級数の変形法（和による分割編）

$$\begin{array}{rcl}1& =& \frac{1}{2}+\frac{1}{2}\\ & =& \frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{6}\\ & =& \frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{8}+\frac{1}{24}\\ & =& \frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{8}+\frac{1}{30}+\frac{1}{120}\\ & =& \sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{k}{(k+1)!}\end{array}$$

$\{a_n{\}}_{n\in \mathbb{N}}\subset \mathbb{C}(|a_n|>1)$とすると以下の様に1は下記の様に分割できる。
$$\begin{array}{rcl}1& =& \frac{a_1-1}{a_1}+\frac{1}{a_1}\\ & =& \frac{a_1-1}{a_1}+\frac{a_2-1}{a_1{a}_2}+\frac{1}{a_1{a}_2}\\ & =& \sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{a_k-1}{{\mathrm{\Pi }}_{l=1}^k{a}_l}\end{array}$$

$\{a_n{\}}_{n\in \mathbb{N}},\{b_n{\}}_{n\in \mathbb{N}}\subset \mathbb{C}$に対して、1は以下の様に分割できる。
$$\begin{array}{rcl}1& =& \frac{a_1-b_1}{a_1}+\frac{b_1}{a_1}\\ & =& \frac{a_1-b_1}{a_1}+\frac{b_1}{a_1}(\frac{a_2-b_2}{a_2}+\frac{b_2}{a_2})\\ & =& \frac{a_1-b_1}{a_1}+\frac{b_1(a_2-b_2)}{a_1{a}_2}+\frac{b_1{b}_2}{a_1{a}_2}\\ & =& \frac{a_1-b_1}{a_1}+\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{{\mathrm{\Pi }}_{l=1}^k{b}_l(a_{k+1}-b_{k+1})}{{\mathrm{\Pi }}_{l=1}^{k+1}{a}_l}\end{array}$$