現代数学解説

Diaryの積分を解いてみた1

積分

Diary?

時折簡単ですが、基本かなり難しい(まじでむずい)問題を出してくれるbotです。こちらがそのアカウント。

$\int \sqrt{\frac{x + \sqrt{x^{2} + 1}}{x + \sqrt{x^{2} - 1}}} d x$

いかつ。解きます。

準備

一般形

$\int \sqrt{x^{2} + a x + b} d x = \frac{1}{2} (b - \frac{a^{2}}{4}) (x \sqrt{x^{2} + 1} + \ln (x + \frac{a}{2} + \sqrt{x^{2} + a x + b})) + C^{″}$

$J = \int \sqrt{x^{2} + a x + b} d x$ とする。
$J = \int \sqrt{{(x + \frac{a}{2})}^{2} + (b - \frac{a^{2}}{4})} d x$
$x + \frac{a}{2} = \sqrt{b - \frac{a^{2}}{4}} \sinh θ$ とおくと、 $d x = \sqrt{b - \frac{a^{2}}{4}} \cosh θ d θ$
$∴ J = \int \sqrt{(b - \frac{a^{2}}{4}) (\sinh^{2} θ + 1)} \sqrt{b - \frac{a^{2}}{4}} \cosh θ d θ = (b - \frac{a^{2}}{4}) \int \cosh^{2} θ d θ$
$= \frac{1}{2} (b - \frac{a^{2}}{4}) (θ + \sinh θ \cosh θ) + C^{'}$
ここで、
$θ = arsinh \frac{x + \frac{a}{2}}{\sqrt{b - \frac{a^{2}}{4}}} = \ln (x + \frac{a}{2} + \sqrt{x^{2} + a x + b}) - \frac{1}{2} \ln (b - \frac{a^{2}}{4}),$
$\cosh θ = \sqrt{\sinh^{2} θ + 1} = \sqrt{x^{2} + 1}$
$∴ J = \frac{1}{2} (b - \frac{a^{2}}{4}) (x \sqrt{x^{2} + 1} + \ln (x + \frac{a}{2} + \sqrt{x^{2} + a x + b})) + C^{″}$

解説

$I = \int \sqrt{\frac{x + \sqrt{x^{2} + 1}}{x + \sqrt{x^{2} - 1}}} d x$
$\sqrt{2 x + 2 \sqrt{x^{2} + 1}} = \sqrt{x - i} + \sqrt{x + i}, \sqrt{2 x + 2 \sqrt{x^{2} - 1}} = \sqrt{x - 1} + \sqrt{x + 1}$
$∴ I = \int \frac{\sqrt{x - i} + \sqrt{x + i}}{\sqrt{x - 1} + \sqrt{x + 1}} d x = \int \frac{(\sqrt{x - i} + \sqrt{x + i}) (\sqrt{x - 1} - \sqrt{x + 1})}{(\sqrt{x - 1} + \sqrt{x + 1}) (\sqrt{x - 1} - \sqrt{x + 1})} d x$
$= \int \frac{\sqrt{x^{2} - (1 + i) x + i} + \sqrt{x^{2} - (1 - i) x - i} - \sqrt{x^{2} + (1 - i) x - i} - \sqrt{x^{2} + (1 + i) + i}}{- 2} d x$
補題1より、
$\int \sqrt{x^{2} - (1 + i) x + i} d x = \frac{1}{2} (i - \frac{(1 + i)^{2}}{4}) (x \sqrt{x^{2} + 1} + \ln (x - \frac{1 + i}{2} + \sqrt{x^{2} - (1 + i) x + i})) + C_{1}$
$= \frac{i}{4} (x \sqrt{x^{2} + 1} + \ln (x - \frac{1 + i}{2} + \sqrt{x - 1} \sqrt{x - i})) + C_{1}$
$\int \sqrt{x^{2} - (1 - i) x - i} d x = \frac{1}{2} (- i - \frac{(1 - i)^{2}}{4}) (x \sqrt{x^{2} + 1} + \ln (x - \frac{1 - i}{2} + \sqrt{x^{2} - (1 - i) x - i})) + C_{2}$
$= - \frac{i}{4} (x \sqrt{x^{2} + 1} + \ln (x - \frac{1 - i}{2} + \sqrt{x - 1} \sqrt{x + i})) + C_{2}$
$\int \sqrt{x^{2} + (1 - i) x - i} d x = \frac{1}{2} (- i - \frac{(1 - i)^{2}}{4}) (x \sqrt{x^{2} + 1} + \ln (x + \frac{1 - i}{2} + \sqrt{x^{2} + (1 - i) x - i})) + C_{3}$
$= - \frac{i}{4} (x \sqrt{x^{2} + 1} + \ln (x + \frac{1 - i}{2} + \sqrt{x + 1} \sqrt{x - i})) + C_{3}$
$\int \sqrt{x^{2} + (1 + i) x + i} d x = \frac{1}{2} (i - \frac{(1 + i)^{2}}{4}) (x \sqrt{x^{2} + 1} + \ln (x + \frac{1 + i}{2} + \sqrt{x^{2} + (1 + i) x + i})) + C_{4}$
$= \frac{i}{4} (x \sqrt{x^{2} + 1} + \ln (x + \frac{1 + i}{2} + \sqrt{x + 1} \sqrt{x + i})) + C_{4}$
$∴ - 2 I = \frac{i}{4} \ln (x - \frac{1 + i}{2} + \sqrt{x - 1} \sqrt{x - i}) - \frac{i}{4} \ln (x - \frac{1 - i}{2} + \sqrt{x - 1} \sqrt{x + i}) + \frac{i}{4} \ln (x + \frac{1 - i}{2} + \sqrt{x + 1} \sqrt{x - i}) - \frac{i}{4} \ln (x + \frac{1 + i}{2} + \sqrt{x + 1} \sqrt{x + i}) + C$
長いが整理すると、
$I = \frac{i}{8} \ln \frac{(2 x + 1 + i + 2 \sqrt{x + 1} \sqrt{x + i}) (2 x - 1 + i + 2 \sqrt{x - 1} \sqrt{x + i})}{(2 x + 1 - i + 2 \sqrt{x + 1} \sqrt{x - i}) (2 x - 1 - i + 2 \sqrt{x - 1} \sqrt{x - i})} + C$
オフチョベットしたテフをマブガッドしてリットにしたような式になってしまいました。