ゴール(ドバッハ予想)のようなもの
ゴールドバッハ予想みたいな予想
記事2本目
久しぶりに記事が書きたくなってしまい、書いちゃいました!!
(受験勉強からの逃避)
この予想を高校在学中に解きたいと思いつつ、現在二次試験1週間前、卒業2週間前にまでなってしまいました．．．
もうすぐ卒業だぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁ(´；ω；｀)
大学生活は楽しみだけど、高校生活が終わってしまうのはやはりとても悲しいですね．．．
こんな私のためにも是非読んでいってやってください！！
予想について
さてさて、本題に入りましょうか。
この問題は2年前くらいに考えて当時X(旧Twitter)で投稿したものの、今でも証明できていない問題です。
以降、私の名前にちなんでMVest予想と呼ばせてください!!
${p,q}$は$1$または素数とする。
このとき、任意の$5$以上の素数$N$は
$$ N=2p+3q $$
と表されるか。
もう少し綺麗にしようとすると、こうなりますかね。
${p,q}$は$0$または$1$または素数とする。
このとき、任意の素数$N$は
$$ N=2p+3q $$
と表されるか。
例を見てみましょう。
(☆がついているものは$p=1$または$q=1$でのみ表されるもの。)
☆・$5=2+3$
☆・$7=4+3$
☆・$11=2+9$
・$13=4+9=10+3$
☆・$17=2+15=14+3$
・$19=4+15=10+9$
・$23=2+21=14+9$
・$29=14+15=26+3$
・$31=10+21=22+9$
・$37=4+33=22+15=34+3$
・$41=2+39=26+15=38+3$
・$43=4+39=10+33=22+21=34+9$
・$47=14+33=26+21=38+9$
・$53=2+51=14+39=38+15$
・$59=2+57=26+33=38+21$
・$61=4+57=10+51=22+39=46+15=58+3$
・$67=10+57=34+33=46+21=58+9$
・$71=2+69=14+57=38+33=62+9$
・$73=4+69=22+51=34+39=58+15$
・$79=10+69=22+57=46+33=58+21$
・$83=14+69=26+57=62+21=74+9$
・$89=2+87=38+51=74+15=86+3$
・$97=4+93=10+87=46+51=58+39=82+15=94+3$
頑張りました!
とはいっても、途中からうまい調べ方がに気づいたのでだいぶ楽でした。上の例1からわかるように、$N$が$19$以上なら、次のことが言えそうです！
${p,q}$は素数とする。
このとき、任意の$19$以上の素数$N$は
$$ N=2p+3q $$
と表されるか。
場合分けしようにも何も展開はなく、数学的帰納法や無限降下法とかも使えんかなぁと思うけど使えず．．．
弱いゴールドバッハ予想などとの関連などもありそうでまったく見つけられず、数学的な価値は今のところ皆無ですが、この問題を解いてくれる、もしくは同値な命題を見つけてくれるという暇人の方はぜひ取り組んでほしいです！！
それと、簡単ではありますが1問だけ問題を作りました！
あっという間に終わります。
${p,q}$は正の整数とする。
任意の$k$以上の素数$N$が、
$$ N=2p+3q $$
の形で表されるような整数$k$の最小値を求めよ。
解答
与式を変形して、
$$ N=2(p-1)+3(q-1)+5 $$
$gcd(2,3)=1$であるので、チキンマックナゲットの定理より、
$2(p-1)+3(q-1)$として表すことのできない最大の整数は
$$ (2-1)(3-1)-1=1 $$
であるから、$N=2(p-1)+3(q-1)+5$として表すことのできない最大の整数$N$の値は、
$$ (2-1)(3-1)-1+5=6 $$
となるので、求める$k$の最小値は$7$
チキンマックナゲットの定理を使わないなら、
$N=6$のとき$p,q$が存在せず、$N=7,8$のときに$p,q$が存在することからただちに最小の$k$の値が$k=7$であることが分かりますね。(こっちの方が断然楽ですね)
もしこの予想を解けたり進展があったりという人がいらっしゃれば是非私のXアカウントにDMなどで教えてもらえるとありがたいです！！
