テスト

$(1)$略

$(2)$$n_{(10)}$を$p$進数に変換する操作を考える.

上図のように$b_i$をとれば,
$n=pb_1+a_1$
$q_1=pb_2+a_2$
...
であり,いま
$b_0=n,b_i=\displaystyle \lbrack \frac{n}{p^i} \rbrack \ \ (\forall i \in \mathbb{Z_{\geq 0}})$と定めることで
$b_i=pb_{i+1}+a_i$より,$a_i=\displaystyle \lbrack \frac{n}{p^i} \rbrack-p \displaystyle \lbrack \frac{n}{p^i} \rbrack$

故に,
$s_p(n)=\displaystyle\sum_{i=0}^{m}(\displaystyle \lbrack \frac{n}{p^i} \rbrack-p \displaystyle \lbrack \frac{n}{p^i} \rbrack)$
$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =(n+v_p(n!))-pv_p(n!)$
$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =n+(p-1)v_p(n!)$
$\therefore v_p(n!)=\displaystyle \frac{n-s_p(n)}{p-1}$
を得る.

$(3)$

証)$2^im=m_{(2)}×(10_{(2)})^i$より明らか.
特に
$s_2(m)\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} =1 (m=1)\\ \geq 2(m\not=1) \end{array} \right. \end{eqnarray}$
であり,
$m=1$は$n\in\lbrace 2^i\vert i\in\mathbb{Z_{\geq 0}} \rbrace$
$m\not=1$は$n\notin\lbrace 2^i\vert i\in\mathbb{Z_{\geq 0}} \rbrace$
に相当することを踏まえておけば,

$\displaystyle v_2({}_{2n} \mathrm{ C }_n)=v_2(\frac{(2n)!}{n!n!})$
$ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =v_2((2n)!)-2v_2(n!)$
$ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\displaystyle \frac{2n-s_2(2n)}{2-1}-2\frac{n-s_2(n)}{2-1} \ \ \ \ \ \ \ (\because (2))$
$ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =-s_2(2n)+2s_2(n)$
$ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =s_2(m) \ \ \ (\because 補題$1$)$
$ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} =1 \ (n\in\lbrace 2^i\vert i\in\mathbb{Z_{\geq 0}} \rbrace) \ \\ \geq 2 \ (n\notin\lbrace 2^i\vert i\in\mathbb{Z_{\geq 0}} \rbrace) \ \end{array} \right. \end{eqnarray}$

以上から題意は示される.