楕円曲線ででくる判別式の条件を導出(小ネタ)
あいさつ
んちゃ！
今回は終結式を用いて、楕円曲線ででくる判別式の条件を導出するよ。
あまりにも短いので目次などは省略しています。
終結式
多項式$P(x)\coloneqq \sum_{k=0}^{n}a_{k}x^{n-k},Q(x)\coloneqq \sum_{k=0}^{m}b_{k}x^{m-k}\in\mathbb{R}[x]$によって定まる次の式を終結式という。
\begin{equation}
Res(P,Q)\coloneqq a_{0}^{m}b_{0}^{n}\prod_{i,j}(\alpha_{i}-\beta_{j})
\end{equation}
ただし、$\alpha_{i}(i=1,2,..,n),\beta_{j}(j=1,2,...,m)$はそれぞれ$P(x)=0,Q(x)=0$の解。
多項式$P(x)\coloneqq \sum_{k=0}^{n}a_{k}x^{n-k},Q(x)\coloneqq \sum_{k=0}^{m}b_{k}x^{m-k}\in\mathbb{R}[x]$について、「$Res(P,Q)=0$であること」は「$P(x)=0,Q(x)=0$が共通の解を持つ」ための必要十分条件である。
定義から分かるので略
多項式$P(x)\coloneqq \sum_{k=0}^{n}a_{k}x^{n-k}\in\mathbb{C}[x]$に対して定まる次の式を判別式という。
\begin{equation}
D(P)\coloneqq a_{0}^{2n-2}\prod_{i\lt j}(\alpha_{i}-\alpha_{j})^{2}
\end{equation}
多項式$P(x)\coloneqq \sum_{k=0}^{n}a_{k}x^{n-k}\in\mathbb{C}[x]$について判別式$D(P)=0$は重根を持つための必要十分条件である。
定義から分かるので略
多項式$P(x)\coloneqq \sum_{k=0}^{n}a_{k}x^{n-k}\in\mathbb{C}[x]$に対して以下の式が成り立つ。
\begin{equation}
Res(P,P^{'})=(-1)^{\frac{n(n-1)}{2}}a_{0}D(P)
\end{equation}
以下、$P(x),P^{'}(x)$の解をそれぞれ$\alpha_{i}(i=1,2,..,n),\beta_{j}(j=1,2,...,n-1)$とする。
[1]因数分解する。
\begin{eqnarray}
P(x)=a_{0}\prod_{i=1}^{n}(x-\alpha_{i})
\end{eqnarray}
[2]微分する。
\begin{equation}
P^{'}(x)=a_{0}\sum_{k=1}^{n}\prod_{j\neq k}(x-\alpha_{j})
\end{equation}
[3]
\begin{eqnarray}
Res(P,P^{'})&=&a_{0}^{n-1}(na_{0})^{n}\prod_{i,j}(\alpha_{i}-\beta_{j})\\
&=&a_{0}^{n-1}\prod_{i=1}^{n}na_{0}\prod_{j=1}^{n-1}(\alpha_{i}-\beta_{j})\\
&=&a_{0}^{n-1}\prod_{i=1}^{n}P^{'}(\alpha_{i})\\
&=&a_{0}^{n-1}\prod_{i=1}^{n}a_{0}\prod_{j\neq i}(\alpha_{i}-\alpha_{j})\\
&=&a_{0}^{2n-1}(-1)^{1+2+\cdots+(n-1)}\prod_{i\lt j}(\alpha_{i}-\alpha_{j})^{2}\\
&=&(-1)^{\frac{n(n-1)}{2}}a_{0}D(P)
\end{eqnarray}
\begin{equation} \prod_{j=1}^{n-1}P(\beta_{j})=\frac{(-1)^{\frac{n(n-1)}{2}}}{n^{n}a_{0}^{n-1}}D(P) \end{equation}
\begin{eqnarray} Res(P,P^{'})&=&a_{0}^{n-1}(na_{0})^{n}\prod_{i,j}(\alpha_{i}-\beta_{j})\\ &=&(-1)^{n(n-1)}(na_{0})^{n}\prod_{j=1}^{n-1}a_{0}\prod_{i=1}^{n}(\beta_{j}-\alpha_{i})\\ &=&(-1)^{n(n-1)}(na_{0})^{n}\prod_{j=1}^{n-1}P(\beta_{j}) \end{eqnarray}
$P(x)=x^{3}+ax+b=0$が重根を持つための必要十分条件は$4a^{3}+27b^{2}=0$である。
[1]$P^{'}(x)=3x^{2}+a$より$\beta_{1}=-i\sqrt{\frac{a}{3}},\beta_{2}=i\sqrt{\frac{a}{3}}$
[2]この式より
\begin{eqnarray}
Res(P,P^{'})&=&b^{2}+\frac{4a^{3}}{27}\\
&=&-D(P)\\
&=&0
\end{eqnarray}
この記事を高評価した人
この記事に送られたバッジ
投稿者
