アデール環とイデール群を知る(前半)

$\mathcal{O} = \lbrace \bigcup \mathfrak{U} | \mathfrak{U} \subset \mathcal{B} \rbrace$が位相の三つの条件を満たしていることを示す.

$\varnothing \in \mathcal{B}$より$\varnothing \in \mathcal{O}$である.また,命題1より$\mathbb{A}_K \in \mathcal{O}$もわかる.

次に,$\mathcal{B}$から任意に二つの集合$U= \displaystyle \prod_{v \in S} U_v \times \prod_{v \notin S} O_v$, $W = \displaystyle \prod_{v \in T} W_v \times \prod_{v \notin T} O_v$を取る
($S$,$T$は$V_{\infty}$を含む有限集合).
このとき,

$\begin{aligned} U \cap W &=(\prod_{v \in S} U_v \times \prod_{v \notin S} O_v) \cap (\prod_{v \in T} W_v \times \prod_{v \notin T} O_v) \\ &= (\prod_{v \in S \cap T}U_v \cap W_v) \times (\prod_{v \in S \setminus T} U_v \cap O_v) \times (\prod_{v \in T \setminus S} O_v \cap W_v) \times (\prod_{v \notin (S \cup T)} O_v) \end{aligned}$

である.$O_v \in \mathcal{O}_{K_v}$ゆえ$U_v \cap W_v$,$U_v \cap O_v$,$O_v \cap W_v \in \mathcal{O}_{K_v}$である.$V_{\infty} \subseteq S \cap T$でこれは有限集合なので,$U \cap W \in \mathcal{B}$である.

最後に,$\mathcal{O}$に属する集合の和集合が$\mathcal{O}$に入ることだが,これは$\mathcal{O}$の定め方より明らかである.

よって,$\mathcal{O}$は位相となり,$\mathcal{B}$はこの開基となる.　$\square$

$0$の近傍でコンパクトなものが取れることを示す.

$U = \lbrace (\alpha_v)_v \in \mathbb{A}_K | | \alpha_{v_{\infty} } |_{v_{\infty} } \le 1,　| \alpha_{v_{\mathfrak{p}}} |_{v_{\mathfrak{p}}} \le 1 \rbrace $

とおく.ただし,$v_{\infty}$は無限素点を表し,$v_{\mathfrak{p}}$は有限素点を表す.このとき$U$はコンパクトになる.
$U$が$0$の近傍であることを示す.$0$を含む集合として

$U^ \circ = \lbrace (\alpha_v)_v \in \mathbb{A}_K | | \alpha_{v_{\infty} } |_{v_{\infty} } < 1,　| \alpha_{v_{\mathfrak{p}}} |_{v_{\mathfrak{p}}} \le 1 \rbrace$

を取る.これは開基$\mathcal{B}$に属しているので開集合になる.また,$U^ \circ \subset U$もわかる.
したがって,$U$は$0$のコンパクトな近傍である.

アデール環の任意の元は,$0$にその元を加えることで得られ,したがってそのコンパクトな近傍は$U$にその元を加えることで得られる.　$\Box$

$0$でない任意の$\omega \in L$に対して,$\omega \mathbb{A}_K^+ \subset \mathbb{A}_L^+$は$\mathbb{A}_K^+$と位相同型である.したがって,$\omega_1, \cdots, \omega_n$を$L/K$の基底とすると

$\mathbb{A}_L^+ = \mathbb{A}_K^+ \otimes_K L = \omega_1 \mathbb{A}_K^+ \oplus \cdots \oplus \omega_n \mathbb{A}_K^+ = \mathbb{A}_K^+ \oplus \cdots \oplus \mathbb{A}_K^+$

が成り立つ.　$\square$

前の系より,$K= \mathbb{Q}$の場合に示せば十分である.実際,$K/ \mathbb{Q}$を$n$次拡大とすれば,

$\mathbb{A}_K = \mathbb{A}_{\mathbb{Q}} \otimes_{\mathbb{Q}} K = \mathbb{A_{Q}} \oplus \cdots \oplus \mathbb{A_Q}$

より$\mathbb{A}_K$の位相は右辺の直積位相として考えることができる.

$\mathbb{Q}$が$\mathbb{A_Q}$において離散的であることは,$0$の近傍$U$に$\mathbb{Q}$の他の元が含まれないことを示せば十分である.なぜなら,任意の有理数は$0$にその有理数を加えることで得ることができ,近傍もまたその有理数を$U$に足した集合として得られるからである.そこで

$U= \lbrace (\alpha_v)_v \in \mathbb{A_Q}| | \alpha_{\infty} |_\infty <1,　| \alpha_p |_p \le 1 \rbrace$

とする.ただし,$|　|_p$,$|　|_\infty$はそれぞれ$\mathbb{Q}$における$p$進付値と絶対値である.
$a \in \mathbb{Q} \cap U$とすると,すべての$p$に対し$| a |_p \le 1$であるので$a \in \mathbb{Z}$である.$| a |_{\infty} < 1$より$a = 0$である.

したがって,$\mathbb{Q}$は$\mathbb{A_Q}$において離散的である.

次に,$\mathbb{A_Q^+}/\mathbb{Q^+}$がコンパクトであることを示す.
$W \subset \mathbb{A_Q^+}$を

$W = \lbrace (\alpha_v)_v \in \mathbb{A_Q^+} | | \alpha_{\infty} |_{\infty} \le \frac{1}{2}, |\alpha_p |_p \le 1 \rbrace$

とする.
任意のアデール$\beta$に対し,ある$\alpha \in W$,$b \in \mathbb{Q}$が存在し,

$\beta =\alpha + b$

と表せることを示す.
各$p$に対し,

$r_p = \frac{z_p}{p^{x_{p}}}　(z_p \in \mathbb{Z},　 x_p \in \mathbb{Z},　x_p\ge 0)$

で

$| \beta_p - r_p |_p \le 1$

を満たすようなものがある.$\beta$はアデールであるから,ほとんど全ての$p$
に対し$| \beta_p |_p \le 1$である.即ち,

$r_p = 0 　(\text{almost all}　p)$.

したがって,$R = \displaystyle \sum_p r_p$は有限和であり

$\begin{aligned}| \beta_p - R | &= | \beta_p - r_p + r_p -R| \\ &\le \max \lbrace |\beta_p - r_p |, |R - r_p| \rbrace \\ &\le 1　(\text{all}　p) \end{aligned} $

が成り立つ.
ここで,

$| \beta_{\infty} - R - s| \le \frac{1}{2}$

となるような$s \in \mathbb{Z}$を取る.このとき,$b = R+s$,$\alpha = \beta - b$とおけば,求める結果を得る.

それゆえ,自然な全射準同型$\mathbb{A_Q^+} \to \mathbb{A_Q^+}/ \mathbb{Q^+}$により導かれる写像$W \to \mathbb{A_Q^+}/ \mathbb{Q^+}$は全射準同型である. $W$は$| \alpha_{\infty}| _{\infty} \le \frac{1}{2}$で制限された空間$\mathbb{R}$と$O_p$の直積であるから,コンパクトである.

したがって,$\mathbb{A_Q^+}/ \mathbb{Q^+}$はコンパクトである. 　$\Box$