Y³ = X(X+1)(2X+1)/6 + 1 の整数点

https://x.com/Pajoca_/status/1910301765347504203
Y³ = X(X+1)(2X+1)/6 + 1 の整数点を求める課題
（後の都合のため$x,y$ではなく$X,Y$を使った）

一般的な三次曲線については
http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/aa/aa87/aa8743.pdf
Solving elliptic diophantine equations: the general cubic case
にワイエルシュトラスの標準形への変形を利用した（それだけでは解決しない）高度な方法があるようである。

今回は$6Y^3 = (X+2)(2X^2-X+3)$ と分解し、さらに$\mathbb{Q}(\sqrt{-23})$でのイデアル分解を考えると（Thue方程式に帰着して計算機頼みではあるが）解決できた。

$Y=v/2, X=u/2-2$ として　$3v^3 = u(u^2-9u+26) = u(u-a)(u-b)$
（定数$a,b$は$(9±\sqrt{-23})/2$）
と変形する。既知の整数解には$X=-2,-1,0,37$があり、$u=0,2,4,78$に相当する。

https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q10176117150
みたいな方針でいけるんじゃないかと考えて、うまくいった。当時は、ppp-78pqq-3ppq+26qqq = -27に帰着したあと解決しなかったが、このような斉次式 = 定数　の形の方程式はThue方程式として知られていて
sage（実際にはPARI-GPの関数呼び出し）では
A. = QQ[]
th = gp.thueinit(x^3 - 78*x^2 - 3*x + 26, 1)
solutions = gp.thue(th, -27).sage()
print(solutions)

magma（ https://magma.maths.usyd.edu.au/calc/ ）では、
R := PolynomialRing(Integers());
f := x^3 - 78*x^2 - 3*x + 26;
T := Thue(f);
solutions := Solutions(T, -27);
print solutions;

という感じのコマンドで（それを信用すれば）解決する
メモとして、magmaのDocumentationには
https://magma.maths.usyd.edu.au/magma/handbook/text/414
the reduction of Bilu and Hanrot ([BH96]) is used.と書いてある

＜$\mathbb{Q}(\sqrt{-23})$の素イデアル分解の様子＞
昨年のProxima杯の予選の大問2に出た話題。類数は3である。
$(2) = p_2\cdot q_2$と分解できて
$p_2^3 = ( (3+\sqrt{-23})/2 )$
$q_2^3 = ( (3-\sqrt{-23})/2 )$

$(3) = p_3\cdot q_3$と分解できて
$p_3^3 = -2+\sqrt{-23}$
$q_3^3 = -2-\sqrt{-23}$
$(13) = p_{13}\cdot q_{13}$と分解できて
$p_{13}^3 = (-37+6\sqrt{-23})$
$q_{13}^3 = (-37-6\sqrt{-23})$
後の計算のためいくつか計算しておく：
$p_2\cdot q_3 = ((1-\sqrt{-23})/2)$
$p_3\cdot q_2 = ((1+\sqrt{-23})/2)$
$p_3\cdot q_{13} = (4+\sqrt{-23})$
$q_3\cdot p_{13} = (4-\sqrt{-23})$
$p_{13}\cdot q_2 = ((9+\sqrt{-23})/2) = (a)$
$q_{13}\cdot p_2 = ((9-\sqrt{-23})/2) = (b)$
（$p_2, p_3, p_{13}$が同じイデアル類群に属するように選んだ）

＜$u,u-a,u-b$のイデアル分解を考える＞
$(u) = c_1 \cdot A^3$
$(u-a) = c_2 \cdot B^3$
$(u-b) = c_3 \cdot C^3$
とおく。$u$は有理整数だから$u-a,u-b$は共役で、$c_3$は$c_2$の共役、$C$は$B$の共役とおける。都合が良いことに類数が3だから$A^3,B^3,C^3$は単項で、従って$c_1,c_2,c_3$も単項である。ほかに$u(u-a)(u-b)=3v^3$、$u$と$u-a$の公約イデアルは$a=q_2\cdot p_{13}$を割ること、$u$と$(u-a)(u-b)=u^2-9u+26$が同時に3の倍数になることはないことなどを考慮して、分解の候補を考えると以下の9個の場合分けとなる。
[1]
$c_1 = (3)$
$c_2 = (1)$
$c_3 = (1)$
[2]
$c_1 = (3) \cdot p_2^2 \cdot q_2^2 \cdot p_{13}^2 \cdot q_{13}^2$
$c_2 = q_2 \cdot p_{13}$
$c_3 = p_2 \cdot q_{13}$
[3]
$c_1 = (3) \cdot p_2 \cdot q_2 \cdot p_{13} \cdot q_{13}$
$c_2 = q_2^2 \cdot p_{13}^2$
$c_3 = p_2^2 \cdot q_{13}^2$
[4]
$c_1 = p_2^2\cdot q_2^2$
$c_2 = p_3\cdot q_2$
$c_3 = q_3\cdot p_2$
[5]
$c_1 = p_{13}\cdot q_{13}$
$c_2 = p_3\cdot p_{13}^2$
$c_3 = q_3\cdot q_{13}^2$
[6]
$c_1 = p_2 \cdot q_2 \cdot p_{13}^2 \cdot q_{13}^2$
$c_2 = p_3 \cdot q_2^2 \cdot p_{13}$
$c_3 = q_3 \cdot p_2^2 \cdot q_{13}$
[7]
$c_1 = p_2\cdot q_2$
$c_2 = q_3\cdot q_2^2$
$c_3 = p_3\cdot p_2^2$
[8]
$c_1 = p_{13}^2\cdot q_{13}^2$
$c_2 = q_3\cdot p_{13}$
$c_3 = p_3\cdot q_{13}$
[9]
$c_1 = p_2^2 \cdot q_2^2 \cdot p_{13} \cdot q_{13}$
$c_2 = q_3 \cdot q_2 \cdot p_{13}^2$
$c_3 = p_3 \cdot p_2 \cdot q_{13}^2$

＜方針＞
$B$が単項イデアルのときは、$B$の生成元を$(x+y\sqrt{-23})/2$ とおいて
$u-a = (c_2の生成元)\cdot ((x+y\sqrt{-23})/2)^3$
の虚部をみるとThue方程式を得るので計算機で有限の候補に絞れる。（ここで「の生成元」とは符号の選択をするだけで、それは$x,y$の符号で吸収されるので気にしなくて良い。）対応する$u$が偶数で$(u) = c_1\cdot A^3$を満たしているものが、元の方程式の整数解を与える。

$B$が単項イデアルでない場合は、Bに$p_2$か$q_2$を掛けたものが単項イデアルになるのでその生成元を$(x+y\sqrt{-23})/2$ とおく。
$(u-a) = (c_2の生成元)\cdot ((x+y\sqrt{-23})/2)^3 / (p_2^3の生成元)$
$(u-a) = (c_2の生成元)\cdot ((x+y\sqrt{-23})/2)^3 / (q_2^3の生成元)$
についてそれぞれ同様に虚部からThue方程式を得て検証すれば良い。これらは共役の関係でyの符号で吸収されるから片方だけ検証すれば良い。結局、9つの場合について、それぞれ2つのThue方程式を得る。

最初のは手計算で解けるが他は冒頭のようにmagma沙汰と思う。

＜計算＞
[1]
$c_1 = (3)$
$c_2 = (1)$
最初の $u-a = (c_2の生成元)\cdot ((x+y\sqrt{-23})/2)^3$ から得られるThue方程式は $6x^2\cdot y-46\cdot y^3 = -8$
この場合は$y$は8の約数なので候補は有限で、解は$x,y=(±3,-1)$で、$u=-18,27$が対応するが、$u=3A^3$の形でないので不適
2番目の$(u-a) = (c_2の生成元)\cdot ((x+y\sqrt{-23})/2)^3 / (p_2^3の生成元)$ から得られるThue方程式は $-x^3+9\cdot x^2\cdot y+69\cdot x\cdot y^2-69\cdot y^3=-64$
magmaによると解は $[x,y] = [ -41, -3 ], [ -5, 1 ], [ -2, -2 ], [ 4, 0 ]$ で
$u = -3621, 19, 46, 6$ が対応するが、$u=3A^3$の形でないので不適

[2]
$c_1 = (3) \cdot p_2^2 \cdot q_2^2 \cdot p_{13}^2 \cdot q_{13}^2$
$c_2 = q_2 \cdot p_{13} = a = ((9+\sqrt{-23})/2)$
最初のThue方程式は $x^3+27\cdot x^2\cdot y-69\cdot x\cdot y^2-207\cdot y^3 = -8$
magmaによると解は $[ -2, 0 ]$ で $u=0$が対応し、既知の解を与える。
2番目のThue方程式は $-x^3+441\cdot x^2\cdot y+69\cdot x\cdot y^2-3381\cdot y^3=-64$
magmaによると解なし

[3]
$c_1 = (3) \cdot p_2 \cdot q_2 \cdot p_{13} \cdot q_{13} = (78)$
$c_2 = q_2^2 \cdot p_{13}^2 = (a)^2 = ((29+9\sqrt{-23})/2)$
最初のThue方程式は $9\cdot x^3+87\cdot x^2\cdot y-621\cdot x\cdot y^2-667\cdot y^3 = -8$
magmaによると解なし
2番目のThue方程式は $-3\cdot x^3+75\cdot x^2\cdot y+207\cdot x\cdot y^2-575\cdot y^3=-64$
magmaによると解は $[ 4, 0 ]$ で $u=78$が対応し、$u=78A^3$の形であり既知の解を与える。

[4]
$c_1 = p_2^2\cdot q_2^2 = (4)$
$c_2 = p_3\cdot q_2 = ((1+\sqrt{-23})/2)$
最初のThue方程式は $x^3+3\cdot x^2\cdot y-69\cdot x\cdot y^2-23\cdot y^3 = -8$
magmaによると解は $[ -2, 0 ], [ 1, -3 ]$ で、$u=4,-914$が対応し、$u=4$が$u=4A^3$の形であり既知の解を与える
2番目のThue方程式は $x^3+39\cdot x^2\cdot y-69\cdot x\cdot y^2-299\cdot y^3=-64$
magmaによると解は $[ -4, 0 ], [ 419, 117 ]$ で $u=-2, -37177220$が対応するが、$u=4A^3$の形でないので不適

[5]
$c_1 = p_{13}\cdot q_{13}$
$c_2 = p_3\cdot p_{13}^2 = ((-37+6\sqrt{-23})\cdot (4+\sqrt{-23})/13) = (22+\sqrt{-23})$
最初のThue方程式は $2\cdot x^3+132\cdot x^2\cdot y-138\cdot x\cdot y^2-1012\cdot y^3 = -8$
magmaによると解なし。
2番目のThue方程式は $-19\cdot x^3+267\cdot x^2\cdot y+1311\cdot x\cdot y^2-2047\cdot y^3 = -64$
magmaによると解なし。

[6]
$c_1 = p_2 \cdot q_2 \cdot p_{13}^2 \cdot q_{13}^2$
$c_2 = p_3 \cdot q_2^2 \cdot p_{13} = ((1+\sqrt{-23})/2)(a) = ((-7+5\sqrt{-23})/2)$
最初のThue方程式は $5\cdot x^3-21\cdot x^2\cdot y-345\cdot x\cdot y^2+161\cdot y^3 = -8$
magmaによると解なし。
2番目のThue方程式は $11\cdot x^3+141\cdot x^2\cdot y-759\cdot x\cdot y^2-1081\cdot y^3 = -64$
magmaによると解なし。

[7]
$c_1 = p_2\cdot q_2 = (2)$
$c_2 = q_3\cdot q_2^2 = (4 \cdot (1-\sqrt{-23}) / (3+\sqrt{-23})) = ((5+\sqrt{-23})/2)$
最初のThue方程式は $x^3+15\cdot x^2\cdot y-69\cdot x\cdot y^2-115\cdot y^3 = -8$
magmaによると解は$[x,y] = [-2,0]$で、$u=2$が対応し、既知の解を与える。
2番目のThue方程式は $-x^3+57\cdot x^2\cdot y+69\cdot x\cdot y^2-437\cdot y^3 = -64$
magmaによると解は$ [ 4, 0 ]$ で $u=14$ が対応するが、$u=2A^3$の形でないので不適

[8]
$c_1 = p_{13}^2\cdot q_{13}^2 = (169)$
$c_2 = q_3\cdot p_{13} = (4-\sqrt{-23})$
最初のThue方程式は $-2\cdot x^3+24\cdot x^2\cdot y+138\cdot x\cdot y^2-184\cdot y^3 = -8$
magmaによると解なし
2番目のThue方程式は $-7\cdot x^3-33\cdot x^2\cdot y+483\cdot x\cdot y^2+253\cdot y^3 = -64$
magmaによると解なし

[9]
$c_1 = p_2^2 \cdot q_2^2 \cdot p_{13} \cdot q_{13} = (52)$
$c_2 = q_3 \cdot q_2 \cdot p_{13}^2 = (4-w)(a) = ( (59+5\sqrt{-23})/2 )$
最初のThue方程式は $5\cdot x^3 + 177\cdot x^2\cdot y - 345\cdot x\cdot y^2-1357\cdot y^3 = -8$
magmaによると解は$[x,y]=[4,-2]$で、$u=-4463$が対応するが、$u=52 A^3$の形でないので不適
2番目のThue方程式は $-44\cdot x^3+876\cdot x^2\cdot y+3036\cdot x\cdot y^2-6716\cdot y^3 = -64$
magmaによると解なし

これで既知の解以外にはないことが確認された