Dougallの5F4の和公式のMellin-Barnes積分類似

$s=n, b-a+n,(0\leq n)$の留数を考えることにより, Dougallの和公式を用いて,
\begin{align} &\frac 1{2\pi i}\int_{-i\infty}^{i\infty}\frac{\Gamma(a+s)\Gamma\left(1+\frac a2+s\right)\Gamma(b+s)\Gamma(c+s)\Gamma(d+s)\Gamma(b-a-s)\Gamma(-s)}{\Gamma\left(\frac a2+s\right)\Gamma(1+a-c+s)\Gamma(1+a-d+s)}\,ds\\ &=\frac{\Gamma(a)\Gamma\left(1+\frac a2\right)\Gamma(b)\Gamma(c)\Gamma(d)\Gamma(b-a)}{\Gamma\left(\frac a2\right)\Gamma(1+a-c)\Gamma(1+a-d)}\F54{a,1+\frac a2,b,c,d}{\frac a2,1+a-b,1+a-c,1+a-d}{1}\\ &\qquad +\frac{\Gamma(2b-a)\Gamma\left(1+\frac{2b-a}2\right)\Gamma(b+c-a)\Gamma(b+d-a)\Gamma(b)\Gamma(a-b)}{\Gamma\left(\frac{2b-a}2\right)\Gamma(1+b-c)\Gamma(1+b-d)}\F54{2b-a,1+\frac{2b-a}2,b,b+c-a,b+d-a}{\frac{2b-a}2,1+b-a,1+b-c,1+b-d}1\\ &=\frac 12\left(\frac{\Gamma(b)\Gamma(c)\Gamma(d)\Gamma(b-a)\Gamma(1+a-b)\Gamma(1+a-b-c-d)}{\Gamma(1+a-b-c)\Gamma(1+a-b-d)\Gamma(1+a-c-d)}+\frac{\Gamma(b)\Gamma(a-b)\Gamma(1+b-a)\Gamma(1+a-b-c-d)\Gamma(b+c-a)\Gamma(b+d-a)}{\Gamma(1+a-c-d)\Gamma(1-c)\Gamma(1-d)}\right)\\ &=\frac 12\frac{\Gamma(b)\Gamma(c)\Gamma(d)\Gamma(b+c-a)\Gamma(b+d-a)}{\Gamma(1+a-c-d)\Gamma(b+c+d-a)}\frac{\sin\pi(b+c-a)\sin\pi(b+d-a)-\sin\pi c\sin\pi d}{\sin\pi(b-a)\sin\pi(b+c+d-a)}\\ &=\frac 12\frac{\Gamma(b)\Gamma(c)\Gamma(d)\Gamma(b+c-a)\Gamma(b+d-a)}{\Gamma(1+a-c-d)\Gamma(b+c+d-a)} \end{align}
となって示される.