Jacobi多項式の母関数について
区間$(0,1)$における重み関数$t^{a-1}(1-t)^{b-1}$のJacobi多項式を
\begin{align*}
\rho_n^{(a,b)}(x)&:=(-1)^n\frac{(a)_n}{n!}\sum_{k=0}^n\frac{(-n,a+b+n-1)_k}{k!(a)_k}x^k
\end{align*}
とする. 今回は以下の母関数の等式を証明する.
以下の等式が成り立つ.
\begin{align*}
\sum_{0\leq n}\frac{( a+ b-1)_n}{( a)_n}\rho_n^{( a, b)}(x)t^n&=\frac{1}{(1+t)^{ a+ b-1}}\sum_{0\leq n}\frac{\left(\frac{ a+ b-1}2,\frac{ a+ b}2\right)_n}{n!( a)_n}\left(\frac{4xt}{(1+t)^2}\right)^n
\end{align*}
以下の式変形によって示される.
\begin{align*}
\sum_{0\leq n}\frac{( a+ b-1)_n}{( a)_n}\rho_n^{( a, b)}(x)t^n&=\sum_{0\leq n}(-t)^n\frac{(a+b-1)_n}{n!}\sum_{k=0}^n\frac{(-n,a+b+n-1)_k}{k!(a)_k}x^k\\
&=\sum_{0\leq k\leq n}\frac{(a+b-1)_{n+k}}{k!(a)_k(n-k)!}(-t)^n(-x)^k\\
&=\sum_{0\leq k,n}\frac{(a+b-1)_{n+2k}}{k!(a)_kn!}(-t)^n(xt)^k\\
&=\frac 1{(1+t)^{a+b-1}}\sum_{0\leq k}\frac{(a+b-1)_{2k}}{k!(a)_k}\left(\frac{xt}{(1+t)^2}\right)^k\\
&=\frac 1{(1+t)^{a+b-1}}\sum_{0\leq k}\frac{\left(\frac{a+b-1}2,\frac{a+b}2\right)_k}{k!(a)_k}\left(\frac{4xt}{(1+t)^2}\right)^k\\
\end{align*}
特に$b=1$として$a$-Legendre多項式を$\rho^{(a)}_n(x):=\rho_n^{(a,1)}(x)$とすると, 以下を得る.
\begin{align*}
\sum_{0\leq n}\rho_n^{(a)}(x)t^n&=\frac 1{(1+t)^a}\sum_{0\leq n}\frac{\left(\frac a2,\frac{a+1}2\right)_n}{n!(a)_n}\left(\frac{4xt}{(1+t)^2}\right)^n
\end{align*}
また, $b=2-a$として, $a$-Chebyshev多項式を$\sigma_n^{(a)}(x):=\frac{n!}{(a)_n}\rho_n^{(a,2-a)}(x)$とすると,
\begin{align*}
\sum_{0\leq n}\sigma_n^{(a)}(x)t^n&=\frac 1{1+t}\sum_{0\leq n}\frac{\left(\frac 12\right)_n}{(a)_n}\left(\frac{4xt}{(1+t)^2}\right)^n
\end{align*}
を得る.
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