二次方程式と漸化式

$x^2-px-q=0$の異なる$2$解をそれぞれ$\alpha ,\beta$とおくと
${\alpha }^2-p\alpha -q=0\cdots \mathrm{①},{\beta }^2-p\beta -q=0\cdots \mathrm{②}$
$\mathrm{①}$に${\alpha }^n$をかけて
${\alpha }^{n+2}-p{\alpha }^{n+1}-q{\alpha }^n=0\cdots {\mathrm{①}}^{\prime }$
$\mathrm{②}$に${\beta }^n$をかけて
${\beta }^{n+2}-p{\beta }^{n+1}-q{\beta }^n=0\cdots {\mathrm{②}}^{\prime }$
${\mathrm{①}}^{\prime }$と${\mathrm{②}}^{\prime }$を足し合わせて
$({\alpha }^{n+2}+{\beta }^{n+2})-p({\alpha }^{n+1}+{\beta }^{n+1})-q({\alpha }^n+{\beta }^n)=0\cdots \mathrm{③}$
$a_n={\alpha }^n+{\beta }^n$とおけば
$$\begin{array}{rl}\mathrm{③}& ⟺a_{n+2}-p{a}_{n+1}-q{a}_n=0\\ & ⟺a_{n+2}=p{a}_{n+1}+q{a}_n\end{array}$$
となるので$x^2-px-q=0$の$2$解の$n$乗和を$a_n$とおけば$a_n$は$a_{n+2}=p{a}_{n+1}+q{a}_n$を満たす。
また、$a_n=s{\alpha }^n+t{\beta }^n(s,t\text{は定数},\alpha \ne \beta )$を満たす数列$\{a_n\}$は
$$\begin{array}{rl}{a}_n\cdot (\alpha +\beta )& =s{\alpha }^{n+1}+t{\beta }^{n+1}+s{\alpha }^n\beta +t{\beta }^n\alpha \\ & =a_{n+1}+\alpha \beta (s{\alpha }^{n-1}+t{\beta }^{n-1})\\ & =a_{n+1}+\alpha \beta a_{n-1}\cdots \mathrm{④}\end{array}$$
ここで$\alpha ,\beta$が$2$解となる二次方程式$x^2-ux-v=0$を用意すれば解と係数の関係より
$\alpha +\beta =u,\alpha \beta =-v$であるので
$$\begin{array}{rl}\mathrm{④}& ⟺u{a}_n=a_{n+1}-v{a}_{n-1}\\ & ⟺a_{n+1}=u{a}_n+v{a}_{n-1}\\ & ⟺a_{n+2}=u{a}_{n+1}+v{a}_n\end{array}$$
となるので逆も然りの部分が示された！