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高校数学解説
文献あり

面白い級数1

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今回は面白い級数を手短に紹介および証明したいと思います。
よろしくお願いいたします。

$|q| \lt 1$なる実数$q$に対して次の式が成り立つ。
\begin{equation} \sum_{k=1}^{\infty}\frac{kq^{k}}{1+\left(-q\right)^{k}}=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{q^{k}}{\left(1+\left(-q\right)^{k} \right)^{2}} \end{equation}

\begin{eqnarray} \left(左辺\right)&=&\sum_{k=1}^{\infty}\frac{kq^{k}}{1+\left(-q \right)^{k}}\\ &&q\left(1+q+q^{2}+q^{3}+q^{4}+q^{5}+q^{6}+q^{7}+q^{8}+\cdots\right) \\ &+& 2q^{2}\left(1-q^{2}+q^{4}-q^{6}+q^{8}-\cdots \right) \\ &+& 3q^{3}\left(1+q^{3}+q^{6}+\cdots\right)\\ &+& 4q^{4}\left(1-q^{4}+\cdots\right) \\ &+& 5q^{5}\left(1+q^{5}+\cdots\right) \\ &+& \cdots \\ &=& \sum_{n=1}^{\infty}q^{n}\sum_{d|n}d(-1)^{\left(d-1 \right)\frac{n-d}{d}} \\ &=&\sum_{n=1}^{\infty}q^{n}\sum_{d|n}\frac{n}{d}\left(-1\right)^{\left(d-1\right)\frac{n-d}{d}} \\ \end{eqnarray}
\begin{eqnarray} \left(右辺\right)&=&\sum_{k=1}^{\infty}\frac{q^{k}}{\left(1+\left(-q \right)^{k}\right)^{2})}\\ && q\left(1+2q+3q^{2}+4q^{3}+5q^{4}+6q^{5}+\cdots \right) \\ &+& q^{2}\left(1-2q^{2}+3q^{4}-\cdots \right) \\ &+& q^{3}\left(1+2q^{3}+3q^{6}+\cdots \right) \\ &+& q^{4}\left(1-2q^{4}+3q^{8}-\cdots \right) \\ &+& q^{5}\left(1+2q^{5}+q^{10}+\cdots \right) \\ &+& \cdots \\ &=& \sum_{n=1}^{\infty}q^{n}\sum_{d|n}\frac{n}{d}\left(-1\right)^{\left(d-1\right)\frac{n-d}{d}} \\ &=& \left(左辺\right) \end{eqnarray}

自然数$m,n\in \mathbb{N}$に対して次の事が成り立つ。
\begin{equation} \sum_{m=1}^{\infty}\frac{m-n}{2^{m}}\frac{\left(m+n \right)!}{m!}=n! \end{equation}

\begin{eqnarray} \frac{m-n}{2^{m}}\frac{\left(m+n\right)!}{m!}=\frac{\left(m+n-1\right)!}{2^{m-1}\left(m-1\right)!}-\frac{\left(m+n\right)!}{2^{m}m!} \end{eqnarray}
より明らか。

参考文献

[1]
WHITTAKER AND WATSON, MODERN ANALYSIS, Cambridge University Press, 1935, 39
投稿日:29日前

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投稿者

ただ趣味で数学をやっている普通の人です。 特殊な知識もなくただ数学を楽しみたいenjoy勢です。正直間違った事も平気で書くかもしれません。 僕の書いている記事で間違いを発見した時は遠慮なくご指摘してくださると助かります。

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