テスト
$p$を素数,$n$を任意の整数とするとき,$n$が$p$で何回割り切れるか,
その最大の回数を$v_p(n)$とする.
つまり
$v_p(n)=k\Longleftrightarrow$ $n$は$p^k$の倍数であるが$p^{k+1}$の倍数でない
$(1)$$v_p(n!)=\displaystyle \sum_{i=1}^{\infty} \lbrack \frac{n}{p^i} \rbrack$を示せ.
$(2)$$a_n$を$n=\displaystyle \sum_{i=0}^{m} p^ia_i, 0\leq a_i \leq p-1$で定め,$s_p(n)=\displaystyle \sum_{i=0}^{m}a_i$とおくとき,
$v_p(n!)=\displaystyle \frac{n-s_p(n)}{p-1}$
を示せ.
$(3)$$n$が$2$の冪乗のとき$\displaystyle{}_{2n} \mathrm{ C }_n$は$2$でちょうど$1$回割り切れ,$n$が$2$の冪乗でないとき,$\displaystyle{}_{2n} \mathrm{ C }_n$は$2$で$2$以上回割り切れることを示せ.
$(1)$略
$(2)$$n_{(10)}$を$p$進数に変換する操作を考える.
| $p$ | $n$ | |
|---|---|---|
| $b_1$ | $a_0$ | |
| $b_1$ | $a_1$ | |
| ... | ... | |
| 0 | $a_m$ |
上図のように$b_i$をとれば,
$n=pb_1+a_1$
$q_1=pb_2+a_2$
...
であり,いま
$b_0=n,b_i=\displaystyle \lbrack \frac{n}{p^i} \rbrack \ \ (\forall i \in \mathbb{Z_{\geq 0}})$と定めることで
$b_i=pb_{i+1}+a_i$より,$a_i=\displaystyle \lbrack \frac{n}{p^i} \rbrack-p \displaystyle \lbrack \frac{n}{p^i} \rbrack$
故に,
$s_p(n)=\displaystyle\sum_{i=0}^{m}(\displaystyle \lbrack \frac{n}{p^i} \rbrack-p \displaystyle \lbrack \frac{n}{p^i} \rbrack)$
$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =(n+v_p(n!))-pv_p(n!)$
$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =n+(p-1)v_p(n!)$
$\therefore v_p(n!)=\displaystyle \frac{n-s_p(n)}{p-1}$
を得る.
$(3)$
補題 $s_2(2^im)=s_2(m)\ \ \ \ (for$ $\forall i \in\mathbb{Z})\ \ (m\notin2\mathbb{Z})$
証)$2^im=m_{(2)}×(10_{(2)})^i$より明らか.
特に
$s_2(m)\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
=1 (m=1)\\
\geq 2(m\not=1)
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}$
であり,
$m=1$は$n\in\lbrace 2^i\vert i\in\mathbb{Z_{\geq 0}} \rbrace$
$m\not=1$は$n\notin\lbrace 2^i\vert i\in\mathbb{Z_{\geq 0}} \rbrace$
に相当することを踏まえておけば,
$\displaystyle v_2({}_{2n} \mathrm{ C }_n)=v_2(\frac{(2n)!}{n!n!})$
$ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =v_2((2n)!)-2v_2(n!)$
$ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\displaystyle \frac{2n-s_2(2n)}{2-1}-2\frac{n-s_2(n)}{2-1} \ \ \ \ \ \ \ (\because (2))$
$ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =-s_2(2n)+2s_2(n)$
$ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =s_2(m) \ \ \ (\because 補題$1$)$
$ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
=1 \ (n\in\lbrace 2^i\vert i\in\mathbb{Z_{\geq 0}} \rbrace) \ \\
\geq 2 \ (n\notin\lbrace 2^i\vert i\in\mathbb{Z_{\geq 0}} \rbrace) \
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}$
以上から題意は示される.
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