pが素数のとき、7p+3^p-4が平方数でないことの証明

（与式）$=T=k^2$
$T/k=k$。
kで微分すると
$-T/k^2=1$
そもそも$T\geqq 0$より、両辺が正と負でイコールにならない。微分した結果が等号で結べない、つまり成り立たない。
Q. E. D.
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訂正

$-T/k^2=1$
これを積分すると、右辺が1次式、左辺は双曲線になる。
kに自然数が入っている限り、両者は等しくならない。
しかも、T=k^2の時正負を無視して等号が成りたてば、導関数は正と負なので、kが変わると等しくならない。
それ以上にkが小さい時は等号は成り立たない。大きい時も同様である。
つまり、$y=T/k$と$y=k$は、ただ1点で交わる。（yはkの関数。）
しかも、それは$k=\sqrt{T}$の時である。
k=1からkを増やして確認すると、k=100位で、y=kが急な角度なので、y=kのkは大きく、y=T/kのT/kはk=1の時Tの筈が、それが100となってk=100Tとなる。これは明らかに不合理で、y=kの傾きが大きくなれば、曲線$y=T/k$と直線$y=k$の交点のx座標は小さくなる筈である。（$k$は$x$の関数）
よって矛盾している。
Q. E. D.
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