超微分の小ネタの拡張？：有理型関数と超微分

超微分の小ネタが、もう小ネタの範疇に収まらなくなってきている気がしますが、やっていきます。今回は有理型関数の超微分です。

有理型関数とは

有理型関数とは、極以外の特異点を持たない解析関数である。(Wikipedia 有理型関数 より)

要は整関数の商として表される関数です。

考えるもの

これです。

ここで、領域$D$上に反時計回りの単純閉曲線$C$をとると、ローラン級数から、
$$a_n = \dfrac{1}{2\pi i }\oint_{C} \dfrac{u^n f'(u)}{f(u)}\: du$$
とおける。
これを留数定理から求めましょう。

$a_0$のとき

これは所謂 偏角の原理 というものですが、浅学のためしっかり証明していきます。

零点の場合

$f(z) = (z-\alpha_i)^{s_i}g(z)$と置くと、$f'(z) = s_i(z-\alpha_i)^{s_i-1}g(z)+(z-\alpha_i)^{s_i}g'(z)$となるため、
$$\dfrac{f'(z)}{f(z)} = \dfrac{s_i}{z-\alpha_i} + \dfrac{g'(z)}{g(z)}$$
と表せる。
このとき、$\dfrac{g'(z)}{g(z)}$は極をもたないため、$\dfrac{f'(z)}{f(z)}$は$z=a_i$に一位の極をもつ。よって留数は$(z-\alpha_i)^{-1}$の係数に等しく、$s_i$となる。

極の場合

$f(z) = (z-\beta_j)^{-t_i}g(z)$と置くと、$f'(z) = -t_j(z-\beta_j)^{-t_j-1}g(z)+(z-\beta_j)^{-t_j}g'(z)$となるため、
$$\dfrac{f'(z)}{f(z)} = -\dfrac{t_j}{z-\beta_j} + \dfrac{g'(z)}{g(z)}$$
と表せる。
このとき、$\dfrac{g'(z)}{g(z)}$は極をもたないため、$\dfrac{f'(z)}{f(z)}$は$z=\beta_j$に一位の極をもつ。よって留数は$(z-\beta_j)^{-1}$の係数に等しく、$-t_j$となる。

留数定理より、$\displaystyle a_0 = \sum_{i=1}^ps_i - \sum_{j=1}^qt_j$

$a_n (n\geq 1)$のとき

$z=0$に零点または極がある場合

その重複度を表す整数$m$を定める。
$f(z) = z^mg(z)$とおくと、$f'(z)=mz^{m-1}g(z)+z^mg'(z)$となるため、
$$\dfrac{z^nf'(z)}{f(z)} = mz^{n-1}+\dfrac{z^ng'(z)}{g(z)}$$
と表されるが、明らかに極を持たないため留数は$0$となる。

$\alpha_i (\neq 0)$の場合

$f(z) = (z-\alpha_i)^{s_i}g(z)$と置くと、$f'(z) = s_i(z-\alpha_i)^{s_i-1}g(z)+(z-\alpha_i)^{s_i}g'(z)$となるため、
$$\dfrac{z^nf'(z)}{f(z)} = \dfrac{s_iz^n}{z-\alpha_i} + \dfrac{z^ng'(z)}{g(z)}$$
と表せる。
このとき、$\dfrac{z^ng'(z)}{g(z)}$は極をもたないため、$\dfrac{z^nf'(z)}{f(z)}$は$z=\alpha_i$に一位の極をもつ。よって留数は、
$$\lim_{z\rightarrow \alpha_i} (z-\alpha_i)\dfrac{z^nf'(z)}{f(z)} = \lim_{z\to \alpha_i}\left(s_iz^n + (z-\alpha_i)\dfrac{z^ng'(z)}{g(z)}\right) = s_i\alpha_i^n$$

$\beta_j (\neq 0)$の場合

$f(z) = (z-\beta_j)^{-t_j}g(z)$と置くと、$f'(z) = -t_j(z-\beta_j)^{-t_j-1}g(z)+(z-\beta_j)^{-t_j}g'(z)$となるため、
$$\dfrac{z^nf'(z)}{f(z)} = -\dfrac{t_jz^n}{z-\beta_j} + \dfrac{z^ng'(z)}{g(z)}$$
と表せる。
このとき、$\dfrac{z^ng'(z)}{g(z)}$は極をもたないため、$\dfrac{z^nf'(z)}{f(z)}$は$z=\beta_j$に一位の極をもつ。よって留数は、
$$\lim_{z\rightarrow \beta_j} (z-\beta_j)\dfrac{z^nf'(z)}{f(z)} = \lim_{z\to \beta_j}\left(-t_jz^n + (z-\beta_j)\dfrac{z^ng'(z)}{g(z)}\right) = -t_j\beta_j^n$$

よって留数定理より、$\displaystyle a_n = \sum_{i=1}^ps_i\alpha_i^n - \sum_{j=1}^q t_i\beta_j^n$
(結局$\{\alpha_i\}$ないし$\{\beta_j\}$に$0$があろうが無かろうが値が変わることは無い。)

結論

$0^0 =1$とすれば、
$$a_0 = \sum_{i=1}^ps_i\alpha_i^0 - \sum_{j=1}^qt_j\beta_j^0$$
と表されるため、結局すべての非負整数$n$について
$$a_n = \sum_{i=1}^ps_i\alpha_i^n - \sum_{j=1}^qt_j\beta_j^n$$
と表せる。これは、零点の$n$乗和と極の$n$乗和の差に他ならない。

最後に

二つの整関数$A(z), B(z)$を定め、ある領域内の
$A(z)=0$の解の$n$乗和を$A_n$
$B(z)=0$の解の$n$乗和を$B_n$と表します。
二つの整関数の積$A(z)B(z)$について、
$$(A(z)B(z))^{`} = \sum_{n=0}^\infty \dfrac{A_n+B_n}{z^n}$$
であることはすぐに分かります。
有理型関数は$\dfrac{A(x)}{B(x)}$と表せます。
今回はそれについて
$$\left(\dfrac{A(x)}{B(x)}\right)^{`} = \sum_{n=0}^\infty \dfrac{A_n-B_n}{z^n}$$
と表されることが明らかになりました。
超微分における対数チックな性質ですね。

なにか間違い等ありましたら指摘お願いいたします。