群の誘導表現を計算する

あいさつと導入

　こんにちは．浅縹（あさはなだ）といいます．初めて……ではなく4年ぶりに記事を書いてみます．4年前！？昔すぎてひっくり返ってしまいますね（4年前の，かなり恥ずかしい……）．最近は，主に代数的整数論や圏論などを勉強しています．特に代数的整数論の勉強の中で「誘導加群」なる概念に出会い，圏論でKan拡張を学んでその意味を知り，さらによく考えてみるとよく知られた公式のみから誘導加群が計算できることが分かったので記事にしてみます．
　なお，この記事は私が勉強したばかりの内容を多分に含みます．なんならこの記事を書くために爆速で勉強した部分さえあります（最後に応用例として書いた，群コホモロジーの話の一部など）．よって，できるだけ間違いを含まないように書いたつもりではあるものの，誤りが含まれる可能性が少なくありません．ご承知おきください & 誤りの指摘は大歓迎です．

導入，という名の雑談

　ここは雑談です．ぐだぐだ書いたので，早くちゃんとした内容へ行きたい方は読み飛ばしてください．
　さて，まずは群$G$とその部分群$H$，及び$G$の$\mathbb{C}$-ベクトル空間による表現$V$を考えてみます．この時，単に作用を$H$に制限することで，$H$の表現が得られます．これを${\mathrm{res}}_H^{G}V$と書きます．この対応は，明らかに$G$-表現全体のなす圏から$H$-表現全体のなす圏への関手を与えています．
　関手があれば，随伴かどうかが気になりますよね．つまり，適切に$H$-表現の圏から$G$-表現のなす圏への関手が構成できるか，というのが問題です．実はこのような関手は構成でき，それにより$H$-表現から作られた$G$-表現を「（余）誘導表現」と呼びます．表現論の解説では多くの場合，この誘導表現は天下りに与えられ，随伴になっていることは具体的な計算で確認する，という方式を取っているものが多いように見えます． alg-dさんの動画 で紹介されているような，「前層の逆像は天下りに定義され，実は順像の随伴になっていることは後で計算によって示す」というのと似た流れですね．（なお，私は表現論をきちんと学んだことがないため，これは嘘である可能性も大いにあります！嘘だったらごめんなさい．）実は前層の逆像の時と同様，これらの（余）誘導表現はKan拡張によって定義でき，具体的な表示を計算すればよく見られる定義と一致することが言えます．しかも，その表示の計算は，Kan拡張の基本的な公式（と少しの代数の知識）のみからほとんど発想の飛躍なく計算することができます！
　というわけで本記事は，（ベクトル空間による表現よりは少しだけ一般的に）群の，可換環上の加群による表現の誘導加群を計算していきます．

本題 - （余）誘導$G$-加群の計算

仮定する知識

• 圏論から：圏や関手などの素朴な定義，（余）極限，随伴，（各点）Kan拡張．
• 代数から：（非可換環上の加群の）テンソル積，Homの計算．

　なお，非可換環上のテンソル積，と言っても定義は記事中に書いている上，ガッツリ計算に使うわけではないので，可換環上のテンソル積を知っていればあまり問題にならないと思います．

記法などの確認

　記法や定義，前提となる命題を幾つか確認しておきます．

　$H$-対象$X$について，${\mathrm{ind}}_H^{G}X$や${\mathrm{coind}}_H^{G}X$を（そのような日本語があるのか知らないのですが，この記事では）誘導$G$-対象，余誘導$G$-対象と呼ぶことにします．考えている圏$\mathcal{C}$が${\mathrm{Mod}}_R$や${\mathrm{Vect}}_k$である時にはそれぞれ（余）誘導$G$-加群，（余）誘導$G$-表現と呼びます．本記事の目標は，可換環$R$に対する${\mathrm{Mod}}_R$において、（余）誘導加群を計算することです．

誘導$G$-加群の計算

　以降，$R$を可換環，$G\supset H$を群とその部分群として固定します．$\iota :\mathbf{B}H\hookrightarrow \mathbf{B}G$を包含とします．$M\in {\mathrm{Mod}}_R^{\mathbf{B}H}$を$H$作用の入った$R$-加群とします．計算すべきは${\mathrm{ind}}_H^{G}M\in {\mathrm{Mod}}_R^{\mathbf{B}G}$です．「発想の飛躍なく」という宣言通り，丁寧に計算していきましょう．

step1 加群の計算

　${\mathrm{ind}}_H^{G}M$がどのような加群になるか（つまり，誘導表現において，$G$-作用を入れるべき加群は何か）を計算する．${\mathrm{Mod}}_R$が余完備であることと各点Kan拡張の公式より，これは
$$\mathrm{colim}(\iota \downarrow {\ast }_G\stackrel{\mathrm{\Pi }}{⟶}\mathbf{B}H\stackrel{M}{⟶}{\mathrm{Mod}}_R)$$
と書ける．$\iota \downarrow {\ast }_G$の対象は射$\iota ({\ast }_H)\to {\ast }_G$，つまり群$G$の元全体であり，射$h:g_1\to g_2$は$g_1=g_{2}h$が成り立つようなもの．
$$\iota ({\ast }_H)h{g}_1\circlearrowleft \iota ({\ast }_H)g_2{\ast }_G$$
よって，図式$\iota \downarrow {\ast }_G\stackrel{\mathrm{\Pi }}{⟶}\mathbf{B}H\stackrel{M}{⟶}{\mathrm{Mod}}_R$から$R$-加群$N$への錐を$({\lambda }_g:M\to N{)}_{g\in G}$と書くと，錐の条件は「$g_1=g_{2}h$の時${\lambda }_{g_1}={\lambda }_{g_2}{h}_{\ast }$が成り立つ」こと．
$$M{h}_{\ast }{\lambda }_{g_1}\circlearrowleft M{\lambda }_{g_2}N$$
この条件は「全ての$g\in G,h\in H,m\in M$について${\lambda }_{gh}(m)={\lambda }_g(hm)$が成り立つ」と言い換えられる．さらに$\lambda$を$G$側について$R[G]$（群環）まで$R$-線型に広げることで$\lambda :R[G]\times M\to N$とみなせば，元来${\lambda }_g$は${\mathrm{Mod}}_R$の射だったことにも注意して

1. $\lambda$は$R[H]$-balancedである．つまり，$g\in R[G],m\in M,h\in R[H]$について$\lambda (gh,m)=\lambda (g,hm)$である．
2. $\lambda$は第一引数，第二引数いずれについても$R$-線型である．

という条件に書き換えられる．このような射のうち最も普遍的なものが余極限なのだから，特に1.（及び$R$-線型から$\mathbb{Z}$-線型が従うこと）を見ると，「テンソル積に$R$-加群としての構造を入れたもの」が条件を満たすのではないか，という予想が立てられる．実際これは正しいことが確かめられる：

　以上で,まず${\mathrm{ind}}_H^G(M)({\ast }_G)=R[G]\underset{R[H]}{\otimes }M$であることがわかった．

step2 作用の計算

　まず，上で${\lambda }_{(}g)$と書いていた射が何であったかを確かめる必要があるが，${\lambda }_g(m)=\lambda (g,m)=g\otimes m$であったから，${\lambda }_g=g\otimes (-)$である．さて，これを元にpointwise の証明における射の構成を再現する．$f\in G$をひとつ固定する．pointwiseの証明の最後に現れた図式を描き直すと，次のようになる．
$$M{\lambda }_g{\lambda }_{fg}R[G]\otimes MLfR[G]\otimes M$$
つまり，全ての$g$に対して$Lf(g\otimes (-))=fg\otimes (-)$なのだから，$f\in G$の作用は$g\otimes m\mapsto fg\otimes m$というように，「$R[G]$の部分に左から作用する」形で現れる．

まとめ

　以上の計算から，次の定理が得られます！目標達成！

　なお，次のように計算しておくと，余誘導加群やその他一般の圏の場合の（余）誘導対象への直感（？）が与えやすくなります：
$$\begin{array}{rcl}{\mathrm{ind}}_H^{G}M& \cong & R[G]\underset{R[H]}{\otimes }M\\ & \cong & (\underset{G/H}{⨁}gR[H])\underset{R[H]}{\otimes }M\\ & \cong & \underset{G/H}{⨁}gM．\end{array}$$
ただし，最後の同型はテンソル積が左随伴であり余極限を保つことを用いています：
$${\mathrm{Mod}}_{R[H]}M\underset{R[H]}{\otimes }(-)\perp {\mathrm{Mod}}_R．{\mathrm{Hom}}_R(M,-)$$
また，最後の表示は加群としては単に$⨁M$ですが，作用を見やすくするために左に$G/H$の代表系を残しています．

余誘導$G$-加群の計算

　計算の方法は全く同じなので詳細は省略しますが，極限を計算することで次が得られます．

　これについてももう少し計算しておきましょう：
$$\begin{array}{rcl}{\mathrm{coind}}_H^{G}M& \cong & {\mathrm{Hom}}_{R[H]}(R[G],M)\\ & \cong & {\mathrm{Hom}}_{R[H]}(\underset{H\mathrm{\setminus }G}{⨁}R[H]g,M)\\ & \cong & \prod _{H\mathrm{\setminus }G}{\mathrm{Hom}}_{R[H]}(R[h]g,M)\\ & \cong & \prod _{H\mathrm{\setminus }G}gM．\end{array}$$
なお，最後の同型は${\mathrm{Hom}}_{R[H]}(R[H]g,M)(\cong M)$を$gM$と書くことで得ています．$\mathrm{Hom}$への$G$の作用を考えると，$g{g}^{\prime }M={\mathrm{Hom}}_{R[H]}(R[H]g{g}^{\prime },M)$となることに気を付ければ良いでしょう（こういった作用の左右は頭を壊しがちなので，慎重に）．

計算の総括

　誘導加群は$R[G]\underset{R[H]}{\otimes }M\cong \underset{G/H}{⨁}gM$，余誘導加群は${\mathrm{Hom}}_{R[H]}(R[G],M)\cong \prod _{H\mathrm{\setminus }G}gM$と書けました．指数$(G:H)$が有限である時，${\mathrm{Mod}}_R$では有限余積と有限直積が一致することからこれらは$R$-加群としては同型ですが，実はこれらは$G$-加群としても同型なことが分かります！

　ちなみにこの$\psi$の対応は，$\mathrm{Hom}$への左$G$-作用が引数への「右」$G$-作用によって入ることに気をつけてぐっっと睨むと出てきます．$g^{\prime }g\in H$という条件が，$g^{\prime }$に左から$H$の元をかけたり，$g$に右から$H$の元をかけたりしても変わらないということも注目に値するかもしれません．

　さらに，最後に次の定理に言及しておきます．

　この定理は，もし何もしらない状態で言われても面食らってしまいそうですが，加群のケースを知っていれば容易に予想が立てられそうですね．この定理が成り立つだろうという予想さえ立てられれば，満たすべき普遍性を確認するのは難しくありません．興味のある方はやってみても良いかもしれません．
　ここまででこの記事の本題は終わりですが，最後に少しだけ応用例を見てみましょう．興味のある方は，もう少々お付き合いください．

応用例 - 群コホモロジー

　この節では，群コホモロジーの定義を知っていることを仮定します．といっても，計算に必要なだけの定義は書いておきます．

　単なる$G$-加群とは${\mathrm{Ab}}^{\mathbf{B}G}$という，アーベル群の圏における$G$-対象であることに注意しておきましょう．この時，次のような定理があります．

　この定理の証明には，ほとんど$\mathrm{res}$と$\mathrm{coind}$が随伴であることしか使っていません．$\mathrm{coind}$を右Kan拡張として定義したおかげで$\mathrm{res}$の右随伴になることは明らかですから，$\mathrm{coind}$の詳細な形を知らなくてもこの定理は証明できることになります．
　ひとつだけ，この定理がえらい例をあげておきます：

　${\mathrm{H}}^n(\mathrm{Gal}(L/K),L)$という形のコホモロジーは，一般Kummer理論や類体論の一般相互法則を具体的な状況に適用する際に調べる必要が生じます．それが${\mathrm{H}}^n(\{1\},K)$という見るからに簡単な形の計算に帰着されるというのは嬉しいですね．

終わりに

　今回は，conを読んでいて現れた具体例を手で計算してみた内容を書いてみました（書いたら案外重くなってしまった……）．これからも，ちょっとした具体例の計算などを記事にしていこうと思います．お読みいただきありがとうございました！