面白い級数1
今回は面白い級数を手短に紹介および証明したいと思います。
よろしくお願いいたします。
$|q| \lt 1$なる実数$q$に対して次の式が成り立つ。
\begin{equation}
\sum_{k=1}^{\infty}\frac{kq^{k}}{1+\left(-q\right)^{k}}=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{q^{k}}{\left(1+\left(-q\right)^{k} \right)^{2}}
\end{equation}
\begin{eqnarray}
\left(左辺\right)&=&\sum_{k=1}^{\infty}\frac{kq^{k}}{1+\left(-q \right)^{k}}\\
&&q\left(1+q+q^{2}+q^{3}+q^{4}+q^{5}+q^{6}+q^{7}+q^{8}+\cdots\right) \\
&+& 2q^{2}\left(1-q^{2}+q^{4}-q^{6}+q^{8}-\cdots \right) \\
&+& 3q^{3}\left(1+q^{3}+q^{6}+\cdots\right)\\
&+& 4q^{4}\left(1-q^{4}+\cdots\right) \\
&+& 5q^{5}\left(1+q^{5}+\cdots\right) \\
&+& \cdots \\
&=& \sum_{n=1}^{\infty}q^{n}\sum_{d|n}d(-1)^{\left(d-1 \right)\frac{n-d}{d}} \\
&=&\sum_{n=1}^{\infty}q^{n}\sum_{d|n}\frac{n}{d}\left(-1\right)^{\left(d-1\right)\frac{n-d}{d}} \\
\end{eqnarray}
\begin{eqnarray}
\left(右辺\right)&=&\sum_{k=1}^{\infty}\frac{q^{k}}{\left(1+\left(-q \right)^{k}\right)^{2})}\\
&& q\left(1+2q+3q^{2}+4q^{3}+5q^{4}+6q^{5}+\cdots \right) \\
&+& q^{2}\left(1-2q^{2}+3q^{4}-\cdots \right) \\
&+& q^{3}\left(1+2q^{3}+3q^{6}+\cdots \right) \\
&+& q^{4}\left(1-2q^{4}+3q^{8}-\cdots \right) \\
&+& q^{5}\left(1+2q^{5}+q^{10}+\cdots \right) \\
&+& \cdots \\
&=& \sum_{n=1}^{\infty}q^{n}\sum_{d|n}\frac{n}{d}\left(-1\right)^{\left(d-1\right)\frac{n-d}{d}} \\
&=& \left(左辺\right)
\end{eqnarray}
自然数$m,n\in \mathbb{N}$に対して次の事が成り立つ。
\begin{equation}
\sum_{m=1}^{\infty}\frac{m-n}{2^{m}}\frac{\left(m+n \right)!}{m!}=n!
\end{equation}
\begin{eqnarray}
\frac{m-n}{2^{m}}\frac{\left(m+n\right)!}{m!}=\frac{\left(m+n-1\right)!}{2^{m-1}\left(m-1\right)!}-\frac{\left(m+n\right)!}{2^{m}m!}
\end{eqnarray}
より明らか。
