商の微分の時短テクニック

商の微分の時短テクニック

はじめに

学部で行列式を習った際,ある数式が頭を過った.
$$ \left[\frac{f(x)}{g(x)}\right]’ =\frac{f’(x)g(x)-f(x)g’(x)}{g(x)^2} $$
商の微分の分子である.
これを行列式を用いて表すと,
$$ \left[\frac{f(x)}{g(x)}\right]’ =-\frac{ \begin{vmatrix} f(x) & g(x) \\ f’(x) & g’(x) \end{vmatrix}} {g(x)^2} $$

となる.ロンスキアンを知っていれば

$$ \left[\frac{f(x)}{g(x)}\right]’ =-\frac{W(f,g)}{g(x)^2} $$
となる.ロンスキアンを微分ととらえると,なんとなく$1/f$の微分$-f’/f^2$のアナロジーであると気付けるだろう.

1.$\dfrac{ax+b}{cx+d}$の微分

次に,先の公式を用いて特殊なケースについて考える.
$f \longmapsto ax+b,g \longmapsto cx+d$として,

$$\begin{align} \left[\frac{ax+b}{cx+d}\right]’ &=-\frac{ \begin{vmatrix} ax+b & cx+d \\ a & c \end{vmatrix}} {(cx+d)^2}\\ &=-\frac{ \begin{vmatrix} b & d \\ a & c \end{vmatrix}} {(cx+d)^2}\\ &=\frac{ \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix}} {(cx+d)^2} \end{align}$$

筆者はこれを暗記し,同様の微分を暗算で検算している.

2.$\dfrac{af(x)+b}{cf(x)+d}$の微分

$f \longmapsto af+b,g \longmapsto cf+d$として,

$$\begin{align} \left[\frac{af(x)+b}{cf(x)+d}\right]’ &=-\frac{ \begin{vmatrix} af(x)+b & cf(x)+d \\ af’(x) & cf’(x) \end{vmatrix}} {(cf(x)+d)^2}\\ &=-\frac{ \begin{vmatrix} b & d \\ af’(x) & cf’(x) \end{vmatrix}} {(cf(x)+d)^2}\\ &=\frac{ \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix}f’(x)} {(cf(x)+d)^2} \end{align}$$

筆者はこれを暗記し,同様の微分を暗算で検算している.

オマケ.$\dfrac{f(x)}{g(x)^n}$の微分

$g \longmapsto g^n$として,

$$\begin{align} \left[\frac{f(x)}{g(x)^n}\right]’ &=-\frac{ \begin{vmatrix} f(x) & g(x)^n \\ f’(x) & ng(x)^{n-1}g’(x) \end{vmatrix}} {g(x)^{2n}}\\ &=-\frac{ \begin{vmatrix} f(x) & g(x) \\ f’(x) & ng’(x) \end{vmatrix}g(x)^{n-1}} {g(x)^{2n}}\\ &=\frac{f’(x)g(x)-nf(x)g’(x)}{g(x)^{n+1}} \end{align}$$

これは商の微分で証明できるため,筆者同様高校時代に気付いた者も多いだろう.