商の微分の時短テクニック

商の微分の時短テクニック

はじめに

学部で行列式を習った際,ある数式が頭を過った.
$${\left[\frac{f(x)}{g(x)}\right]}^{\prime }=\frac{f^{\prime }(x)g(x)-f(x)g^{\prime }(x)}{g(x{)}^2}$$
商の微分の分子である.
これを行列式を用いて表すと,
$${\left[\frac{f(x)}{g(x)}\right]}^{\prime }=-\frac{\left|\begin{array}{cc}f(x)& g(x)\\ f^{\prime }(x)& g^{\prime }(x)\end{array}\right|}{g(x{)}^2}$$

となる.ロンスキアンを知っていれば

$${\left[\frac{f(x)}{g(x)}\right]}^{\prime }=-\frac{W(f,g)}{g(x{)}^2}$$
となる.ロンスキアンを微分ととらえると,なんとなく$1/f$の微分$-f^{\prime }/f^2$のアナロジーであると気付けるだろう.

1.${\displaystyle \frac{ax+b}{cx+d}}$の微分

次に,先の公式を用いて特殊なケースについて考える.
$f⟼ax+b,g⟼cx+d$として,

$$\begin{array}{rl}{\left[\frac{ax+b}{cx+d}\right]}^{\prime }& =-\frac{\left|\begin{array}{cc}ax+b& cx+d\\ a& c\end{array}\right|}{(cx+d{)}^2}\\ & =-\frac{\left|\begin{array}{cc}b& d\\ a& c\end{array}\right|}{(cx+d{)}^2}\\ & =\frac{\left|\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right|}{(cx+d{)}^2}\end{array}$$

筆者はこれを暗記し,同様の微分を暗算で検算している.

2.${\displaystyle \frac{af(x)+b}{cf(x)+d}}$の微分

$f⟼af+b,g⟼cf+d$として,

$$\begin{array}{rl}{\left[\frac{af(x)+b}{cf(x)+d}\right]}^{\prime }& =-\frac{\left|\begin{array}{cc}af(x)+b& cf(x)+d\\ a{f}^{\prime }(x)& c{f}^{\prime }(x)\end{array}\right|}{(cf(x)+d{)}^2}\\ & =-\frac{\left|\begin{array}{cc}b& d\\ a{f}^{\prime }(x)& c{f}^{\prime }(x)\end{array}\right|}{(cf(x)+d{)}^2}\\ & =\frac{\left|\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right|f^{\prime }(x)}{(cf(x)+d{)}^2}\end{array}$$

筆者はこれを暗記し,同様の微分を暗算で検算している.

オマケ.${\displaystyle \frac{f(x)}{g(x{)}^n}}$の微分

$g⟼g^n$として,

$$\begin{array}{rl}{\left[\frac{f(x)}{g(x{)}^n}\right]}^{\prime }& =-\frac{\left|\begin{array}{cc}f(x)& g(x{)}^n\\ f^{\prime }(x)& ng(x{)}^{n-1}{g}^{\prime }(x)\end{array}\right|}{g(x{)}^{2n}}\\ & =-\frac{\left|\begin{array}{cc}f(x)& g(x)\\ f^{\prime }(x)& n{g}^{\prime }(x)\end{array}\right|g(x{)}^{n-1}}{g(x{)}^{2n}}\\ & =\frac{f^{\prime }(x)g(x)-nf(x)g^{\prime }(x)}{g(x{)}^{n+1}}\end{array}$$

これは商の微分で証明できるため,筆者同様高校時代に気付いた者も多いだろう.