q超幾何級数のqモーメント

関数$f$の区間$[0,1]$でのモーメントは
\begin{align} \int_0^1x^{w-1}f(x)\,dx \end{align}
で与えられる. 関数$f(x)$が
\begin{align} f(x)&=\sum_{0\leq n}c_nx^n \end{align}
とMaclaurin展開されているとき, 項別に積分できるならそれは
\begin{align} \int_0^1x^{w-1}f(x)\,dx&=\sum_{0\leq n}\frac{c_n}{n+w} \end{align}
と表される. その類似として, $q$積分を
\begin{align} \int_0^1f(x)\,d_qx&:=\sum_{0\leq n}q^kf(q^k) \end{align}
と定義すれば, 上のように展開される関数$f$の$q$モーメントは
\begin{align} \int_0^1x^{w-1}f(x)\,d_qx&=\sum_{0\leq k}q^{wk}f(q^k)\\ &=\sum_{0\leq n,k}c_nq^{(n+w)k}\\ &=\sum_{0\leq n}\frac{c_n}{1-q^{n+w}} \end{align}
と表される. 今回は$q^w$をあらためて$w$として
\begin{align} \sum_{0\leq n}\frac{c_n}{1-wq^n} \end{align}
を$q$モーメントとして考えることにする. 以下$q$超幾何級数の場合を考える. まず, 一般$q$超幾何関数の場合から考えるために
\begin{align} c_n&:=\frac{(a_1,\dots,a_r;q)_n}{(b_1,\dots,b_r;q)_n}t^n \end{align}
とする. このとき, $c_n$は漸化式
\begin{align} (1-b_1q^{n-1})\cdots(1-b_rq^{n-1})c_n-(1-a_1q^{n-1})\cdots(1-a_rq^{n-1})tc_{n-1}=0 \end{align}
を満たす.
\begin{align} \mu(w):=\sum_{0\leq n}\frac{c_n}{1-wq^n} \end{align}
としてそれが満たす$q$差分方程式を考える. まず,
\begin{align} 0&=\sum_{0\leq n}\frac{(1-b_1q^{n-1})\cdots(1-b_rq^{n-1})c_n-(1-a_1q^{n-1})\cdots(1-a_rq^{n-1})tc_{n-1} }{1-wq^n}\\ &=\sum_{0\leq n}\frac{((1-b_1q^{n-1})\cdots(1-b_rq^{n-1})-(1-b_1/wq)\cdots(1-b_r/wq))c_n}{1-wq^n}\\ &\qquad-\sum_{0\leq n}\frac{((1-a_1q^{n-1})\cdots(1-a_rq^{n-1})-(1-a_1/wq)\cdots(1-a_r/wq))tc_{n-1}}{1-wq^n}\\ &\qquad+(1-b_1/wq)\cdots(1-b_r/wq)\sum_{0\leq n}\frac{c_n}{1-wq^n}\\ &\qquad-(1-a_1/wq)\cdots(1-a_r/wq)t\sum_{0\leq n}\frac{c_{n-1}}{1-wq^n} \end{align}
である. ここで, $b_r=q$とすれば, $c_{-1}=0$となるので,
\begin{align} \sum_{0\leq n}\frac{c_{n-1}}{1-wq^n}&=\sum_{0\leq n}\frac{c_{n}}{1-wq^{n+1}}=\mu(wq) \end{align}
と書き換えらえるので, $q$差分方程式
\begin{align} 0&=\sum_{0\leq n}\frac{((1-b_1q^{n-1})\cdots(1-b_rq^{n-1})-(1-b_1/wq)\cdots(1-b_r/wq))c_n}{1-wq^n}\\ &\qquad-\sum_{0\leq n}\frac{((1-a_1q^{n-1})\cdots(1-a_rq^{n-1})-(1-a_1/wq)\cdots(1-a_r/wq))tc_{n-1}}{1-wq^n}\\ &\qquad+(1-b_1/wq)\cdots(1-b_r/wq)\mu(w)-(1-a_1/wq)\cdots(1-a_r/wq)t\mu(wq) \end{align}
が得られる. ここで, 第1項と第2項の分子は$1-wq^n$で割り切れることに注意すると, 両辺に$(wq)^r$を書ければ$w$に関する多項式になる. 以下の形でまとめる.

上の方程式を用いて$\mu(wq^n)$を$\mu(w)$で与える公式を求めたい. 命題1の右辺の多項式を$p(w)$とする.
\begin{align} &(wq-b_1)\cdots(wq-b_r)\mu(w)-(wq-a_1)\cdots(wq-a_r)t\mu(wq)=p(w) \end{align}
$w\mapsto wq^{n-1}$として
\begin{align} \frac{(1-wq^n/b_1)\cdots(1-wq^n/b_r)}{(1-wq^n/a_1)\cdots(1-wq^n/a_r)}\frac{b_1\cdots b_r}{a_1\cdots a_rt}\mu(wq^{n-1})-\mu(wq^n)&=\frac{p(wq^{n-1})}{(wq^n-a_1)\cdots(wq^n-a_r)t} \end{align}
と変形して両辺に
\begin{align} \frac{(wq/a_1,\dots,wq/a_r;q)_n}{(wq/b_1,\dots,wq/b_r;q)_n}\left(\frac{a_1\cdots a_rt}{b_1\cdots b_r}\right)^n \end{align}
を掛けると,
\begin{align} &\frac{(wq/a_1,\dots,wq/a_r;q)_{n-1}}{(wq/b_1,\dots,wq/b_r;q)_{n-1}}\left(\frac{a_1\cdots a_rt}{b_1\cdots b_r}\right)^{n-1}\mu(wq^{n-1})-\frac{(wq/a_1,\dots,wq/a_r;q)_n}{(wq/b_1,\dots,wq/b_r;q)_n}\left(\frac{a_1\cdots a_rt}{b_1\cdots b_r}\right)^n\mu(wq^n)\\ &=\frac{(-1)^r}{a_1\cdots a_rt}\frac{(wq/a_1,\dots,wq/a_r;q)_{n-1}}{(wq/b_1,\dots,wq/b_r;q)_n}\left(\frac{a_1\cdots a_rt}{b_1\cdots b_r}\right)^np(wq^{n-1}) \end{align}
を得る. これを$n=1$から$N$まで足し合わせると,
\begin{align} &\mu(w)-\frac{(wq/a_1,\dots,wq/a_r;q)_N}{(wq/b_1,\dots,wq/b_r;q)_N}\left(\frac{a_1\cdots a_rt}{b_1\cdots b_r}\right)^N\mu(wq^N)\\ &=\frac{(-1)^r}{a_1\cdots a_rt}\sum_{n=1}^N\frac{(wq/a_1,\dots,wq/a_r;q)_{n-1}}{(wq/b_1,\dots,wq/b_r;q)_n}\left(\frac{a_1\cdots a_rt}{b_1\cdots b_r}\right)^np(wq^{n-1})\\ &=\frac{(-1)^r}{b_1\cdots b_r}\sum_{n=0}^{N-1}\frac{(wq/a_1,\dots,wq/a_r;q)_{n}}{(wq/b_1,\dots,wq/b_r;q)_{n+1}}\left(\frac{a_1\cdots a_rt}{b_1\cdots b_r}\right)^np(wq^n) \end{align}
これを$\mu(wq^N)$について解くと,
\begin{align} \mu(wq^N)&=\frac{(wq/b_1,\dots,wq/b_r;q)_N}{(wq/a_1,\dots,wq/a_r;q)_N}\left(\frac{b_1\cdots b_r}{a_1\cdots a_rt}\right)^N\\ &\qquad\cdot\left(\mu(w)-\frac{(-1)^r}{b_1\cdots b_r}\sum_{n=0}^{N-1}\frac{(wq/a_1,\dots,wq/a_r;q)_{n}}{(wq/b_1,\dots,wq/b_r;q)_{n+1}}\left(\frac{a_1\cdots a_rt}{b_1\cdots b_r}\right)^np(wq^n)\right) \end{align}
を得る. まとめると以下のようになる.

$r=2$の場合を考える.
\begin{align} c_n&:=\frac{(a,b;q)_n}{(c,q;q)_n}t^n\\ \mu(w)&:=\sum_{0\leq n}\frac{(a,b;q)_n}{(c,q;q)_n}\frac{t^n}{1-wq^n} \end{align}
として,
\begin{align} p(w)&=\sum_{0\leq n}\frac{(wq-c)(wq-q)-(wq)^2(1-cq^{n-1})(1-q^{n})}{1-wq^n}c_n\\ &\qquad-\sum_{0\leq n}\frac{(wq-a)(wq-b)-(wq)^2(1-aq^{n-1})(1-bq^{n-1})}{1-wq^n}tc_{n-1}\\ &=\sum_{0\leq n}(cq(1+wq^n)-(c+q)wq)c_n-t\sum_{0\leq n}(ab(1+wq^n)-(a+b)wq)c_{n-1}\\ &=\sum_{0\leq n}(cq-tab+wq((c-tab)q^{n}+(a+b)t-c-q))c_{n} \end{align}
と$w$に関する一次式になる. このとき,
\begin{align} \mu(wq^N)&=\frac{(wq/c,w;q)_N}{(wq/a,wq/b;q)_N}\left(\frac{cq}{abt}\right)^N\left(\mu(w)-\frac 1{cq}\sum_{n=0}^{N-1}\frac{(wq/a,wq/b;q)_n}{(wq/c,w;q)_{n+1}}\left(\frac{abt}{cq}\right)^np(wq^n)\right) \end{align}
と求められる. 特別な場合として$p(w)$の定数項が$0$になる場合を考えてみる. その条件は$cq=tab$, つまり$t=\frac{cq}{ab}$である. このとき,
\begin{align} p(w)&=wq\sum_{0\leq n}\left(c(1-q)q^n+\frac{(a+b)cq}{ab}-c-q\right)c_n\\ &=:Aw \end{align}
と置く. 定数$A$を求めたい. Heineの和公式より,
\begin{align} \mu(c)&=\sum_{0\leq n}\frac{(a,b;q)_n}{(c,q;q)_n}\frac{1}{1-cq^n}\left(\frac{cq}{ab}\right)^n\\ &=\frac 1{1-c}\sum_{0\leq n}\frac{(a,b;q)_n}{(cq,q;q)_n}\left(\frac{cq}{ab}\right)^n\\ &=\frac{(cq/a,cq/b;q)_{\infty}}{(c,cq/ab;q)_{\infty}} \end{align}
であるから,
\begin{align} &p(w)=(wq-c)(wq-q)\mu(w)-(wq-a)(wq-b)t\mu(wq) \end{align}
であったことを用いると, $w=\frac{c}q$
\begin{align} A=\frac{q}cp\left(\frac{c}{q}\right)=-\frac qc(c-a)(c-b)\frac{cq}{ab}\mu(c)=-q^2\frac{(c/a,c/b;q)_{\infty}}{(c,cq/ab;q)_{\infty}} \end{align}
を得る. よって, これらを用いて,
\begin{align} \mu(wq^N)&=\frac{(wq/c,w;q)_N}{(wq/a,wq/b;q)_N}\left(\mu(w)-\frac{w}{cq}\sum_{n=0}^{N-1}\frac{(wq/a,wq/b;q)_n}{(wq/c,w;q)_{n+1}}p(wq^n)\right)\\ &=\frac{(wq/c,w;q)_N}{(wq/a,wq/b;q)_N}\left(\mu(w)+\frac{wq}{c}\frac{(c/a,c/b;q)_{\infty}}{(c,cq/ab;q)_{\infty}}\sum_{n=0}^{N-1}\frac{(wq/a,wq/b;q)_n}{(wq/c,w;q)_{n+1}}q^n\right) \end{align}
を得る. ここで, $w=c$のとき,
\begin{align} \mu(c)&=\frac{(cq/a,cq/b;q)_{\infty}}{(c,cq/ab;q)_{\infty}} \end{align}
であることを用いると,
\begin{align} \mu(cq^N)&=\frac{(c,q;q)_N}{(cq/a,cq/b;q)_N}\left(\frac{(cq/a,cq/b;q)_{\infty}}{(c,cq/ab;q)_{\infty}}+q\frac{(c/a,c/b;q)_{\infty}}{(c,cq/ab;q)_{\infty}}\sum_{n=0}^{N-1}\frac{(cq/a,cq/b;q)_n}{(c,q;q)_{n+1}}q^n\right)\\ &=\frac{(c,q;q)_N}{(cq/a,cq/b;q)_N}\left(\frac{(cq/a,cq/b;q)_{\infty}}{(c,cq/ab;q)_{\infty}}+\frac{(cq/a,cq/b;q)_{\infty}}{(c,cq/ab;q)_{\infty}}\sum_{n=0}^{N-1}\frac{(c/a,c/b;q)_{n+1}}{(c,q;q)_{n+1}}q^{n+1}\right)\\ &=\frac{(cq/a,cq/b;q)_{\infty}}{(c,cq/ab;q)_{\infty}}\frac{(c,q;q)_N}{(cq/a,cq/b;q)_N}\sum_{n=0}^{N}\frac{(c/a,c/b;q)_{n}}{(c,q;q)_{n}}q^{n} \end{align}
と簡潔に表される. これはHodgkinsonによって示された等式の$q$類似である. これらをまとめると, 以下のようになる.

最後の等式
\begin{align} \sum_{0\leq n}\frac{(a,b;q)_n}{(c,q;q)_n}\left(\frac{cq}{ab}\right)^n\frac 1{1-cq^{N+n}}&=\frac{(cq/a,cq/b;q)_{\infty}}{(c,cq/ab;q)_{\infty}}\frac{(c,q;q)_N}{(cq/a,cq/b;q)_N}\sum_{n=0}^{N}\frac{(c/a,c/b;q)_{n}}{(c,q;q)_{n}}q^{n} \end{align}
においては, 現れる定数がすべて$q$-Pochhammer記号で表されていてかなり簡潔な等式になっている. $r$が大きくなると, 一般には求められない定数が増えることになりそうだが, パラメーターを特殊化するなどして, ${}_2\phi_1$の場合以外にもこのような興味深い等式があるのかを考えることは今後の研究課題である.