する一次式である. 特に $t = \frac{c q}{a b}$ のとき,
$\begin{aligned} μ (w q^{N}) & = \frac{(w q / c, w; q)_{N}}{(w q / a, w q / b; q)_{N}} (μ (w) + \frac{w q}{c} \frac{(c / a, c / b; q)_{\infty}}{(c, c q / a b; q)_{\infty}} \sum_{n = 0}^{N - 1} \frac{(w q / a, w q / b; q)_{n}}{(w q / c, w; q)_{n + 1}} q^{n}) \end{aligned}$
が成り立つ. 加えて $w = c$ のとき,
$\begin{aligned} μ (c q^{N}) & = \frac{(c q / a, c q / b; q)_{\infty}}{(c, c q / a b; q)_{\infty}} \frac{(c, q; q)_{N}}{(c q / a, c q / b; q)_{N}} \sum_{n = 0}^{N} \frac{(c / a, c / b; q)_{n}}{(c, q; q)_{n}} q^{n} \end{aligned}$
が成り立つ.

最後の等式
$\begin{aligned} \sum_{0 \leq n} \frac{(a, b; q)_{n}}{(c, q; q)_{n}} {(\frac{c q}{a b})}^{n} \frac{1}{1 - c q^{N + n}} & = \frac{(c q / a, c q / b; q)_{\infty}}{(c, c q / a b; q)_{\infty}} \frac{(c, q; q)_{N}}{(c q / a, c q / b; q)_{N}} \sum_{n = 0}^{N} \frac{(c / a, c / b; q)_{n}}{(c, q; q)_{n}} q^{n} \end{aligned}$
においては, 現れる定数がすべて $q$ -Pochhammer記号で表されていてかなり簡潔な等式になっている. $r$ が大きくなると, 一般には求められない定数が増えることになりそうだが, パラメーターを特殊化するなどして, $_{2} ϕ_{1}$ の場合以外にもこのような興味深い等式があるのかを考えることは今後の研究課題である.

投稿日：28日前

更新日：27日前

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Wataru

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