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複素数平面において3点が同一直線上にあるための条件

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3点が同一直線上にあるための条件

 まずは小手調べです。

複素数平面において、3点A(α),B(β),C(γ)が同一直線上にあるための必要十分条件をα,β,γを用いて表せ。

 よく高校数学で用いられるのは、3点が相異なるとき
A,B,C が同一直線上 γαβα が実数 
というものです (→ 参考 )。普通はこれで十分だと思いますが、対称性が無いのでいまいち美しさに欠けます。また、点が重なっている場合にも対応できると嬉しいです。
 というわけで、もう少しいい感じの条件を探してみます。

解答例

3点が異なるとき、
A,B,C が同一直線上 γαβα が実数 
である。ここで、γαβα が実数  という条件を同値変形していくと、
γαβα=(γαβα)
(γα)(βα)=(βα)(γα)
γβγααβ+αα=βγβααγ+αα
αββα+βγγβ+γααγ=0
となる。
 α=β の場合、
A,B,Cが同一直線上」も
αββα+βγγβ+γααγ=0」も常に成り立つ。
(後者については、γについて整理すると
γ(αβ)+γ(βα)+(αββα)=0
となってわかりやすい。)
 他の2点が等しい場合も同様。したがって、求める条件は
αββα+βγγβ+γααγ=0
である。

複素数平面において、3点A(α),B(β),C(γ)が同一直線上にあるための必要十分条件は
αββα+βγγβ+γααγ=0
が成り立つことである。

いろいろと言い換えが可能です。
一般に、複素数zに対して Im(z)=zz2i が成り立つことを用いれば、条件は
Im(αβ+βγ+γα)=0
とも書けます。さらにこれは
αβ+βγ+γα が実数
とも同値です。また、行列式をご存じであれば
|111αβγαβγ|=0
と表せることも分かると思います。

3次方程式の解が同一直線上にあるための条件

 ここからが本題です。

C係数3次方程式 x3+bx2+cx+d=0 の解が複素数平面において同一直線上にあるための必要十分条件を、b,c,d を用いて表せ。

 いかがでしょうか。A,B,Cが同一直線上にあるというのはA,B,Cについて対称的な条件なので、α,β,γの基本対称式を使って表そうというのは自然な発想だと思います。ただ、軽くググってみたのですが、インターネット上にはこれの解答は見当たりませんでした(もしあったら教えてください)。
 今回、この問題についてそれなりにスッキリとした解答が得られたので、記事を書くことにしました。

変数変換

 式を見やすくするため、よく行われるように
x+13b=X
と変換します。すると方程式は
X3+(13b2+c)X+(227b313bc+d)=0
となります。
c=13b2+c,d=227b313bc+d
とおけば
X3+cX+d=0
となります。変数変換は x+13b=X だったので、解は平行移動します。したがって、X3+cX+d=0 の解が同一直線上にあるための条件を考えれば十分です。

カルダノの公式を用いた計算

 カルダノの公式については、例えば こちら を参照。
 公式によると、
u3+v3=d,uv=13c
を満たす複素数u,vを1組とれば、方程式 X3+cX+d=0 の解は
u+v,ωu+ω2v,ω2u+ωv
となります。ここで、ω=1+3i2 です。これらを順にα,β,γ とすれば、

αβ+βγ+γα=(u+v)(ωu+ω2v)+(ωu+ω2v)(ω2u+ωv)+(ω2u+ωv)(u+v)=(u+v)(ω2u+ωv)+(ωu+ω2v)(ωu+ω2v)+(ω2u+ωv)(u+v)=3ω2uu+3ωvv=3ω2|u|2+3ω|v|2
となります。|u|,|v|が実数であることに注意すれば、
Im(αβ+βγ+γα)=332|u|2+332|v|2=332(|v|2|u|2)
が分かり、命題1から、3点A(α),B(β),C(γ)が同一直線上にあるための必要十分条件は
|u|=|v|
となります。

 さて、u,v
u3+v3=d,uv=13c
を満たす複素数でした。ここで、u,vの選び方は複数ありますが、|u|=|v|が成り立つかどうかはu,vの選び方によりません。

u,vについての条件から
u3+v3=d,u3v3=127c3
が成り立つから、u3,v3は2次方程式
z2+dz127c3=0
の解である。解をz1,z2とおくと、(u3,v3)=(z1,z2)または(u3,v3)=(z2,z1)である。したがって、u,vをどのように選んでも、
|u|=|v||z1|=|z2|
が成り立つ。

さらにこの証明から、以下のことが分かります。

C係数3次方程式 X3+cX+d=0 の解が複素数平面において同一直線上にあるための必要十分条件は、2次方程式
z2+dz127c3=0
の解の絶対値が等しいことである。

では、2次方程式の解の絶対値が等しくなるのはどのようなときなのでしょうか?

2次方程式の2つの解の絶対値が等しくなるための条件

C係数2次方程式 z2+pz+q=0 の2つの解の絶対値が等しくなるための条件を p,q を用いて表せ。

 解の公式を用いて
|p+p24q2|=|pp24q2|
とすれば1つの解答は得られますが、もう少しいい感じのが欲しいところです。

 2つの解をz1,z2とおきます。
|z1|=|z2|
を同値変形していくと (試行錯誤の結果得られた変形なので、多少天下り的です)、
|z1||z2|=0
(|z1||z2|)2=0
|z1|22|z1z2|+|z2|2=0
z1z1+z2z2=2|z1z2|
惜しいところまで来ました。あとはz1z1+z2z2z1,z2の基本対称式で表せれば良いのですが……。

z1z1+z2z2z1,z2の基本対称式で表す

z1,z2を複素数とし、z1+z2=p, z1z2=qとおく。z1z1+z2z2p,qで表せ。

 シンプルながら、なかなか見かけない問題だと思います。こういうのの一般論とかあるんですかね?

 この問題については個人的に考えたことがあり、解答が得られています。というわけで、これも天下り的になりますが、解説していきます。

 まず、z1z1+z2z2z1z2+z2z1 の和と差を計算します。
(z1z1+z2z2)+(z1z2+z2z1)=(z1+z2)(z1+z2)=|z1+z2|2=|p|2(z1z1+z2z2)(z1z2+z2z1)=(z1z2)(z1z2)=|z1z2|2=|(z1+z2)24z1z2|=|p24q|
辺々の和をとって2で割れば、
z1z1+z2z2=|p|2+|p24q|2
が得られます。ついでに
z1z2+z2z1=|p|2|p24q|2
も得られます。

(上の手順は、結果から逆算して得られたものです。もともとは、z1,z2を解の公式で表してごり押しして求めました。)

2次方程式の2つの解の絶対値が等しくなるための条件(解決編)

 上で得られた関係式を用いて
z1z1+z2z2=2|z1z2|
を変形すると、
|p|2+|p24q|2=2|q|
となります。よって、

C係数2次方程式 z2+pz+q=0 の2つの解の絶対値が等しくなるための必要十分条件は、
|p|2+|p24q|=4|q|
が成り立つことである。

となります。

 さらによく見ると、この等式は三角不等式のような形をしています。見やすくするために
|4qp2|=|4q||p2|
と変形しておきます。
 一般に、ベクトルa,b|ab|=|a||b|を満たすための必要十分条件は、0,b,aがこの順に同一直線上に並ぶことです(2つ以上が重なっても良い)。したがって、

C係数2次方程式 z2+pz+q=0 の2つの解の絶対値が等しくなるための必要十分条件は、0,p2,4qがこの順に同一直線上にあることである。ただし、2つ以上が重なっても良い。

とも言えます。順番が決まってるのがなんとも不思議ですね。

3次方程式の解が同一直線上にあるための条件(解決編)

 命題2より、C係数3次方程式 X3+cX+d=0 の解が複素数平面において同一直線上にあるための必要十分条件は
z2+dz127c3=0
の解の絶対値が等しいことでした。さらに命題4より、これは 0,d2,427c3 がこの順に同一直線上に並ぶことと同値です。したがって、

C係数3次方程式 X3+cX+d=0 の解が複素数平面において同一直線上にあるための必要十分条件は、0,27d2,4c3 がこの順に同一直線上に並ぶことである。ただし、2つ以上が重なっても良い。

が得られます。これが私の得た問題2の解答です。
 式で表したければ命題3を用いればよく、
27|d|2+|27d2+4c3|=4|c|3
が必要十分条件となります。

 変換を元に戻した形も一応書いておきます。
c=13b2+c,d=227b313bc+d
だったので、

C係数3次方程式 x3+bx2+cx+d=0 の解が複素数平面において同一直線上にあるための必要十分条件は、
0,27(227b313bc+d)2,4(13b2+c)3
がこの順に同一直線上に並ぶことである。ただし、2つ以上が重なっても良い。

となります。式変形してよりシンプルにできるかもしれませんが、面倒なのでとりあえずここまでとします。

検証

 定理5を再掲します。

C係数3次方程式 X3+cX+d=0 の解が複素数平面において同一直線上にあるための必要十分条件は、0,27d2,4c3 がこの順に同一直線上に並ぶことである。ただし、2つ以上が重なっても良い。

 いくつかの特別な場合を見てみます。

27d2=4c3の場合

 この場合、条件を満たすので、3つの解は同一直線上にあるはずです。
 D=4c327d2とします。この値は方程式X3+cX+d=0判別式と呼ばれる値であり、D=0のとき、方程式は重解を持つということが知られています。(→ 参考 )
 重解を持つということは、3つの解は同一直線上にあるので、確かに成り立っています。

d=0の場合

 この場合も条件を満たすので、3つの解は同一直線上にあるはずです。
 実際、d=0とすると方程式はX3+cX=0 となり、解は
X=0,±c
となります。これらは確かに同一直線上にあります。

c=0の場合

 この場合、d=0でなければ条件は成り立ちません。
 d=0のとき、方程式はX3=0となり、解はX=0(3重解)となります。したがって、解は同一直線上にあります。
 d0 のとき、方程式はX3+d=0 となり、解はdの3乗根です。0でない複素数の3乗根はちょうど正三角形の頂点になることが知られているので、確かに同一直線上にありません。

実係数の場合

 d=0の場合は既に見たので、d0とします。このとき条件は 27d24c3となります。上で導入した判別式を用いれば、これは D0 と表せます。実係数3次方程式については、D0のとき、すべての解が実数解であることが知られています。したがって、確かに同一直線上にあります。
 逆に、D<0の場合は条件を満たしません。このとき解が同一直線上ないことは、以下のようにして確かめられます。

 D<0のとき、実係数3次方程式は1つの実数解と2つの共役な複素数解を持ちます。これらが同一直線上にあると仮定すると、3つの解は
a,a+bi,abi(a,b は実数)
と表せます。ここで、方程式のX2の係数は 0 なので、解と係数の関係より
0=a+(a+bi)+(abi)=3a
となり、a=0が得られます。X=0が解の1つとなるので、方程式の定数項は0, すなわちd=0 となり、d0としていたことに矛盾します。

終わりに

 今回の記事以外にも、複素数平面における初等幾何についてはいろいろ遊べると思います。ただ、今回ほど綺麗な結果が得られることは希なのではないかと思っています。例えば、三角形の外心の公式が こちら にありますが、これを基本対称式で表すというのはなかなか想像できません。

 ところで、今回の記事で現れたz1z1+z2z2z1z2+z2z1 のような「共役を含む対称式」については、あまり言及されることが無いように思います。なかなか興味深い考察対象だと思うのですが、いかがでしょうか。
 ちなみに、もし「共役を含む対称式」を基本対称式で表すアルゴリズムがあれば、今回の問題2は
(αββα+βγγβ+γααγ)2
を基本対称式で表して =0 とするだけで済みます。

投稿日:202473
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投稿者

koumei
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(2023/11/30)別名義を使ってましたが、OMCでの名義に揃えました。

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  2. 3次方程式の解が同一直線上にあるための条件
  3. 変数変換
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  5. 2次方程式の2つの解の絶対値が等しくなるための条件
  6. $z_1\overline{z_1} + z_2 \overline{z_2}$$z_1,z_2$の基本対称式で表す
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  8. 3次方程式の解が同一直線上にあるための条件(解決編)
  9. 検証
  10. 終わりに