Dougallの5F4の和公式のMellin-Barnes積分類似

$s=n,b-a+n,(0\le n)$の留数を考えることにより, Dougallの和公式を用いて,
$$\begin{array}{rl}& \frac{1}{2\pi i}{\int }_{-i\mathrm{\infty }}^{i\mathrm{\infty }}\frac{\mathrm{\Gamma }(a+s)\mathrm{\Gamma }(1+\frac{a}{2}+s)\mathrm{\Gamma }(b+s)\mathrm{\Gamma }(c+s)\mathrm{\Gamma }(d+s)\mathrm{\Gamma }(b-a-s)\mathrm{\Gamma }(-s)}{\mathrm{\Gamma }(\frac{a}{2}+s)\mathrm{\Gamma }(1+a-c+s)\mathrm{\Gamma }(1+a-d+s)}ds\\ & =\frac{\mathrm{\Gamma }(a)\mathrm{\Gamma }(1+\frac{a}{2})\mathrm{\Gamma }(b)\mathrm{\Gamma }(c)\mathrm{\Gamma }(d)\mathrm{\Gamma }(b-a)}{\mathrm{\Gamma }\left(\frac{a}{2}\right)\mathrm{\Gamma }(1+a-c)\mathrm{\Gamma }(1+a-d)}{}_5{F}_4[\begin{array}{c}a,1+\frac{a}{2},b,c,d\\ \frac{a}{2},1+a-b,1+a-c,1+a-d\end{array};1]\\ & +\frac{\mathrm{\Gamma }(2b-a)\mathrm{\Gamma }(1+\frac{2b-a}{2})\mathrm{\Gamma }(b+c-a)\mathrm{\Gamma }(b+d-a)\mathrm{\Gamma }(b)\mathrm{\Gamma }(a-b)}{\mathrm{\Gamma }\left(\frac{2b-a}{2}\right)\mathrm{\Gamma }(1+b-c)\mathrm{\Gamma }(1+b-d)}{}_5{F}_4[\begin{array}{c}2b-a,1+\frac{2b-a}{2},b,b+c-a,b+d-a\\ \frac{2b-a}{2},1+b-a,1+b-c,1+b-d\end{array};1]\\ & =\frac{1}{2}(\frac{\mathrm{\Gamma }(b)\mathrm{\Gamma }(c)\mathrm{\Gamma }(d)\mathrm{\Gamma }(b-a)\mathrm{\Gamma }(1+a-b)\mathrm{\Gamma }(1+a-b-c-d)}{\mathrm{\Gamma }(1+a-b-c)\mathrm{\Gamma }(1+a-b-d)\mathrm{\Gamma }(1+a-c-d)}+\frac{\mathrm{\Gamma }(b)\mathrm{\Gamma }(a-b)\mathrm{\Gamma }(1+b-a)\mathrm{\Gamma }(1+a-b-c-d)\mathrm{\Gamma }(b+c-a)\mathrm{\Gamma }(b+d-a)}{\mathrm{\Gamma }(1+a-c-d)\mathrm{\Gamma }(1-c)\mathrm{\Gamma }(1-d)})\\ & =\frac{1}{2}\frac{\mathrm{\Gamma }(b)\mathrm{\Gamma }(c)\mathrm{\Gamma }(d)\mathrm{\Gamma }(b+c-a)\mathrm{\Gamma }(b+d-a)}{\mathrm{\Gamma }(1+a-c-d)\mathrm{\Gamma }(b+c+d-a)}\frac{\sin \pi (b+c-a)\sin \pi (b+d-a)-\sin \pi c\sin \pi d}{\sin \pi (b-a)\sin \pi (b+c+d-a)}\\ & =\frac{1}{2}\frac{\mathrm{\Gamma }(b)\mathrm{\Gamma }(c)\mathrm{\Gamma }(d)\mathrm{\Gamma }(b+c-a)\mathrm{\Gamma }(b+d-a)}{\mathrm{\Gamma }(1+a-c-d)\mathrm{\Gamma }(b+c+d-a)}\end{array}$$
となって示される.