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OMC対策(C分野:平均を使う)

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本記事の前提知識

和の期待値と期待値の和

 確率変数X,Yがあるとき
  E(X+Y)=E(X)+E(Y)

 「確率変数」という言葉だけで苦手意識を持つ人もいるかもしれないが,上の式を何となくでもわかっていれば,おそらく以下の記事を読むうえでそんなには困らないだろう.

平均値を活用する

 

例題1

 どの位にも0を含まないような3桁の正整数の和を求めよ.


(解)そのような3桁は,全ての桁が1から9のいずれかであり,その平均は5である.つまり,そのような3桁の正整数の平均は555である.
 一方,そのような3桁の数は93=729通りあるので,求めるべき和は555×729=404595

 平均が555になるところについて,より厳密に書くと,次のようになる.
 どの位にも0を含まないような3桁の正整数100a+10b+cを無作為に一つ選ぶ試行を考える.このときaの期待値は5bの期待値は5cの期待値は5であり,E(100a+10b+c)=555
 この例のように,平均が比較的容易に求まりそうな問題であれば(あるいは平均をエスパーできる問題であれば),それを利用して和を出してしまおうというのが本記事で紹介する技である.

練習問題1

 さいころを3回投げて出た目をそれぞれabcとするとき,100a+10b+cとしてありうる値の和を求めよ.


100a+10b+cの平均値は72×100+72×10+72=7772
よって和は7772×63=83916
 このように平均は小数になる場合もある.途中で小数が出てきたからといって,間違ったと即断してはいけない.

 では,次の問題はどうだろうか.平均値の発想が使えるかどうかを,まずは考えてみてほしい.

練習問題2

 さいころを3個投げて出た目を大きい順にabcとするとき,100a+10b+cとしてありうる値の和を求めよ.


 この問題では,bの平均値は72だとわかるのだが,acの平均値については,単純には求めることができない.
 aについては6であるような場合の数が6353通り,5であるような場合の数が5343通り,……と考えていくよりないだろう.

 次の例はどうだろう.

練習問題3(OMC093(E)改)

 3桁の正整数であって,百,十,一の位のいずれかが9であるような数の和を求めよ.

ヒント
 単純に平均が出せないのでは…と思うかもしれないが,工夫すれば解決できる.「百,十,一の位のいずれもが9でないような数」の和を考えればよい.


「百,十,一の位のいずれもが9でないような数」について考えよう.百の位の平均は368,十の位と一の位の平均は369である.よって,そのような3桁の正整数の平均は36008+369×11=494,そのような3桁の正整数の合計は494×(8×9×9)=320112である.
 一方3桁の正整数の和は494550なので,求めるべき値は494550320112=174438

 この平均を使うテクニックは,OMCの問題でも時折使える技である.身に着けておくと良いだろう.

OMCの例題
OMC093(E)
OMCB028(C)
OMCB025(E)
OMC047(C)
OMC101(D)
OMC084(F)
OMC095(E)
OMC031(D)
投稿日:4日前
更新日:3日前
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て
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