pを素数,nを任意の整数とするとき,nがpで何回割り切れるか,その最大の回数をvp(n)とする.つまりvp(n)=k⟺ nはpkの倍数であるがpk+1の倍数でない(1)vp(n!)=∑i=1∞[npi]を示せ.(2)anを n=∑i=0mpiai, 0≤ai≤p−1で定め,sp(n)=∑i=0maiとおくとき,vp(n!)=n−sp(n)p−1を示せ.(3)nが2の冪乗のとき2nCnは2でちょうど1回割り切れ,nが2の冪乗でないとき,2nCnは2で2以上回割り切れることを示せ.
(1)略
(2)n(10)をp進数に変換する操作を考える.
上図のようにbiをとれば,n=pb1+a1q1=pb2+a2...であり,いま𝟘b0=n,bi=[npi] (∀i∈Z≥0)と定めることでbi=pbi+1+aiより,ai=[npi]−p[npi]
故に,sp(n)=∑i=0m([npi]−p[npi]) =(n+vp(n!))−pvp(n!) =n+(p−1)vp(n!)∴vp(n!)=n−sp(n)p−1を得る.
(3)
補題 s2(2im)=s2(m) (for ∀i∈Z) (m∉2Z)
証)2im=m(2)×(10(2))iより明らか.特にs2(m){=1(m=1)≥2(m≠1)であり,m=1は𝟘n∈{2i|i∈Z≥0}m≠1は𝟘n∉{2i|i∈Z≥0}に相当することを踏まえておけば,
v2(2nCn)=v2((2n)!n!n!) =v2((2n)!)−2v2(n!) =2n−s2(2n)2−1−2n−s2(n)2−1 (∵(2)) =−s2(2n)+2s2(n)補題 =s2(m) (∵補題1)𝟘𝟘 ={=1 (n∈{2i|i∈Z≥0}) ≥2 (n∉{2i|i∈Z≥0})
以上から題意は示される.
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