3倍角の公式を用いた3次方程式の解法

3次方程式

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目標

この記事では，異なる $3$ つの実数解をもつ $3$ 次方程式
$a x^{3} + b x^{2} + c x + d = 0 (a \neq 0)$
を， $3$ 倍角の公式

3倍角の公式

実数 $θ$ に対して， $\cos (3 θ) = 4 \cos {(θ)}^{3} - 3 \cos (θ)$ が成り立つ．

を用いて解く方法を紹介する．

標準形 $x^{3} + p x + q = 0$ の場合

簡単のため，まずは $x^{3} + p x + q = 0$ という形の $3$ 次方程式について考える（ $p, q$ は実数）．
（後述の通り，実は適当な式変形によってすべての $3$ 次方程式はこの $x^{3} + p x + q = 0$ という形に帰着される．）

異なる3つの実数解をもつ条件

本記事では異なる $3$ つの実数解をもつ $3$ 次方程式だけを考察対象とする．
後の議論のため， $x^{3} + p x + q = 0$ が異なる $3$ つの実数解をもつための条件を求めておく．

異なる3つの実数解をもつ条件

$p, q$ を実数とする．このとき， $3$ 次方程式 $x^{3} + p x + q = 0$ が異なる $3$ つの実数解をもつための必要十分条件は， $- 4 p^{3} - 27 q^{2} > 0$ が成り立つことである．

関数 $f (x) := x^{3} + p x + q$ を考えると， $3$ 次方程式 $f (x) = 0$ が異なる $3$ つの実数解をもつための必要十分条件は， $2$ 次方程式 $f^{'} (x) = 0$ が異なる $2$ つの実数解 $α, β$ をもち，かつ $f (α) f (β) < 0$ が成り立つことである．
!FORMULA[30][38352][0]軸と異なる!FORMULA[31][36213][0]点で交わる!FORMULA[32][36213][0]次関数のグラフ $x$ 軸と異なる $3$ 点で交わる $3$ 次関数のグラフ
いま $f^{'} (x) = 3 x^{2} + p$ だから， $2$ 次方程式 $f^{'} (x) = 0$ が異なる $2$ つの実数解 $α, β$ をもつための必要十分条件は $p < 0$ である．さらにこのとき，解と係数の関係より
$α + β = 0, α β = \frac{p}{3}$
が成り立つから
$\begin{aligned} α^{2} + β^{2} & = (α + β)^{2} - 2 α β = - \frac{2 p}{3}, \\ α^{3} + β^{3} & = (α + β) (α^{2} - α β + β^{2}) = 0 \end{aligned}$
も用いると
$\begin{aligned} f (α) f (β) & = (α^{3} + p α + q) (β^{3} + p β + q) \\ = α^{3} β^{3} + p α β (α^{2} + β^{2}) + q (α^{3} + β^{3}) + p^{2} α β + p q (α + β) + q^{2} \\ = \frac{p^{3}}{27} - \frac{2 p^{3}}{9} + 0 + \frac{p^{3}}{3} + 0 + q^{2} \\ = \frac{4 p^{3} + 27 q^{2}}{27} \end{aligned}$
となる．よって， $f (α) f (β) < 0$ は $- 4 p^{3} - 27 q^{2} > 0$ と同値であることがわかった．ところで $- 4 p^{3} - 27 q^{2} > 0$ が成り立つとき
$- 4 p^{3} > 27 q^{2} \geq 0$
より自動的に $p < 0$ が成り立つから，「 $p < 0$ かつ $- 4 p^{3} - 27 q^{2} > 0$ 」は $- 4 p^{3} - 27 q^{2} > 0$ と同値である．

したがって以下 $- 4 p^{3} - 27 q^{2} > 0$ と仮定する．
証明でも指摘した通り，この仮定の下では自動的に $p < 0$ が成り立つことに注意．

解の1つを求める

方程式 $x^{3} + p x + q = 0$ を， $3$ 倍角の公式 $\cos (3 θ) = 4 \cos {(θ)}^{3} - 3 \cos (θ)$ に近い形へと変形する．
$p < 0$ であることに注意して
$x = \sqrt{- \frac{4 p}{3}} X$
と変数変換すれば，方程式は
$\begin{aligned} x^{3} + p x + q = 0 \\ ⟺ & - \frac{4 p}{3} \sqrt{- \frac{4 p}{3}} X^{3} + p \sqrt{- \frac{4 p}{3}} X + q = 0 \\ ⟺ & 4 X^{3} - 3 X = \frac{3 q}{p} \sqrt{- \frac{3}{4 p}} \end{aligned}$
と書き換えられる．いま $- 4 p^{3} - 27 q^{2} > 0$ と仮定していたことを思い出すと，右辺について
$(\frac{3 q}{p} \sqrt{- \frac{3}{4 p}})^{2} = - \frac{27 q^{2}}{4 p^{3}} < 1$
が成り立つから，中間値の定理より
$\cos (3 θ) = \frac{3 q}{p} \sqrt{- \frac{3}{4 p}}$
を満たす $θ \in (0, \frac{π}{3})$ がただ $1$ つ存在する．
!FORMULA[63][1782773758][0]の取り方 $θ$ の取り方
$3$ 倍角の公式より， $X = \cos (θ)$ は明らかに $4 X^{3} - 3 X = \cos (3 θ)$ の解である．

ここまでの議論より，次の命題を得る．

解の1つを

\cos

で表す

$p, q$ は $- 4 p^{3} - 27 q^{2} > 0$ を満たす実数とする．このとき $\cos (3 θ) = \frac{3 q}{p} \sqrt{- \frac{3}{4 p}}$
を満たす $θ \in (0, \frac{π}{3})$ がただ一つ存在し，
$x = \sqrt{- \frac{4 p}{3}} \cos (θ)$
は方程式 $x^{3} + p x + q = 0$ の解である．

3つの実数解をすべて求める

3つすべての解を

\cos

で表す

$p, q$ は $- 4 p^{3} - 27 q^{2} > 0$ を満たす実数とする．このとき
$\cos (3 θ) = \frac{3 q}{p} \sqrt{- \frac{3}{4 p}}$
を満たす $θ \in (0, \frac{π}{3})$ がただ一つ存在し，
$\begin{aligned} x = & \sqrt{- \frac{4 p}{3}} \cos (θ), \\ \sqrt{- \frac{4 p}{3}} \cos (θ + \frac{2}{3} π), \\ \sqrt{- \frac{4 p}{3}} \cos (θ + \frac{4}{3} π) \end{aligned}$
は方程式 $x^{3} + p x + q = 0$ の異なる $3$ つの実数解である．

$\cos (3 (θ + \frac{2}{3} π)) = \cos (3 (θ + \frac{4}{3} π)) = \cos (3 θ) = \frac{3 q}{p} \sqrt{- \frac{3}{4 p}}$
が成り立つから，前節と同様の議論によって
$x = \sqrt{- \frac{4 p}{3}} \cos (θ), \sqrt{- \frac{4 p}{3}} \cos (θ + \frac{2}{3} π), \sqrt{- \frac{4 p}{3}} \cos (θ + \frac{4}{3} π)$
は方程式 $x^{3} + p x + q = 0$ の実数解となる．あとはこれら $3$ つが相異なることを示せばよいが，それは $0 < θ < \frac{π}{3}$ より
$- 1 < \cos (θ + \frac{2}{3} π) < - \frac{1}{2} < \cos (θ + \frac{4}{3} π) < \frac{1}{2} < \cos (θ) < 1$
が成り立つことから従う．
!FORMULA[88][36213][0]つの解の大小関係 $3$ つの解の大小関係

一般形 $a x^{3} + b x^{2} + c x + d = 0$ の場合

標準形に帰着する

左辺 $a x^{3} + b x^{2} + c x + d$ から $2$ 次の項を消去するために
$x = X - \frac{b}{3 a}$
と変数変換すると
$\begin{aligned} a x^{3} + b x^{2} + c x + d \\ = a (X - \frac{b}{3 a})^{3} + b (X - \frac{b}{3 a})^{2} + c (X - \frac{b}{3 a}) + d \\ = a X^{3} + (c - \frac{b^{2}}{3 a}) X + (d - \frac{b c}{3 a} + \frac{2 b^{3}}{27 a^{2}}) \\ = a (X^{3} + p X + q) \end{aligned}$
となる．ただし，新たな係数 $p, q$ は
$p = \frac{1}{a} (c - \frac{b^{2}}{3 a}), q = \frac{1}{a} (d - \frac{b c}{3 a} + \frac{2 b^{3}}{27 a^{2}})$
で定めた．この標準形の方程式 $X^{3} + p X + q = 0$ を解くことができれば，変数変換をもとに戻すことで $a x^{3} + b x^{2} + c x + d = 0$ の解も得られる．

異なる3つの実数解をもつ条件

3次方程式が異なる3つの実数解をもつ条件

$a, b, c, d$ は $a \neq 0$ を満たす実数とする．このとき，3次方程式 $a x^{3} + b x^{2} + c x + d = 0$ が異なる $3$ つの実数解をもつための必要十分条件は， $18 a b c d - 4 a c^{3} - 27 a^{2} d^{2} + b^{2} c^{2} - 4 b^{3} d > 0$ が成り立つことである．

先述の方法で標準形 $X^{3} + p X + q = 0$ に帰着すると，この方程式が異なる $3$ つの実数解をもつための必要十分条件は $- 4 p^{3} - 27 q^{2} > 0$ が成り立つことだった．
$p = \frac{1}{a} (c - \frac{b^{2}}{3 a}), q = \frac{1}{a} (d - \frac{b c}{3 a} + \frac{2 b^{3}}{27 a^{2}})$
を用いて計算すると
$\begin{aligned} - 4 p^{3} - 27 q^{2} & = - \frac{4}{a^{3}} (c - \frac{b^{2}}{3 a})^{3} - \frac{27}{a^{2}} (d - \frac{b c}{3 a} + \frac{2 b^{3}}{27 a^{2}})^{2} \\ = \frac{18 a b c d - 4 a c^{3} - 27 a^{2} d^{2} + b^{2} c^{2} - 4 b^{3} d}{a^{4}} \end{aligned}$
だから， $- 4 p^{3} - 27 q^{2} > 0$ は $18 a b c d - 4 a c^{3} - 27 a^{2} d^{2} + b^{2} c^{2} - 4 b^{3} d > 0$ と同値である．

$18 a b c d - 4 a c^{3} - 27 a^{2} d^{2} + b^{2} c^{2} - 4 b^{3} d$ は， $3$ 次方程式 $a x^{3} + b x^{2} + c x + d = 0$ の判別式とよばれる量である．

$- 4 p^{3} - 27 q^{2} > 0$ のとき $p < 0$ が成り立つから， $18 a b c d - 4 a c^{3} - 27 a^{2} d^{2} + b^{2} c^{2} - 4 b^{3} d > 0$ のとき $b^{2} - 3 a c > 0$ が成り立つ．

まとめ

ここまでの議論をまとめれば，次の結果を得る（計算略）．

$a, b, c, d$ は $a \neq 0$ を満たす実数とする．このとき，次のことが成り立つ．

3次方程式 $a x^{3} + b x^{2} + c x + d = 0$ が異なる $3$ つの実数解をもつための必要十分条件は， $18 a b c d - 4 a c^{3} - 27 a^{2} d^{2} + b^{2} c^{2} - 4 b^{3} d > 0$ が成り立つことである．
$18 a b c d - 4 a c^{3} - 27 a^{2} d^{2} + b^{2} c^{2} - 4 b^{3} d > 0$ が成り立つとき，
$\cos (3 θ) = \frac{9 a b c - 27 a^{2} d - 2 b^{3}}{2 (b^{2} - 3 a c)^{3 / 2}}$
を満たす $θ \in (0, \frac{π}{3})$ がただ一つ存在し，3次方程式 $a x^{3} + b x^{2} + c x + d = 0$ の異なる $3$ つの実数解は
$\begin{aligned} x = & \frac{2 (b^{2} - 3 a c)^{1 / 2}}{3 | a |} \cos (θ) - \frac{b}{3 a}, \\ \frac{2 (b^{2} - 3 a c)^{1 / 2}}{3 | a |} \cos (θ + \frac{2}{3} π) - \frac{b}{3 a}, \\ \frac{2 (b^{2} - 3 a c)^{1 / 2}}{3 | a |} \cos (θ + \frac{4}{3} π) - \frac{b}{3 a} \end{aligned}$
と表される．