Wolfram Alpha も解けなかった積分

Wolfram Alpha とは，微積分，微分方程式など，あらゆる計算ができるサイトで，かなり難しい計算も一瞬でしてくれる．そこで，自作の積分問題を出題したところ，なんとWolfram Alpha は解くことができなかった．その自作問題がこちら

この問題を解けたらWolfram Alpha 越えと言ってよいでしょう！
(答え↓)
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答え

$$ 3-\frac{\pi}{2\sqrt{3}}+\log2-\frac{1}{2}\log3 $$
対してWolfram Alpha の答えは...

Wolfram Alpha の答え

$$ 3\times3^{2/3}{}_2 F_1(-\frac{1}{3},-\frac{1}{3};\frac{2}{3};\frac{1}{9}) -3-\frac{\pi}{\sqrt{3}}+\log2 $$
超幾何関数は反則でしょう
https://www.wolframalpha.com/input?i2d=true&i=Integrate%5BCbrt%5BDivide%5B%EF%BC%91%EF%BC%8D%EF%BD%98%2CPower%5B%EF%BD%98%2C%EF%BC%94%5D%5D%5D%2C%7B%EF%BD%98%2CDivide%5B%EF%BC%91%2C%EF%BC%99%5D%2CDivide%5B%EF%BC%91%2C%EF%BC%92%5D%7D%5D&lang=ja

解説

与式を変形して
$$ \int_{\frac{1}{9}}^{\frac{1}{2}} \frac{1}{x}\sqrt[3]{\frac{1}{x}-1}dx $$
$t^3=\displaystyle\frac{1}{x}-1$となるように$x=\displaystyle\frac{1}{1+t^3}$と置換すると,
$$ \begin{split} (与式) &= \displaystyle\int_{2}^{1} (1+t^3)t\frac{dx}{dt}dt \\ &= \displaystyle\int_{1}^{2} \frac{3t^3}{1+t^3}dt \\ &= 3-3\displaystyle\int_{1}^{2} \frac{1}{1+t^3}dt \end{split} $$
(ここまでくればWolfram Alpha も解ける)
$\displaystyle\int_{1}^{2} \frac{1}{1+t^3}dt$を求める．

$\displaystyle\frac{1}{1+t^3}$は次のように分解できる．
$$ \displaystyle\frac{1}{1+t^3} =\frac{1}{2}(\frac{1}{1+t}+\frac{1}{1-t+t^2}-\frac{t^2}{1+t^3}) $$
ここで，
$$ \displaystyle\int_{1}^{2} \frac{1}{1+t}dt =\left[ \log|1+t| \right]_1^2 =\log3-\log2 $$
$$ \displaystyle\int_{1}^{2} \frac{1}{1-t+t^2}dt =\displaystyle\frac{4}{3}\int_{1}^{2} \frac{1}{(\frac{2}{\sqrt{3}}(t-\frac{1}{2}))^2+1}dt =\displaystyle\frac{2}{\sqrt{3}}\int_{\frac{1}{\sqrt{3}}}^{\sqrt{3}} \frac{1}{t^2+1}dt =\frac{\pi}{3\sqrt{3}} $$
$$ \displaystyle\int_{1}^{2} \frac{t^2}{1+t^3}dt =\left[ \frac{1}{3}\log|1+t^3| \right]_1^2 =\frac{2}{3}\log3-\frac{1}{3}\log2 $$
以上の計算を一つにまとめると答えが求まる．