3倍角の公式を用いた3次方程式の解法

関数$f(x):=x^3+px+q$を考えると，$3$次方程式$f(x)=0$が異なる$3$つの実数解をもつための必要十分条件は，$2$次方程式$f'(x)=0$が異なる$2$つの実数解$\alpha,\beta$をもち，かつ$f(\alpha)f(\beta)<0$が成り立つことである．
$x$軸と異なる$3$点で交わる$3$次関数のグラフ
いま$f'(x)=3x^2+p$だから，$2$次方程式$f'(x)=0$が異なる$2$つの実数解$\alpha,\beta$をもつための必要十分条件は$p<0$である．さらにこのとき，解と係数の関係より
$$ \alpha+\beta=0, \qquad \alpha\beta=\frac{p}{3}$$
が成り立つから
\begin{align*} \alpha^2+\beta^2&=(\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta=-\frac{2p}{3}, \\ \alpha^3+\beta^3&=(\alpha+\beta)(\alpha^2-\alpha\beta+\beta^2)=0 \end{align*}
も用いると
\begin{align*} f(\alpha)f(\beta) &=(\alpha^3+p\alpha+q)(\beta^3+p\beta+q) \\ &=\alpha^3\beta^3+p\alpha\beta(\alpha^2+\beta^2)+q(\alpha^3+\beta^3)+p^2\alpha\beta+pq(\alpha+\beta)+q^2 \\ &=\frac{p^3}{27}-\frac{2p^3}{9}+0+\frac{p^3}{3}+0+q^2 \\ &=\frac{4p^3+27q^2}{27} \end{align*}
となる．よって，$f(\alpha)f(\beta)<0$は$-4p^3-27q^2>0$と同値であることがわかった．ところで$-4p^3-27q^2>0$が成り立つとき
$$ -4p^3>27q^2\ge 0$$
より自動的に$p<0$が成り立つから，「$p<0$かつ$-4p^3-27q^2>0$」は$-4p^3-27q^2>0$と同値である．

$$ \cos\bigg(3\bigg(\theta+\frac{2}{3}\pi\bigg)\bigg)=\cos\bigg(3\bigg(\theta+\frac{4}{3}\pi\bigg)\bigg)=\cos(3\theta)=\frac{3q}{p}\sqrt{-\frac{3}{4p}}$$
が成り立つから，前節と同様の議論によって
$$ x=\sqrt{-\frac{4p}{3}}\cos(\theta),\ \sqrt{-\frac{4p}{3}}\cos\bigg(\theta+\frac{2}{3}\pi\bigg),\ \sqrt{-\frac{4p}{3}}\cos\bigg(\theta+\frac{4}{3}\pi\bigg)$$
は方程式$x^3+px+q=0$の実数解となる．あとはこれら$3$つが相異なることを示せばよいが，それは$0<\theta<\frac{\pi}{3}$より
$$ -1<\cos\bigg(\theta+\frac{2}{3}\pi\bigg)<-\frac{1}{2}<\cos\bigg(\theta+\frac{4}{3}\pi\bigg)<\frac{1}{2}<\cos(\theta)<1$$
が成り立つことから従う．
$3$つの解の大小関係

先述の方法で標準形$X^3+pX+q=0$に帰着すると，この方程式が異なる$3$つの実数解をもつための必要十分条件は$-4p^3-27q^2>0$が成り立つことだった．
$$ p=\frac{1}{a}\bigg(c-\frac{b^2}{3a}\bigg), \qquad q=\frac{1}{a}\bigg(d-\frac{bc}{3a}+\frac{2b^3}{27a^2}\bigg)$$
を用いて計算すると
\begin{align*} -4p^3-27q^2 &=-\frac{4}{a^3}\bigg(c-\frac{b^2}{3a}\bigg)^3-\frac{27}{a^2}\bigg(d-\frac{bc}{3a}+\frac{2b^3}{27a^2}\bigg)^2 \\ &=\frac{18abcd-4ac^3-27a^2d^2+b^2c^2-4b^3d}{a^4} \end{align*}
だから，$-4p^3-27q^2>0$は$18abcd-4ac^3-27a^2d^2+b^2c^2-4b^3d>0$と同値である．