PILAME杯2025 問21(記述整数) 解説

前書き

弊校は無理そうだ…なのでちょっと解説というものを書いてみるなり．
解答が出てないので間違えてる可能性があります.

PLM2025問題21

素数$p,q,r$に対して, 以下の値が整数となる素数$s$が無数に存在するような$p,q,r$を全て求めよ.
$$\frac{p^s+q^s+r^s}{pqr}$$

解くときに考えたこと

このままでは考えにくいので, まずはmodを取って考えてみる.
$p,q,r$が対称式であるので, $p$についてのmodを確認するだけで行けそうだな～
$$q^s+r^s \equiv 0 \pmod p$$
から何が言えるだろうか...
$q+r\equiv 0 \pmod p$が言えたらいいな～
そういえば, $s$が素数ってあんまり使えてないよな...
となれば, うまく位数の議論できないかな～という乗りで議論を進めるとうまくいくことがわかる.

解答

$\dfrac{p^s+q^s+r^s}{pqr}$が正の整数となるので
$$q^s+r^s\equiv 0\pmod p,p^s+r^s\equiv 0\pmod q,p^s+q^s\equiv 0\pmod r$$

証明

1. $q\equiv 0 \pmod p$のとき
   $q^s+r^s\equiv r^s\equiv 0\pmod p$よって, $r\equiv 0\pmod p$といえる. したがって, $q+r\equiv 0\pmod p$
2. $q\not\equiv 0 \pmod p$
   $r+q\equiv n\pmod p$とする.
   このとき,
   \begin{align*} q^s+r^s&\equiv 0 \\ q^s&\equiv (-r)^s\\ q^s&\equiv (q-n)^s\\ 1&\equiv (1-\frac{n}{q})^s\pmod p \cdots (i) \end{align*}
   $p$の位数を$k$とすると, ある整数$\alpha$を用いて$1-\dfrac{n}{q}\equiv k^\alpha\pmod p$と表せる.
   このとき, $(i)$より$1\equiv k^{s\alpha}\pmod p$と表せるので$s\alpha\equiv 0\pmod {p-1}$, $s$は十分大きくても成立するので, $s,p$は互いに素である. したがって$\alpha\equiv 0\pmod{p-1}$となり, $n\equiv 0\pmod p$よって, $q+r\equiv 0\pmod p$

以上より, $q+r\equiv 0\pmod p,p+r\equiv 0\pmod q,p+q\equiv 0\pmod r$
(1) $p\neq q\neq r$のとき
$\dfrac{p+q+r}{pqr}$が整数となる.
$p,q,r$は対称式なので$p< q< r$としてよい. したがって
$\dfrac{p+q+r}{pqr}<\dfrac{3p}{pqr}<\dfrac{3}{4}$となるので, これを満たす$p,q,r$は存在しない.
(2) $p= q$のとき,
$q+r\equiv 0\pmod p$より, $r\equiv 0\pmod p$が成立するので, $p=q=r$となる.

逆にこのとき, $s>3$について成立するので, よって求めるべき条件は$p=q=r$となる.

まとめ

記述を対策したことがある人なら解けた人が多いのではないでしょうか...
皆様が予選に通っていることを祈っています！！