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テスト

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pを素数,nを任意の整数とするとき,npで何回割り切れるか,
その最大の回数をvp(n)とする.
つまり
vp(n)=k npkの倍数であるがpk+1の倍数でない
(1)vp(n!)=i=1[npi]を示せ.
(2)ann=i=0mpiai, 0aip1で定め,sp(n)=i=0maiとおくとき,
vp(n!)=nsp(n)p1
を示せ.
(3)n2の冪乗のとき2nCn2でちょうど1回割り切れ,n2の冪乗でないとき,2nCn22以上回割り切れることを示せ.

(1)

(2)n(10)p進数に変換する操作を考える.

pn
b1a0
b1a1
......
0am

上図のようにbiをとれば,
n=pb1+a1
q1=pb2+a2
...
であり,いま
b0=n,bi=[npi]  (iZ0)と定めることで
bi=pbi+1+aiより,ai=[npi]p[npi]

故に,
sp(n)=i=0m([npi]p[npi])
          =(n+vp(n!))pvp(n!)
          =n+(p1)vp(n!)
vp(n!)=nsp(n)p1
を得る.

(3)

補題名(任意)

補題 s2(2im)=s2(m)    (for iZ)  (m2Z)

証)2im=m(2)×(10(2))iより明らか.
特に
s2(m){=1(m=1)2(m1)
であり,
m=1n{2i|iZ0}
m1n{2i|iZ0}
に相当することを踏まえておけば,

v2(2nCn)=v2((2n)!n!n!)
               =v2((2n)!)2v2(n!)
               =2ns2(2n)212ns2(n)21       ((2))
               =s2(2n)+2s2(n)
               =s2(m)   (1)
               ={=1 (n{2i|iZ0}) 2 (n{2i|iZ0}) 

以上から題意は示される.

投稿日:2023729
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