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電卓のみで実践できるちょっと自慢できる数学

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電卓のみで実践できるちょっと自慢できる数学

こんにちは、名誉毀損です.
ちょっとキャッチーなテーマをやってみたいなと考えて、今回は電卓ですぐに確かめられるちょっとした豆知識を紹介しようと思います.

やり方

まず、電卓を用意します。やり方は簡単で
最初は2を入力し、それにルートをつけます.
次に2を足し、またルートをつけます.
次に2を足し、またルートをつけます.
次に2を足し、またルートをつけます.
・・・
これを無限回繰り返すとどうなったでしょう.
実際にやってもらうと2になることが分かります.
2=2+2+2+2
一見、不思議に見えますね.この2を3に変えてみるとどうでしょう.
これも実際にやってもらうと3にはならず
ぐちゃぐちゃな数字になってしまいますね.
次にきれいな数になるのは6のときになります.
この現象の背景を見てみることにしましょう.

理論的な背景

さて、前述でやったことはどう数学語で書けるでしょうか.
それは次のようになります.

{a1=man+1=an+m
を満たす数列{an}を考えるとき、limnanはどうなるだろうか.

これは次のようなグラフを考えると答えが求められます.

緑はy=x,赤はf(x)=y=x+mです.
与えられた漸化式はan+1=f(an)に書き換えられます.
この交点はx=1+4m+12であり、m<1+4m+12となっているため,高校数学定番の解法を用いることによって
即座にlimnan=1+4m+12を得られます.
つまり、4m+1が奇数になれば計算結果がきれいな数になります.
4m+1=2k+1
4m+1=4k2+4k+1
m=k(k+1)
よって、mは連続する2整数であればよいことが分かりました.

まとめ

今回はy=x+mという関数を挙げて考えてみました.
別の関数を用いてこのような問題を考えられないか色々やってみたんですけど私には思いつかなかったです.
以上!!!!!!

投稿日:202486
更新日:2024815
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投稿者

数学科所属の大学生です. 学んだことをここにアウトプットしていきます. 誰が見ても分かりやすいようなシリーズものをあげていくので興味がある方はチェックしていただけると嬉しいです.

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