級数の変形法（和による分割編）
級数の変形を系統的に扱いたいという動機から本記事を書きました。
これらの記事は複数にわたって書いていこうと考えています。
よろしくお願いいたします。
和による分解
次の事を認める。
\begin{equation} \forall a,b\in\mathbb{C}:\exists c\in\mathbb{C}s.t.a=b+c \end{equation}
実際に変形してみる(和による分解)
\begin{eqnarray} 1&=&\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\\ &=&\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{6}\\ &=&\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{8}+\frac{1}{24}\\ &=&\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{8}+\frac{1}{30}+\frac{1}{120}\\ &=&\sum_{k=1}^{\infty}\frac{k}{(k+1)!} \end{eqnarray}
$\{a_{n}\}_{n\in\mathbb{N}}\subset\mathbb{C}\quad (|a_{n}|>1)$とすると以下の様に1は下記の様に分割できる。
\begin{eqnarray}
1&=&\frac{a_{1}-1}{a_{1}}+\frac{1}{a_{1}}\\
&=&\frac{a_{1}-1}{a_{1}}+\frac{a_{2}-1}{a_{1}a_{2}}+\frac{1}{a_{1}a_{2}}\\
&=&\sum_{k=1}^{\infty}\frac{a_{k}-1}{\Pi_{l=1}^{k}a_{l}}
\end{eqnarray}
$\{a_{n}\}_{n\in\mathbb{N}},\{b_{n}\}_{n\in\mathbb{N}}\subset\mathbb{C}$に対して、1は以下の様に分割できる。
\begin{eqnarray}
1&=&\frac{a_{1}-b_{1}}{a_{1}}+\frac{b_{1}}{a_{1}}\\
&=&\frac{a_{1}-b_{1}}{a_{1}}+\frac{b_{1}}{a_{1}}(\frac{a_{2}-b_{2}}{a_{2}}+\frac{b_{2}}{a_{2}})\\
&=&
\frac{a_{1}-b_{1}}{a_{1}}+\frac{b_{1}(a_{2}-b_{2})}{a_{1}a_{2}}+\frac{b_{1}b_{2}}{a_{1}a_{2}}\\
&=&
\frac{a_{1}-b_{1}}{a_{1}}+\sum_{k=1}^{\infty}\frac{\Pi_{l=1}^{k}b_{l}(a_{k+1}-b_{k+1})}{\Pi_{l=1}^{k+1}a_{l}}
\end{eqnarray}
この記事を高評価した人
この記事に送られたバッジ
投稿者
