ほぼ有理数

子供のころ、電卓で
$$\begin{array}{r}\frac{a+\sqrt{b}}{b+\sqrt{a}}\end{array}$$
の形で表される数を計算して驚いたことがあります。($a,b$は整数)
たまに面白い並びを見せてくれるからです
特にこれが好きでした
$$\begin{array}{rcl}\frac{3+\sqrt{5}}{5+\sqrt{3}}& \approx & 0.777782005\end{array}$$
ほぼ$\frac{7}{9}$やん！っていって
...

成長してプログラミングできるようになったのでいくつか挙げたいと思います
$$\begin{array}{rcl}\frac{79+\sqrt{76}}{76+\sqrt{79}}& =& 1.033333297865\\ \frac{77+\sqrt{48}}{48+\sqrt{77}}& =& \frac{34}{23}-0.000000087971257630559263\\ \frac{2+\sqrt{13}}{13+\sqrt{2}}& =& 0.38889053857899931666418128\\ \frac{54+\sqrt{22}}{22+\sqrt{54}}& =& 1.999777750013982386821814357177465759918920802699490470620999955544938503357526\\ \frac{2+\sqrt{3}}{3+\sqrt{2}}& =& 0.8454622221\\ \frac{35+\sqrt{40}}{40+\sqrt{35}}& =& 0.9000018188\\ \frac{10+\sqrt{12}}{12+\sqrt{10}}& =& 0.887999937\\ \frac{43+\sqrt{17}}{17+\sqrt{43}}& =& 2.0003492984606\\ \frac{205+\sqrt{93}}{93+\sqrt{205}}& =& 2.0000746253917653\\ \frac{191+\sqrt{14}}{14+\sqrt{191}}& =& 6.9999903904320426104\\ \frac{633+\sqrt{300}}{300+\sqrt{633}}& =& 2.00000469177155618973\\ \frac{1671+\sqrt{43}}{43+\sqrt{1671}}& =& 20.000001205151226820466721766875\\ \frac{6960+\sqrt{633}}{633+\sqrt{6960}}& =& \frac{39}{4}+0.000000000392034640992437902620875439264515008\end{array}$$
こんな感じでいくらでも出ます。
しかし、どうしてこれらがだいたい有理数(しかも分母が小さめの分数)になるのかは分かりません。

一番有理数なのはこれでした。
$$\begin{array}{rcl}\frac{2021+\sqrt{3505}}{3505+\sqrt{2021}}& =& \frac{191936}{327547}-0.00000000000000000001314963502926856209033371878718281396484667359285398527674213695783707844487064036334159\end{array}$$
こういうのも見つけることができます。
$$\begin{array}{rcl}\frac{13+\sqrt{184}}{184+\sqrt{13}}+3& =& 3.141598475021910494912656132400707572102\\ \frac{1326+\sqrt{10036}}{10036+\sqrt{1326}}+3& =& 3.14159265080175180894683984097305332221154564672056204929897275\end{array}$$
つまりは、たまたまってことです。理由をつけるとしたら、

4桁の自然数は約10000通りあります。そこから二つ選ぶので${10000}^2={10}^8$通り。
このうち1以下のものは半分の$5\times {10}^7$通りあります。
これだけの数が$0\sim 1$の間にあればどれかは7か8桁の精度で好きな$0\sim 1$の間の有理数に近い数っていうのは見つかるものでしょう。さらに好きな有理数ではなく単に有理数に近い数を求めることで、この精度は少し上がるでしょうということです。
要は、たまたまってことです。