複素数平面において3点が同一直線上にあるための条件

3点が同一直線上にあるための条件

　まずは小手調べです。

　よく高校数学で用いられるのは、3点が相異なるとき
$$ A,B,C \text{ が同一直線上 } \Longleftrightarrow \frac {\gamma - \alpha}{\beta - \alpha} \text{ が実数 }$$
というものです (→ 参考 )。普通はこれで十分だと思いますが、対称性が無いのでいまいち美しさに欠けます。また、点が重なっている場合にも対応できると嬉しいです。
　というわけで、もう少しいい感じの条件を探してみます。

解答例

3点が異なるとき、
$$ A,B,C \text{ が同一直線上 } \Longleftrightarrow \frac {\gamma - \alpha}{\beta - \alpha} \text{ が実数 }$$
である。ここで、$\disp \frac {\gamma - \alpha}{\beta - \alpha} \text{ が実数 }$ という条件を同値変形していくと、
$$ \frac {\gamma - \alpha}{\beta - \alpha} = \overline{\left( \frac {\gamma - \alpha}{\beta - \alpha} \right)}$$
$$ (\gamma - \alpha)\overline{(\beta - \alpha)} = (\beta - \alpha)\overline{(\gamma - \alpha)}$$
$$ \gamma \overline{\beta} - \gamma \overline{\alpha} - \alpha \overline{\beta} + \alpha \overline{\alpha} = \beta \overline{\gamma} - \beta \overline{\alpha} - \alpha \overline{\gamma} + \alpha \overline{\alpha}$$
$$ \alpha\overline{\beta} - \beta\overline{\alpha} + \beta\overline{\gamma} - \gamma \overline{\beta} + \gamma \overline{\alpha} - \alpha \overline{\gamma} = 0$$
となる。
　$\alpha = \beta$ の場合、
「$A,B,C$が同一直線上」も
「$\alpha\overline{\beta} - \beta\overline{\alpha} + \beta\overline{\gamma} - \gamma \overline{\beta} + \gamma \overline{\alpha} - \alpha \overline{\gamma} = 0$」も常に成り立つ。
(後者については、$\gamma$について整理すると
$$ \gamma(\overline{\alpha} - \overline{\beta}) + \overline{\gamma}(\beta - \alpha) + (\alpha \overline{\beta} - \beta \overline{\alpha})=0 $$
となってわかりやすい。)
　他の2点が等しい場合も同様。したがって、求める条件は
$$ \alpha\overline{\beta} - \beta\overline{\alpha} + \beta\overline{\gamma} - \gamma \overline{\beta} + \gamma \overline{\alpha} - \alpha \overline{\gamma} = 0$$
である。

いろいろと言い換えが可能です。
一般に、複素数$z$に対して $\disp \Im (z)=\frac{z - \overline z}{2i}$ が成り立つことを用いれば、条件は
$$ \Im(\alpha \overline {\beta} + \beta \overline{\gamma} + \gamma \overline{\alpha}) = 0$$
とも書けます。さらにこれは
$$ \alpha \overline {\beta} + \beta \overline{\gamma} + \gamma \overline{\alpha} \text{ が実数}$$
とも同値です。また、行列式をご存じであれば
$$ \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ \alpha & \beta & \gamma \\ \overline{\alpha} & \overline{\beta} & \overline{\gamma} \end{vmatrix} = 0$$
と表せることも分かると思います。

3次方程式の解が同一直線上にあるための条件

　ここからが本題です。

　いかがでしょうか。$A,B,C$が同一直線上にあるというのは$A,B,C$について対称的な条件なので、$\alpha,\beta,\gamma$の基本対称式を使って表そうというのは自然な発想だと思います。ただ、軽くググってみたのですが、インターネット上にはこれの解答は見当たりませんでした(もしあったら教えてください)。
　今回、この問題についてそれなりにスッキリとした解答が得られたので、記事を書くことにしました。

変数変換

　式を見やすくするため、よく行われるように
$$ x + \frac 13 b = X$$
と変換します。すると方程式は
$$ X^3 + \left( - \frac 13 b^2 + c \right) X + \left( \frac 2{27}b^3 - \frac 13 bc + d \right)=0$$
となります。
$$ c' = - \frac 13 b^2 + c, \qquad d' = \frac 2{27}b^3 - \frac 13 bc + d$$
とおけば
$$ X^3 + c' X + d'=0$$
となります。変数変換は $\disp x + \frac 13 b = X$ だったので、解は平行移動します。したがって、$X^3 + c' X + d'=0$ の解が同一直線上にあるための条件を考えれば十分です。

カルダノの公式を用いた計算

　カルダノの公式については、例えば こちら を参照。
　公式によると、
$$ u^3 + v^3 = -d', \qquad uv = - \frac 13 c'$$
を満たす複素数$u,v$を1組とれば、方程式 $X^3 + c' X + d'=0$ の解は
$$ u+v, \qquad \omega u + \omega^2 v, \qquad \omega^2 u + \omega v$$
となります。ここで、$\disp \omega = \frac {-1 + \sqrt 3 i}2$ です。これらを順に$\alpha,\beta,\gamma$ とすれば、

$$\begin{aligned} \alpha \overline{\beta} + \beta \overline{\gamma }+ \gamma \overline{\alpha} &= (u+v)\overline{(\omega u + \omega^2 v)} + (\omega u + \omega^2 v)\overline{(\omega^2 u + \omega v)} + (\omega^2 u + \omega v)\overline{(u+v)} \\ &= (u+v)(\omega^2 \overline u + \omega\overline v) + (\omega u + \omega^2 v)(\omega \overline u + \omega^2 \overline v) + (\omega^2 u + \omega v)(\overline u + \overline v) \\ &= 3 \omega^2 u \overline u + 3 \omega v \overline v \\ &= 3 \omega^2 |u|^2 + 3 \omega |v|^2 \end{aligned}$$
となります。$|u|,|v|$が実数であることに注意すれば、
$$ \Im(\alpha \overline{\beta} + \beta \overline{\gamma }+ \gamma \overline{\alpha}) = -\frac {3 \sqrt 3}2 |u|^2 + \frac {3 \sqrt 3}2 |v|^2 = \frac {3 \sqrt 3}2 (|v|^2 - |u|^2)$$
が分かり、命題1から、3点$A(\alpha),B(\beta),C(\gamma)$が同一直線上にあるための必要十分条件は
$$ |u| = |v|$$
となります。

　さて、$u,v$は
$$ u^3 + v^3 = -d', \qquad uv = - \frac 13 c'$$
を満たす複素数でした。ここで、$u,v$の選び方は複数ありますが、$|u|=|v|$が成り立つかどうかは$u,v$の選び方によりません。

さらにこの証明から、以下のことが分かります。

では、2次方程式の解の絶対値が等しくなるのはどのようなときなのでしょうか？

2次方程式の2つの解の絶対値が等しくなるための条件

　解の公式を用いて
$$ \left| \frac{-p + \sqrt{p^2 - 4q}}2 \right| = \left| \frac{-p - \sqrt{p^2 - 4q}}2 \right|$$
とすれば1つの解答は得られますが、もう少しいい感じのが欲しいところです。

　2つの解を$z_1,z_2$とおきます。
$$ |z_1| = |z_2|$$
を同値変形していくと (試行錯誤の結果得られた変形なので、多少天下り的です)、
$$ |z_1| - |z_2| = 0$$
$$ (|z_1| - |z_2|)^2 = 0$$
$$ |z_1|^2 - 2|z_1z_2| + |z_2|^2 = 0$$
$$ z_1\overline{z_1} + z_2 \overline{z_2} = 2|z_1z_2|$$
惜しいところまで来ました。あとは$z_1\overline{z_1} + z_2 \overline{z_2}$が$z_1,z_2$の基本対称式で表せれば良いのですが……。

$z_1\overline{z_1} + z_2 \overline{z_2}$を$z_1,z_2$の基本対称式で表す

　シンプルながら、なかなか見かけない問題だと思います。こういうのの一般論とかあるんですかね？

　この問題については個人的に考えたことがあり、解答が得られています。というわけで、これも天下り的になりますが、解説していきます。

　まず、$z_1 \overline{z_1} + z_2 \overline{z_2}$ と $z_1 \overline{z_2} + z_2 \overline{z_1}$ の和と差を計算します。
$$ \begin{aligned} (z_1 \overline{z_1} + z_2 \overline{z_2}) + (z_1 \overline{z_2} + z_2 \overline{z_1}) &= (z_1 + z_2)(\overline{z_1} + \overline{z_2}) = |z_1 + z_2|^2 = |p|^2 \\ (z_1 \overline{z_1} + z_2 \overline{z_2}) - (z_1 \overline{z_2} + z_2 \overline{z_1}) &= (z_1 - z_2)(\overline{z_1} - \overline{z_2}) = |z_1 - z_2|^2 \\ &= |(z_1+z_2)^2 - 4z_1z_2| = |p^2 - 4q| \end{aligned}$$
辺々の和をとって2で割れば、
$$ z_1 \overline{z_1} + z_2 \overline{z_2} = \frac{|p|^2 + |p^2 - 4q|}2$$
が得られます。ついでに
$$ z_1 \overline{z_2} + z_2 \overline{z_1} = \frac{|p|^2 - |p^2 - 4q|}2$$
も得られます。

(上の手順は、結果から逆算して得られたものです。もともとは、$z_1,z_2$を解の公式で表してごり押しして求めました。)

2次方程式の2つの解の絶対値が等しくなるための条件(解決編)

　上で得られた関係式を用いて
$$ z_1\overline{z_1} + z_2 \overline{z_2} = 2|z_1z_2|$$
を変形すると、
$$ \frac{|p|^2 + |p^2 - 4q|}2 = 2|q|$$
となります。よって、

となります。

　さらによく見ると、この等式は三角不等式のような形をしています。見やすくするために
$$ |4q - p^2| = |4q| - |p^2|$$
と変形しておきます。
　一般に、ベクトル$\boldsymbol a, \boldsymbol b$が$|\boldsymbol a - \boldsymbol b| = |\boldsymbol a| - |\boldsymbol b|$を満たすための必要十分条件は、$\mathbf 0, \boldsymbol b, \boldsymbol a$がこの順に同一直線上に並ぶことです(2つ以上が重なっても良い)。したがって、

とも言えます。順番が決まってるのがなんとも不思議ですね。

3次方程式の解が同一直線上にあるための条件(解決編)

　命題2より、$\mathbb C$係数3次方程式 $X^3 + c'X + d' = 0$ の解が複素数平面において同一直線上にあるための必要十分条件は
$$ z^2 + d' z - \frac 1{27}c'^3=0$$
の解の絶対値が等しいことでした。さらに命題4より、これは $\disp 0, d'^2 , -\frac 4{27}c'^3$ がこの順に同一直線上に並ぶことと同値です。したがって、

が得られます。これが私の得た問題2の解答です。
　式で表したければ命題3を用いればよく、
$$ 27|d'|^2 + |27 d'^2 + 4c'^3| = 4|c'|^3$$
が必要十分条件となります。

　変換を元に戻した形も一応書いておきます。
$$ c' = - \frac 13 b^2 + c, \qquad d' = \frac 2{27}b^3 - \frac 13 bc + d$$
だったので、

となります。式変形してよりシンプルにできるかもしれませんが、面倒なのでとりあえずここまでとします。

検証

　定理5を再掲します。

　いくつかの特別な場合を見てみます。

$27d'^2 = -4c'^3$の場合

　この場合、条件を満たすので、3つの解は同一直線上にあるはずです。
　$D = -4c'^3 - 27d'^2$とします。この値は方程式$X^3 + c'X + d' = 0$の判別式と呼ばれる値であり、$D=0$のとき、方程式は重解を持つということが知られています。(→ 参考 )
　重解を持つということは、3つの解は同一直線上にあるので、確かに成り立っています。

$d'=0$の場合

　この場合も条件を満たすので、3つの解は同一直線上にあるはずです。
　実際、$d'=0$とすると方程式は$X^3 + c'X=0$ となり、解は
$$ X = 0, \pm \sqrt{c'}$$
となります。これらは確かに同一直線上にあります。

$c'=0$の場合

　この場合、$d'=0$でなければ条件は成り立ちません。
　$d'=0$のとき、方程式は$X^3=0$となり、解は$X=0$(3重解)となります。したがって、解は同一直線上にあります。
　$d' \neq 0$ のとき、方程式は$X^3 + d'=0$ となり、解は$-d'$の3乗根です。0でない複素数の3乗根はちょうど正三角形の頂点になることが知られているので、確かに同一直線上にありません。

実係数の場合

　$d'=0$の場合は既に見たので、$d' \neq 0$とします。このとき条件は $27d'^2 \leqq -4c'^3$となります。上で導入した判別式を用いれば、これは $D \geqq 0$ と表せます。実係数3次方程式については、$D \geqq 0$のとき、すべての解が実数解であることが知られています。したがって、確かに同一直線上にあります。
　逆に、$D<0$の場合は条件を満たしません。このとき解が同一直線上ないことは、以下のようにして確かめられます。

　$D<0$のとき、実係数3次方程式は1つの実数解と2つの共役な複素数解を持ちます。これらが同一直線上にあると仮定すると、3つの解は
$$ a, a+bi, a-bi \qquad (a,b \text{ は実数})$$
と表せます。ここで、方程式の$X^2$の係数は 0 なので、解と係数の関係より
$$ 0 = a + (a+bi) + (a-bi) = 3a$$
となり、$a=0$が得られます。$X=0$が解の1つとなるので、方程式の定数項は0, すなわち$d'=0$ となり、$d'\neq 0$としていたことに矛盾します。

終わりに

　今回の記事以外にも、複素数平面における初等幾何についてはいろいろ遊べると思います。ただ、今回ほど綺麗な結果が得られることは希なのではないかと思っています。例えば、三角形の外心の公式が こちら にありますが、これを基本対称式で表すというのはなかなか想像できません。

　ところで、今回の記事で現れた$z_1\overline{z_1} + z_2\overline{z_2}$ や $z_1\overline{z_2} + z_2\overline{z_1}$ のような「共役を含む対称式」については、あまり言及されることが無いように思います。なかなか興味深い考察対象だと思うのですが、いかがでしょうか。
　ちなみに、もし「共役を含む対称式」を基本対称式で表すアルゴリズムがあれば、今回の問題2は
$$ (\alpha\overline{\beta} - \beta\overline{\alpha} + \beta\overline{\gamma} - \gamma \overline{\beta} + \gamma \overline{\alpha} - \alpha \overline{\gamma})^2$$
を基本対称式で表して $=0$ とするだけで済みます。