Vieta jumping

$\frac{a^{2}+b^{2}}{ab+1}=k$（$k$は平方数でない自然数）を満たす$(a,b)$が存在すると仮定する。
ここで、$(A,B)$を最小解とすると、$\frac{A^{2}+B^{2}}{AB+1}=k$となり、ここで$A+B$は最小となる。$(A \geq B)$
このとき、$A=x$として置き換えると、
$\frac{x^{2}+B^{2}}{xB+1}=k \Longleftrightarrow x^{2}+B^{2}=k(xB+1) \Longleftrightarrow x^{2}-kBx+(B^{2}-k)=0$
この方程式を満たす解は$A$のほかにもう一つ存在するため、その解を$x_2$とする。
解と係数の関係より、
$A+x_2=kB \Longleftrightarrow x_2=kB-A$
ここで、$k,B,A$は自然数であることから、$x_2$は整数となる。
また、
$Ax_2=B^{2}-k \Longleftrightarrow x_2= \frac{B^{2}-k}{A} $
ここで、$k$は平方数でない自然数としたので、
$x_2= \frac{B^{2}-k}{A} \neq 0$
また、$\frac{a^{2}+b^{2}}{ab+1}=k$に$x=x_2$を代入すると、
$\frac{x_2^{2}+B^{2}}{x_2B+1}=k$
ここで、$k$は平方数でない自然数としたので、
$\frac{x_2^{2}+B^{2}}{x_2B+1}=k>0$
また、$x_2^{2}+B^{2}$は$0$以上であるから、$x_2B+1>0$
ここで、$B$は自然数で$x_2$は整数で、$0$ではないので、$x_2$は自然数である。
今、$k$は自然数であるので、
$x_2= \frac{B^{2}-k}{A}< \frac{B^{2}}{A} $
また、$A \geq B$なので、
$x_2= \frac{B^{2}-k}{A}< \frac{B^{2}}{A} \leq \frac{A^{2}}{A} =A$
これにより、$x_2+B< A+B$となる自然数$x_2$が存在するので、
これは、$A+B$が最小であることに矛盾する。
よって、$\frac{a^{2}+b^{2}}{ab+1}$は平方数である。　　　　　　　　$Q.E.D.$