総積をべき級数に変える

これを用いると、積商をべき乗の和差に変えられる。

以下、総積の式については必要でない限り証明を省く。

例1：sinc関数の無限乗積展開

$$\frac{\sin \pi x}{\pi x}=\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(1-\frac{x^2}{n^2})$$
である。
${\displaystyle \prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(1-\frac{x^2}{n^2})=\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\left(\frac{n-x}{n}\right)\left(\frac{n+x}{n}\right)}$より、

${\displaystyle \ln \left(\frac{\sin \pi x}{\pi x}\right)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(\ln \left(\frac{n-x}{n}\right)+\ln \left(\frac{n+x}{n}\right))}$

この右辺に、今回の式を適用する。
$$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(\ln \left(\frac{n-x}{n}\right)+\ln \left(\frac{n+x}{n}\right))=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{\int }_0^1\frac{t^{n-x-1}-t^{n-1}+t^{n+x-1}-t^{n-1}}{\ln t}dt$$

$$={\int }_0^1\frac{1}{\ln t}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(t^{n-x-1}-2t^{n-1}+t^{n+x-1})dt={\int }_0^1\frac{\frac{t^{-x}}{1-t}-\frac{2}{1-t}+\frac{t^x}{1-t}}{\ln t}dt$$

$$=2{\int }_0^1\frac{\frac{(t^x+t^{-x})}{2}-1}{(1-t)\ln t}dt=2{\int }_0^1\frac{\cosh (x\ln t)-1}{(1-t)\ln t}dt$$

$\ln t\mapsto t$と置換
$$=2{\int }_{-\mathrm{\infty }}^0\frac{\cosh \left(xt\right)-1}{(1-e^t)t}{e}^{t}dt={\int }_{-\mathrm{\infty }}^0\frac{\cosh \left(xt\right)-1}{-\sinh \left(\frac{t}{2}\right)t}{e}^{\frac{t}{2}}dt$$
$\frac{t}{2}\mapsto -t$と置換
$$=-{\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{\cosh \left(2xt\right)-1}{\sinh \left(t\right)t}{e}^{-t}dt=-{\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{2{\cosh }^2\left(xt\right)-2}{\sinh \left(t\right)t}{e}^{-t}dt$$
$$=-2{\int }_0^{10}\frac{{\sinh }^2\left(xt\right)}{\sinh \left(t\right)t}{e}^{-t}dt$$
よって、
$$\ln \left(\frac{\sin \pi x}{\pi x}\right)=-2{\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{{\sinh }^2\left(xt\right)}{\sinh \left(t\right)t}{e}^{-t}dt$$
両辺を$x$で微分して$x\mapsto \frac{x}{2}$とすると(計算略)、
$${\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{\sinh \left(xt\right)e^{-t}}{\sinh t}dt=\frac{1}{x}-\frac{\pi }{2}\cot \left(\frac{\pi }{2}x\right)$$
更に、$x\mapsto ix$とすると(計算略)、
$${\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{\sin \left(xt\right)e^{-t}}{\sinh t}dt=-\frac{1}{x}+\frac{\pi }{2}\coth \left(\frac{\pi }{2}x\right)$$
$\cos$についても無限乗積展開をすれば立式できる(暇が出来たら追記予定)。

例2:ウォリス積

$$\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\left(\frac{{\left(2n\right)}^2}{(2n-1)(2n+1)}\right)=\frac{\pi }{2}$$
同様に両辺に自然対数をとり、左辺を$\ln$の無限和の形にする。
$$\ln \left(\frac{\pi }{2}\right)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(\ln \left(\frac{2n}{2n-1}\right)+\ln \left(\frac{2n}{2n+1}\right))$$
例1と同様に計算を進めると、
$$\ln \left(\frac{\pi }{2}\right)={\int }_0^1\frac{\frac{2t}{1-t^2}-\frac{1+t^2}{1-t^2}}{\ln t}dt={\int }_0^1\frac{t-1}{t+1}\cdot \frac{1}{\ln t}dt$$
よって、
$${\int }_0^1\frac{t-1}{t+1}\cdot \frac{1}{\ln t}dt=\ln \left(\frac{\pi }{2}\right)$$

例3:ガンマ関数

$${\displaystyle \mathrm{\Gamma }(z)={\int }_0^{\mathrm{\infty }}{t}^{z-1}{e}^{-t}dt=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{n^{z}n!}{\prod _{k=0}^n(z+k)}}$$
以下、$lim$記号を省略する。
$$\frac{n^{z}n!}{\prod _{k=0}^n(z+k)}=\frac{n^z}{z\prod _{k=1}^n(1+\frac{x}{k})}$$
自然対数を取る。
$$\ln \left(\mathrm{\Gamma }\left(z\right)\right)=z\ln n-\ln z-\sum _{k=1}^n\ln \left(\frac{k+z}{k}\right)$$
$$=z\sum _{k=1}^n\ln \left(\frac{k+1}{k}\right)-\ln z-\sum _{k=1}^n\ln \left(\frac{k+z}{k}\right)$$
(厳密には下の式は$z\ln n$ではなく$z\ln (n+1)$となってしまっているが、$n\to \mathrm{\infty }$を考えているので問題ない。)
ここに冒頭の式を適用すると、
$$\ln \left(\mathrm{\Gamma }\left(z\right)\right)+\ln \left(z\right)=z\sum _{k=1}^n{\int }_0^1\frac{t^k-t^{k-1}}{\ln t}-\sum _{k=1}^n{\int }_0^1\frac{t^{k+z-1}-t^{k-1}}{\ln t}dt$$
$z\mathrm{\Gamma }(z)=\mathrm{\Gamma }(z+1)$および等比級数公式を用いて、
$$\ln \left(\mathrm{\Gamma }(z+1)\right)={\int }_0^1(z\frac{t^n-1}{\ln t}-\frac{1-t^n}{1-t}\cdot \frac{t^z-1}{\ln t})dt$$
$|t|<1$より、$n\to \mathrm{\infty }$で$t^n\to 0$より、
$$\ln \left(\mathrm{\Gamma }(z+1)\right)={\int }_0^1\left(\frac{-z+zt-t^z+1}{(1-t)\ln t}\right)dt$$
両辺を$z$で微分すると、
${\displaystyle \psi (z+1)={\int }_0^1\left(\frac{-1+t-\ln \left(t\right)t^z}{(1-t)\ln t}\right)dt=-{\int }_0^1(\frac{1}{\ln t}+\frac{t^z}{1-t})dt}$
(この表示はガウスの公式というらしい)
$z=0$とすれば、$\psi (1)=-\gamma$より、
$$\gamma ={\int }_0^1(\frac{1}{\ln t}+\frac{1}{1-t})dt$$
が得られる。

他にも、ウォリス積の形式の自然数の無限積に対して、様々な積分表示を与えられる。共通テストが近いので今回はこれで終了。(受験が一段落ついたらもう少し深掘りする予定)

おしまい。