(番外編)某botさんの原題の方を解きます

整数問題botさんの右の問題について
この問題最初初等数学で倒せないんじゃないかと疑ってしまいました
(この引用がよくなかったら消させていただきます)

[解]
$(★)\dots (2^a-3^b)(c^2-2^d)=2024(=2^3\times 11\times 23)$
$v_2(2^a-3^b)=0$より$v_2(c^2-2^d)=3\dots \dots (♥)$
(Ⅰ)$d=1$のとき$c^2\equiv 2(mod4)$より不適
(Ⅱ)$d\geqq 4$のとき$c^2-2^d\equiv 0(mod8)$が必要で$c^2\equiv 0(mod8)$このとき$c^2\equiv 0(mod16)$
このとき$c^2-2^d\equiv 0(mod16)$となり(♥)に反する
(Ⅲ)$d=2,3$のとき
$-8＜c^2-2^d$かつ(♥)より$c^2-2^d\geqq 8＞0$よって(★)より$2^a-3^b＞0\dots (♠)$
(A)$d=2$のとき
(★)と$c^2-2＞0$より$c^2-4=8,88,184,2024$に限られて
それぞれ順に$c^2=12,92,188,2028$となるがいずれも等式を満たす正の整数$c$は存在しない
$(B)d=3$のとき$c^2\not\equiv$$8$$(mod11)$に注意すると
$c^2-8=8,184$に限られて
このときそれぞれ順に$c^2=16,192$となり$c$が正の整数になるのは$c=4$のときのみで
このとき$2^a-3^b=253\dots (♦)$
(♦)を満たすような正の整数組$(a,b)$を考える
$(B_1)b=1$のとき$2^a=256$$(a,b)=(8,1)$
$(B_2)b\geqq 2$のとき
(♦)の式を$mod9$を考えると$2^a\equiv 1(mod9)$
このとき自然数$\alpha$を用いて$a=6\alpha$と表されて
このとき(♦)は${64}^{\alpha }-253=3^b$
$mod7$を考えると(左辺)$\equiv 0$,(右辺)$\not\equiv 0$($mod7$)より不適
以上より求める正の整数の組($a,b,c,d$)は
$(a,b,c,d)=(8,1,4,3)$ (おわり)

(♦)が初等数学では示せないじゃないんだろうかとか沼ってました
(追記)誤字等修正しました
(追記)誤字等修正しました