角の二等分線の問題

角の2等分線

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はじめに

youtubeから流れてきた「角の二等分線の問題prob1」について。
なかなか悩んだので記録しておきます。

問題

$△ ABD$ の面積を求めよ。

想定解

想定解は $20$ とのこと。
点 $D$ から辺 $AB$ へ下ろした垂線の長さが $4$ になるので、
面積は
$10 \times 4 \div 2 = 20$

この三角形は存在するか

そもそも「この三角形は存在しないのでは?」という議論があったので検討する。

まず、 $BD$ の長さを $x$ 、 $AC$ の長さを $y$ とおく。また、点 $D$ から辺 $AB$ へ下ろした垂線の足を点 $E$ とする。

$△ ABC$ と $△ DBE$ が相似なので
$10 : x = y : 4 (AB : BD = AC : DE)$
よって
$x y = 40$
$y < 10$ なので、上式と合わせて考えると
$x > 4$
同様に $x + 4 < 10$ から
$y > \frac{20}{3}$
よって、 $x$ , $y$ は適当な正数 $α$ , $β$ を用いて、
$x = 4 + α$ 、 $y = 6 + β$
とおける。

$△ ABC$ について三平方の定理を考えると
$(x + 4)^{2} + y^{2} = 100$
$α$ , $β$ を用いて式を書きかえると
$(8 + α)^{2} + (6 + β)^{2} = 100$
だが
$8^{2} + 6^{2} = 100$
であるので、
条件を満たす正数 $α$ , $β$ の組は存在しない。
よって、このような $△ ABC$ は存在しない。

おわりに

今回、三角形の不存在を示すにあたり、
三角不等式、正弦定理など、思いついた式を片っ端から書き出して検討ましたが、
必要十分な検討を効率よく行いたいものです。
いつか「条件をみたす三角形は存在するか」を簡便に検討する方法について考えてみたい。

おまけ

直角三角形において、角の二等分線と対辺との交点について考える。
中心が原点、半径が $r$ の円を $C$ とする。 $C$ 上に点 $P$ をとり、
$P$ から $x$ 軸へ下ろした垂線の足を $H$ とする。
$∠ POH$ の二等分線を $l$ として、直線 $l$ と直線 $PH$ の交点を $Q$ とする。
点 $P$ が円 $C$ 上を動くとき、点 $Q$ の描く軌跡は下図のようになる。

点 $Q$ の軌跡の方程式は
$y = x \sqrt{\frac{r - x}{r + x}}$
この $y$ が最大となるのは、 $x = \frac{\sqrt{5} - 1}{2} r$ のときで、値は、

$y = {(\frac{\sqrt{5} - 1}{2})}^{\frac{5}{2}} r = (0.30028310 \dots) r$
このとき、点 $P$ の $y$ 座標は
$y_{P} = r \sqrt{\frac{\sqrt{5} - 1}{2}}$
であり、
$PQ : QH = 1 : \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$

以上の結果から、
問題1の $△ ABC$ が存在するためには $CD$ の長さが $3$ 以下であれば良い。

$Q$ が描く曲線について

さらに余談だが、軌跡の方程式を整理すると
$(x - r) x^{2} + (x + r) y^{2} = 0$
となり、このグラフはストロフォイド（葉形線）と呼ばれる曲線らしい。
軌跡としてストロフォイドの全体を得るには、直線 $l$ を次のようにすれば良い。
$l$ :点 $A = (r, 0)$ として、 $∠ POA$ の二等分線。

似た形の曲線に「デカルトの正葉線」と呼ばれる曲線があり、以下の式で表される。
$x^{3} + y^{3} - 3 a x y = 0$
グラフの形が似ているので
試しに「デカルトの正葉線」のグラフを $- \frac{π}{4}$ 回転したグラフの方程式を求めると
$(x - A) x^{2} + (3 x + A) y^{2} = 0$
の形をしている。よって、この曲線はストロフォイドとは別物であることが分かる。
※ $A = \frac{3 \sqrt{2}}{2} a$