複素関数論エアプです。間違いがあれば指摘してくださいお願いします。
超微分の小ネタが、もう小ネタの範疇に収まらなくなってきている気がしますが、やっていきます。今回は有理型関数の超微分です。
有理型関数とは、極以外の特異点を持たない解析関数である。(Wikipedia 有理型関数 より)
要は整関数の商として表される関数です。
これです。
重複度
重複度
領域
この時、
の
ここで、領域
とおける。
これを留数定理から求めましょう。
これは所謂 偏角の原理 というものですが、浅学のためしっかり証明していきます。
と表せる。
このとき、
と表せる。
このとき、
留数定理より、
その重複度を表す整数
と表されるが、明らかに極を持たないため留数は
と表せる。
このとき、
と表せる。
このとき、
よって留数定理より、
(結局
と表されるため、結局すべての非負整数
と表せる。これは、零点の
二つの整関数
二つの整関数の積
であることはすぐに分かります。
有理型関数は
今回はそれについて
と表されることが明らかになりました。
超微分における対数チックな性質ですね。
なにか間違い等ありましたら指摘お願いいたします。