対角線の総積に関する極限

問題

半径$1$の円に内接する正$n$角形の対角線の長さの総積を$L(n)$とする。次の極限値を求めよ。また、必要であれば${\displaystyle \underset{n\to 0}{lim}\frac{\sin x}{x}=1}$を証明なしに用いても良い。

${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{n}\log \{\frac{1}{n^{\frac{3n}{2}}}L(n)\}}$

解答

複素数平面上の原点中心半径$1$の円に内接する正$n$角形を考える。このとき正$n$角形の頂点に対応するを複素数を反時計回りに$Z_1,Z_2,\cdots ,Z_n$とし、$Z_1=1$とすれば${\displaystyle Z_k=\cos \frac{2(k-1)}{n}\pi +i\sin \frac{2(k-1)}{n}\pi (k=1,2,\cdots ,n)}$
と表すことができる。
またド・モアブルの定理より
${\displaystyle Z_k^n=\cos \{2(k-1)\pi \}+i\sin \{2(k-1)\pi \}}$=1
となり、$Z_k$は$x^n-1=0$の異なる$n$個の解であることがわかる。
因数分解と因数定理より、
$x^n-1=(x-1)(x^{n-1}+x^{n-2}+\cdots +x+1)$
$=(x-Z_1)(x-Z_2)\cdots (x-Z_{n-1})(x-Z_n)$
特に$Z_1=1$であるので
$x^{n-1}+x^{n-2}+\cdots +x+1=(x-Z_2)(x-Z_3)\cdots (x-Z_n)$
であることがわかる。$\cdots \mathrm{①}$
ここで
$a_{j,k}=|Z_k-Z_j|(j,k=1,2,\cdots ,nj\ne k)$とした時の$a_{j,k}$の総積$A_{n,n}$について考える。
$A_{1,k}=A_{2,k}=\cdots =A_{n,k}$
であるので、
$A_{n,n}=A_{1,k}^n$
となる。また、$Z_1=1$なので
${{\rm A}}_{1,k}=|Z_2-1||Z_2-1|\cdots |Z_n-1|$
複素数の絶対値の掛け算はまとめられるので
$A_{1,k}=|Z_2-1||Z_2-1|\cdots |Z_n-1|$
$=|(Z_2-1)(Z_3-1)\cdots (Z_n-1)|$
絶対値の中は$\mathrm{①}$の左辺の$x$に$1$を代入し、$(-1{)}^{n-1}$倍したものと同じであるので右辺の$x$に$1$を代入して$(-1{)}^{n-1}$倍したものに置き換えることができるのて
$A_{1,k}=|(Z_2-1)(Z_3-1)\cdots (Z_n-1)|$
$=|(-1{)}^{n-1}(1^{n-1}+x^{n-2}+\cdots +1+1)|$
$=|(-1{)}^{n-1}n|$
$=n$
よって
$A_{n,n}=A_{1,k}^n=n^n$である。$\cdots \mathrm{②}$
また、
$a_{\alpha ,\beta }=a_{\beta ,\alpha }(\alpha ,\beta \in (j\cap k))$
であることから$A_{n,n}=n^n$は正$n$角形の辺と対角線の長さの総積の$2$乗であることがわかる。これより$n^n$を辺の長さの総積の$2$乗で割ることで$L(n{)}^2$を求めることができることがわかったので辺の長さの総積の$2$乗を求める。
ここで$O$を原点として$O$から$Z_{k-1}{Z}_k$へ垂直に直線を引いた時の交点を$T$とする。
$\mathrm{△}O{Z}_{k-1}{Z}_k$は$|Z_{k-1}|=|Z_k|$であることから二等辺三角形である。よって$Z_{k-1}T=Z_{k}T$であり、$\mathrm{\angle }{Z}_{k-1}O{Z}_k={\displaystyle \frac{2\pi }{n}}$であるので
$\mathrm{\angle }{Z}_{k-1}OT=\mathrm{\angle }{Z}_{k}OT={\displaystyle \frac{\pi }{n}}$
これより正$n$角形の辺の長さは
${\displaystyle |Z_{k-1}|\sin \frac{\pi }{n}+|Z_k|\sin \frac{\pi }{n}=2\sin \frac{\pi }{n}}$
となる。
よって$L(n{)}^2$は
${\displaystyle \{(2\sin \frac{\pi }{n}{)}^n{\}}^2=(2\sin \frac{\pi }{n}{)}^{2n}}$
となり、
$L(n{)}^2={\displaystyle \frac{n^n}{(2\sin \frac{\pi }{n}{)}^{2n}}=(\frac{n}{4{\sin }^2\frac{\pi }{n}}{)}^n}$
より
$L(n)={\displaystyle (\frac{n}{4{\sin }^2\frac{\pi }{n}}{)}^{\frac{n}{2}}}$
となる。
今回求めるべき極限値は
${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{n}\log \{\frac{1}{n^{\frac{3n}{2}}}L(n)\}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{n}\log \{\frac{1}{n^{\frac{3n}{2}}}(\frac{n}{4{\sin }^2\frac{\pi }{n}}{)}^{\frac{n}{2}}\}}$
${\displaystyle =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{2}\log \frac{1}{n^3}\frac{n}{4{\sin }^2\frac{\pi }{n}}}$

ここで${\displaystyle n\to \mathrm{\infty }}$において${\displaystyle \frac{\pi }{n}\to 0}$であるから

${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{n}{4{\sin }^2\frac{\pi }{n}}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{n(\frac{\pi }{n}{)}^2}{4(\frac{\pi }{n}{)}^2{\sin }^2\frac{\pi }{n}}}$
${\displaystyle =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{n^3}{4{\pi }^2}}$

となり、

${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{2}\log \frac{1}{n^3}\frac{n}{4{\sin }^2\frac{\pi }{n}}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{2}\log \frac{1}{n^3}\frac{n^3}{4{\pi }^2}}$
${\displaystyle =-\log 2-\log \pi }$

よって今回求めるべき極限値は$-\log 2-\log \pi$である。