Wolfram Alpha も解けなかった積分

Wolfram Alpha とは，微積分，微分方程式など，あらゆる計算ができるサイトで，かなり難しい計算も一瞬でしてくれる．そこで，自作の積分問題を出題したところ，なんとWolfram Alpha は解くことができなかった．その自作問題がこちら

この問題を解けたらWolfram Alpha 越えと言ってよいでしょう！
(答え↓)
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答え

$$3-\frac{\pi }{2\sqrt{3}}+\log 2-\frac{1}{2}\log 3$$
対してWolfram Alpha の答えは...

Wolfram Alpha の答え

$$3\times 3^{2/3}{}_2{F}_1(-\frac{1}{3},-\frac{1}{3};\frac{2}{3};\frac{1}{9})-3-\frac{\pi }{\sqrt{3}}+\log 2$$
超幾何関数は反則でしょう
https://www.wolframalpha.com/input?i2d=true&i=Integrate%5BCbrt%5BDivide%5B%EF%BC%91%EF%BC%8D%EF%BD%98%2CPower%5B%EF%BD%98%2C%EF%BC%94%5D%5D%5D%2C%7B%EF%BD%98%2CDivide%5B%EF%BC%91%2C%EF%BC%99%5D%2CDivide%5B%EF%BC%91%2C%EF%BC%92%5D%7D%5D&lang=ja

解説

与式を変形して
$${\int }_{\frac{1}{9}}^{\frac{1}{2}}\frac{1}{x}\sqrt[3]{\frac{1}{x}-1}dx$$
$t^3={\displaystyle \frac{1}{x}-1}$となるように$x={\displaystyle \frac{1}{1+t^3}}$と置換すると,
$$\begin{array}{rl}(与式)& ={\displaystyle {\int }_2^1(1+t^3)t\frac{dx}{dt}dt}\\ & ={\displaystyle {\int }_1^2\frac{3t^3}{1+t^3}dt}\\ & =3-3{\displaystyle {\int }_1^2\frac{1}{1+t^3}dt}\end{array}$$
(ここまでくればWolfram Alpha も解ける)
${\displaystyle {\int }_1^2\frac{1}{1+t^3}dt}$を求める．

${\displaystyle \frac{1}{1+t^3}}$は次のように分解できる．
$${\displaystyle \frac{1}{1+t^3}=\frac{1}{2}(\frac{1}{1+t}+\frac{1}{1-t+t^2}-\frac{t^2}{1+t^3})}$$
ここで，
$${\displaystyle {\int }_1^2\frac{1}{1+t}dt={[\log |1+t|]}_1^2=\log 3-\log 2}$$
$${\displaystyle {\int }_1^2\frac{1}{1-t+t^2}dt={\displaystyle \frac{4}{3}{\int }_1^2\frac{1}{(\frac{2}{\sqrt{3}}(t-\frac{1}{2}){)}^2+1}dt={\displaystyle \frac{2}{\sqrt{3}}{\int }_{\frac{1}{\sqrt{3}}}^{\sqrt{3}}\frac{1}{t^2+1}dt=\frac{\pi }{3\sqrt{3}}}}}$$
$${\displaystyle {\int }_1^2\frac{t^2}{1+t^3}dt={[\frac{1}{3}\log |1+t^3|]}_1^2=\frac{2}{3}\log 3-\frac{1}{3}\log 2}$$
以上の計算を一つにまとめると答えが求まる．