Jacobi多項式の母関数について

区間$(0,1)$における重み関数$t^{a-1}(1-t{)}^{b-1}$のJacobi多項式を
$$\begin{array}{rl}{\rho }_n^{(a,b)}(x)& :=(-1{)}^n\frac{(a{)}_n}{n!}\sum _{k=0}^n\frac{(-n,a+b+n-1{)}_k}{k!(a{)}_k}{x}^k\end{array}$$
とする. 今回は以下の母関数の等式を証明する.

特に$b=1$として$a$-Legendre多項式を${\rho }_n^{(a)}(x):={\rho }_n^{(a,1)}(x)$とすると, 以下を得る.
$$\begin{array}{rl}\sum _{0\le n}{\rho }_n^{(a)}(x)t^n& =\frac{1}{(1+t{)}^a}\sum _{0\le n}\frac{{(\frac{a}{2},\frac{a+1}{2})}_n}{n!(a{)}_n}{\left(\frac{4xt}{(1+t{)}^2}\right)}^n\end{array}$$
また, $b=2-a$として, $a$-Chebyshev多項式を${\sigma }_n^{(a)}(x):=\frac{n!}{(a{)}_n}{\rho }_n^{(a,2-a)}(x)$とすると,

$$\begin{array}{rl}\sum _{0\le n}{\sigma }_n^{(a)}(x)t^n& =\frac{1}{1+t}\sum _{0\le n}\frac{{\left(\frac{1}{2}\right)}_n}{(a{)}_n}{\left(\frac{4xt}{(1+t{)}^2}\right)}^n\end{array}$$
を得る.