某botさんの問題を解く［2］［3］

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整数問題botさんの問題を解きたいと思います
(まずかったら消します)
あまりうまい解き方ではないと思います

[ $2$ ]の解
(Ⅰ) $n = 1$ のとき
$y^{2} = 2$ を満たす自然数は存在せず不適
(Ⅱ) $n$ が $3$ 以上の奇数のとき
$x^{n} - x ＝ x (x^{n - 1} - 1) \equiv 0 (m o d 3)$ ( $∵$ フェルマーの小定理)
となり $y^{2} \equiv 2 (m o d 3)$ となりこのような自然数 $y$ は存在せずこのとき解はない
(Ⅲ)nが偶数のとき $n = 2 a$ ( $a$ は自然数)と表せて
( $i$ ) $x = 1$ のとき
$y^{2} = 2$ となるが等式を満たす自然数 $y$ は存在しない
( $i i$ ) $x = 2$ のとき
$2^{2 a} = y^{2}$ このとき $y = 2^{a}$ となり $(x, y, n) = (2, 2^{a}, 2 a)$ は条件を満たす
( $i i i$ ) $x ≧ 3$ のとき
$(x^{a} - 1)^{2} ＜ x^{n} - x + 2 ＜ (x^{a})^{2}$
となり $x^{n} - x + 2 = y^{2}$ を満たすような自然数の組 $(x, y, n)$ は存在しない
以上より $(x, y, n) = (2, 2^{a}, 2 a)$ ( $a$ は正の整数)
(余談)
自然数に $0$ が含まれていた場合( $0^{0} = 1$ とします)
$n = 0$ のとき $3 - x = y^{2}$ これを解いて( $x, y, n$ )=( $2, 1, 0$ ),( $3, 0, 0$ )
以下 $n \neq$ $0$
$x = 0$ のとき $y^{2} = 2$ となるが～(以下略)
$y = 0$ のとき $x = x^{n} + 2$ となるが $x ＜ x^{n} + 2$ より不適
この場合の解は $(x, y, n) = (2, 1, 0), (3, 0, 0) (2, 2^{a}, 2 a))$
[ $3$ ]の解
以下法を $p$ とします
$n \equiv 0, 1 \dots p - 1$ の場合について考えばよい
$n \equiv 0$ のとき
$n \equiv n^{p} \equiv 0$ となり成立
$n \equiv 1$ のとき
$n \equiv n^{p} \equiv 1$ となり成立
$n \equiv 2 \dots p - 1$ のとき
$(n - 1)^{p} \equiv (n - 1)$ が成立すると仮定すると
ここで $1 ≦ ｋ ≦ p - 1$ ( $k$ は整数)とするとき
(★) $(k + 1)^{p} \equiv k^{p} + 1$ ( $∵$ $_{p} C_{k} \equiv 0$ )が成り立ち
よって $n^{p} \equiv (n - 1)^{p} + 1 \equiv n$
となり数学的帰納法により成立(おわり)