二次方程式と漸化式

$x^2-px-q=0$の異なる$2$解をそれぞれ$α,β$とおくと
$α^2-pα-q=0\cdots①\;,\;β^2-pβ-q=0\cdots②$
$①$に$α^n$をかけて
$α^{n+2}-pα^{n+1}-qα^n=0\cdots①’$
$②$に$β^n$をかけて
$β^{n+2}-pβ^{n+1}-qβ^n=0\cdots②’$
$①’$と$②’$を足し合わせて
$(α^{n+2}+β^{n+2})-p(α^{n+1}+β^{n+1})-q(α^n+β^n)=0\cdots③$
$a_n=α^n+β^n$とおけば
\begin{align} ③ &\Longleftrightarrow a_{n+2}-pa_{n+1}-qa_n=0 \\ &\Longleftrightarrow a_{n+2}=pa_{n+1}+qa_n \end{align}
となるので$x^2-px-q=0$の$2$解の$n$乗和を$a_n$とおけば$a_n$は$a_{n+2}=pa_{n+1}+qa_n$を満たす。
また、$a_n=sα^n+tβ^n\;(s,t\text{は定数}\;,\;α\neq β)$を満たす数列$\{a_n\}$は
\begin{align} a_n\cdot(α+β) &=sα^{n+1}+tβ^{n+1}+sα^nβ+tβ^nα \\ &=a_{n+1}+αβ(sα^{n-1}+tβ^{n-1}) \\ &=a_{n+1}+αβa_{n-1} \cdots④\\ \end{align}
ここで$α,β$が$2$解となる二次方程式$x^2-ux-v=0$を用意すれば解と係数の関係より
$α+β=u\;,\;αβ=-v$であるので
\begin{align} ④ &\Longleftrightarrow ua_n=a_{n+1}-va_{n-1} \\ &\Longleftrightarrow a_{n+1}=ua_n+va_{n-1} \\ &\Longleftrightarrow a_{n+2}=ua_{n+1}+va_n \end{align}
となるので逆も然りの部分が示された！