総積をべき級数に変える

これを用いると、積商をべき乗の和差に変えられる。

以下、総積の式については必要でない限り証明を省く。

例1：sinc関数の無限乗積展開

$$\frac{\sin\pi x}{\pi x}=\prod_{n=1}^{\infty}\left(1-\frac{x^{2}}{n^{2}}\right)$$
である。
$\displaystyle \prod_{n=1}^{\infty}\left(1-\frac{x^{2}}{n^{2}}\right)=\prod_{n=1}^{\infty}\left(\frac{n-x}{n}\right)\left(\frac{n+x}{n}\right)$より、

$\displaystyle \ln\left(\frac{\sin\pi x}{\pi x}\right)=\sum_{n=1}^{\infty}\left(\ln\left(\frac{n-x}{n}\right)+\ln\left(\frac{n+x}{n}\right)\right)$

この右辺に、今回の式を適用する。
$$\sum_{n=1}^{\infty}\left(\ln\left(\frac{n-x}{n}\right)+\ln\left(\frac{n+x}{n}\right)\right)=\sum_{n=1}^{\infty}\int_{0}^{1}\frac{t^{n-x-1}-t^{n-1}+t^{n+x-1}-t^{n-1}}{\ln t}dt$$

$$=\int_{0}^{1}\frac{1}{\ln t}\sum_{n=1}^{\infty}\left(t^{n-x-1}-2t^{n-1}+t^{n+x-1}\right)dt=\int_{0}^{1}\frac{\frac{t^{-x}}{1-t}-\frac{2}{1-t}+\frac{t^{x}}{1-t}}{\ln t}dt$$

$$=2\int_{0}^{1}\frac{\frac{\left(t^{x}+t^{-x}\right)}{2}-1}{\left(1-t\right)\ln t}dt=2\int_{0}^{1}\frac{\cosh\left(x\ln t\right)-1}{\left(1-t\right)\ln t}dt$$

$\ln t \mapsto t$と置換
$$=2\int_{-\infty}^{0}\frac{\cosh\left(xt\right)-1}{\left(1-e^{t}\right)t}e^{t}dt=\int_{-\infty}^{0}\frac{\cosh\left(xt\right)-1}{-\sinh\left(\frac{t}{2}\right)t}e^{\frac{t}{2}}dt$$
$\frac t 2 \mapsto -t$と置換
$$=-\int_{0}^{\infty}\frac{\cosh\left(2xt\right)-1}{\sinh\left(t\right)t}e^{-t}dt=-\int_{0}^{\infty}\frac{2\cosh^{2}\left(xt\right)-2}{\sinh\left(t\right)t}e^{-t}dt$$
$$=-2\int_{0}^{10}\frac{\sinh^{2}\left(xt\right)}{\sinh\left(t\right)t}e^{-t}dt$$
よって、
$$\ln\left(\frac{\sin\pi x}{\pi x}\right)=-2\int_{0}^{\infty}\frac{\sinh^{2}\left(xt\right)}{\sinh\left(t\right)t}e^{-t}dt$$
両辺を$x$で微分して$x \mapsto \frac x 2$とすると(計算略)、
$$\int_{0}^{\infty}\frac{\sinh\left(xt\right)e^{-t}}{\sinh t}dt=\frac{1}{x}-\frac{\pi}{2}\cot\left(\frac{\pi}{2}x\right)$$
更に、$x \mapsto ix$とすると(計算略)、
$$\int_{0}^{\infty}\frac{\sin\left(xt\right)e^{-t}}{\sinh t}dt=-\frac{1}{x}+\frac{\pi}{2}\coth\left(\frac{\pi}{2}x\right)$$
$\cos$についても無限乗積展開をすれば立式できる(暇が出来たら追記予定)。

例2:ウォリス積

$$\prod_{n=1}^{\infty}\left(\frac{\left(2n\right)^{2}}{\left(2n-1\right)\left(2n+1\right)}\right)=\frac{\pi}{2}$$
同様に両辺に自然対数をとり、左辺を$\ln$の無限和の形にする。
$$\ln\left(\frac{\pi}{2}\right)=\sum_{n=1}^{\infty}\left(\ln\left(\frac{2n}{2n-1}\right)+\ln\left(\frac{2n}{2n+1}\right)\right)$$
例1と同様に計算を進めると、
$$\ln\left(\frac{\pi}{2}\right)=\int_{0}^{1}\frac{\frac{2t}{1-t^{2}}-\frac{1+t^{2}}{1-t^{2}}}{\ln t}dt=\int_{0}^{1}\frac{t-1}{t+1}\cdot\frac{1}{\ln t}dt$$
よって、
$$ \int_{0}^{1}\frac{t-1}{t+1}\cdot\frac{1}{\ln t}dt=\ln\left(\frac{\pi}{2}\right)$$

例3:ガンマ関数

$$\displaystyle \Gamma (z)=\int_{0}^{\infty}t^{z-1}e^{-t}dt=\lim _{n\to \infty }{\frac {n^{z}n!}{\prod \limits _{k=0}^{n}{(z+k)}}}$$
以下、$\lim$記号を省略する。
$$ {\frac {n^{z}n!}{\prod \limits _{k=0}^{n}{(z+k)}}}=\frac{n^{z}}{z\prod \limits _{k=1}^{n}\left(1+\frac{x}{k}\right)}$$
自然対数を取る。
$$\ln\left(\Gamma\left(z\right)\right)=z\ln n-\ln z-\sum_{k=1}^{n}\ln\left(\frac{k+z}{k}\right)$$
$$ \qquad \quad ~~~=z\sum_{k=1}^{n}\ln\left(\frac{k+1}{k}\right)-\ln z-\sum_{k=1}^{n}\ln\left(\frac{k+z}{k}\right)$$
(厳密には下の式は$z\ln n$ではなく$z\ln (n+1)$となってしまっているが、$n\rightarrow \infty$を考えているので問題ない。)
ここに冒頭の式を適用すると、
$$\ln\left(\Gamma\left(z\right)\right)+\ln\left(z\right)=z\sum_{k=1}^{n}\int_{0}^{1}\frac{t^{k}-t^{k-1}}{\ln t}-\sum_{k=1}^{n}\int_{0}^{1}\frac{t^{k+z-1}-t^{k-1}}{\ln t}dt$$
$z\Gamma(z)=\Gamma(z+1)$および等比級数公式を用いて、
$$\ln\left(\Gamma\left(z+1\right)\right)=\int_{0}^{1}\left(z\frac{t^{n}-1}{\ln t}-\frac{1-t^{n}}{1-t}\cdot\frac{t^{z}-1}{\ln t}\right)dt$$
$|t|<1$より、$n\rightarrow \infty$で$t^n \rightarrow 0$より、
$$\ln\left(\Gamma\left(z+1\right)\right)=\int_{0}^{1}\left(\frac{-z+zt-t^{z}+1}{\left(1-t\right)\ln t}\right)dt$$
両辺を$z$で微分すると、
$\displaystyle \psi\left(z+1\right)=\int_{0}^{1}\left(\frac{-1+t-\ln\left(t\right)t^{z}}{\left(1-t\right)\ln t}\right)dt=-\int_{0}^{1}\left(\frac{1}{\ln t}+\frac{t^{z}}{1-t}\right)dt$
(この表示はガウスの公式というらしい)
$z=0$とすれば、$\psi(1)=-\gamma$より、
$$\gamma=\int_{0}^{1}\left(\frac{1}{\ln t}+\frac{1}{1-t}\right)dt$$
が得られる。

他にも、ウォリス積の形式の自然数の無限積に対して、様々な積分表示を与えられる。共通テストが近いので今回はこれで終了。(受験が一段落ついたらもう少し深掘りする予定)

おしまい。