内接正(2n+1)角形の円周上の点からの距離の和の等式

［証明］
各頂点$P_k$を表す複素数を，${ｚ}_k＝{\omega }^{2k}$
とする．ただし，$\theta =\frac{\pi }{2n+1}$として，$\omega ＝\cos \theta +i\sin \theta$
で，${ｚ}_0＝{ｚ}_{2n+1}$とみる．
点$A$は，$\alpha ＝\cos \varphi +i\sin \varphi$
ただし，$0\leqq \varphi \leqq 2\theta$としておく．
「円周角の定理」から，$\mathrm{\angle }$$P_{1}A{P}_k=(k-1)\theta$であるから，
点$P_1$を点$A$に関して時計回りに$(k-1)\theta$だけ回転させると半直線$A{P}_1$上の点に移る．移った先の点を$Q_k$とする．
証明すべきは，
$$\sum _{k=0}^n\overrightarrow{A{Q}_{2k+1}}=\sum _{k=1}^n\overrightarrow{A{Q}_{2k}}$$
$$\sum _{k=1}^{2n+1}(-1{)}^k\overrightarrow{A{Q}_k}=\overrightarrow{0}$$
となる．
$(-1{)}^k\overrightarrow{A{Q}_k}$を表す複素数は，
$$(-1{)}^k({ｚ}_k-\alpha ){\omega }^{-(k-1)}=(-1{)}^k{\omega }^{-(k-1)}({\omega }^{2k}-\alpha )$$
$$(-1{)}^k({ｚ}_k-\alpha ){\omega }^{-(k-1)}=(-\omega {)}^k\omega +(-{\omega }^{-1}{)}^k\alpha$$
ここで，${\omega }^{2n+1}=\cos \pi +i\sin \pi =-1$なので，
$$\sum _{k=1}^{2n+1}(-\omega {)}^k=(-\omega )\frac{1-(-\omega {)}^{2n+1}}{1-(-\omega )}=0$$
$$\sum _{k=1}^{2n+1}(-{\omega }^{-1}{)}^k=(-{\omega }^{-1})\frac{1-(-{\omega }^{-1}{)}^{2n+1}}{1-(-{\omega }^{-1})}=0$$
したがって，
$$\sum _{k=1}^{2n+1}(-1{)}^k\overrightarrow{A{Q}_k}=\overrightarrow{0}$$
は成り立つ．証明された．□□．