内接正(2n+1)角形の円周上の点からの距離の和の等式
複素平面上において，点$O$を中心とする，半径1の円があり，この円に正$(2n+1)$角形が内接しているとする．ここで，$n$は2以上の整数としておく．
（ここで，頂点のアルファベットをitalicにしたくなかったがスキルがなくてm(__)m）
円周上の点$A$と各頂点$P_{k} $において，線分の長さの和について，
$$ \sum_{k=0}^{n} A P_{2k+1} =\sum_{k=1}^{n} { A P_{2k} }$$
が成り立つ．
［証明］
各頂点$P_{k} $を表す複素数を，$ ｚ_{k}＝ \omega ^{2k} $
とする．ただし，$ \theta =\frac{ \pi}{2n+1}$として，$\omega＝ \cos \theta+i \sin\theta $
で，$ ｚ_{0}＝ ｚ_{2n+1} $とみる．
点$A$は，$\alpha＝ \cos \phi +i \sin\phi $
ただし，$0 \leqq \phi\leqq 2\theta$としておく．
「円周角の定理」から，$\angle$$P_{1}A P_{k}=(k-1)\theta$であるから，
点$P_{1}$を点$A$に関して時計回りに$(k-1)\theta$だけ回転させると半直線$A P_{1}$上の点に移る．移った先の点を$ Q_{k}$とする．
証明すべきは，
$$ \sum_{k=0}^{n} \overrightarrow{ A Q_{2k+1} } =\sum_{k=1}^{n} \overrightarrow{ A Q_{2k} }$$
$$ \sum_{k=1}^{2n+1}(-1)^{k}\overrightarrow{ A Q_{k} }=\overrightarrow0$$
となる．
$(-1)^{k}\overrightarrow{ A Q_{k} }$を表す複素数は，
$$ (-1)^{k}(ｚ_{k}- \alpha)\omega ^{-(k-1)}=(-1)^{k}\omega ^{-(k-1)}(\omega ^{2k}- \alpha) $$
$$ (-1)^{k}(ｚ_{k}- \alpha)\omega ^{-(k-1)}=(-\omega)^{k}\omega+(-\omega^{-1})^{k}\alpha $$
ここで，$\omega^{2n+1}=\cos \pi+i \sin \pi=-1 $なので，
$$\sum_{k=1}^{2n+1}(-\omega)^{k}=(-\omega) \frac{1- {(-\omega})^{2n+1}}{1-({-\omega})}=0 $$
$$\sum_{k=1}^{2n+1}(-\omega^{-1})^{k}=(-\omega^{-1}) \frac{1- {(-\omega^{-1}})^{2n+1}}{1-({-\omega^{-1}})}=0 $$
したがって，
$$ \sum_{k=1}^{2n+1}(-1)^{k}\overrightarrow{ A Q_{k} }=\overrightarrow0$$
は成り立つ．証明された．□□．
