D&Dでよい武器を探せ

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導入

君の目の前には $3$ 種類の武器がある。一つはグレートアックス。両手用の重武器で敵に $1 d 12$ の[斬撃]ダメージを与えることができる。もう一本も両手用の重武器であるグレートソードだが、これは[斬撃]ダメージを $2 d 6$ だけ与えることができる。最後は片手用武器のフレイルだ。[殴打]ダメージを $1 d 8$ 与えることができる。

また、両手武器を選んだ場合、君は「両手武器戦闘」の戦闘スタイルを採用し、

その攻撃のダメージ・ダイスで1か2の目を出したなら、君はその1や2が出たダイスを再ロールできる。そうした場合、必ず再ロールの結果を使用すること。

という効果を得ることができる。片手武器なら戦闘スタイルは「片手武器戦闘」だ。

その武器のダメージ・ロールに＋2のボーナスを得る

ことができる。

さて、君はどの武器を選ぶ？

計算

よりダメージの期待値が高いものを選ぼう。

フレイル

期待値は「ダメージの平均値」になる。フレイルの場合、1から8までの出目が出る確率は同様に確からしいから、ダメージとその確率は以下の表のようになる。

ダメージ	3	4	5	6	7	8	9	10
確率	$\frac{1}{8}$	$\frac{1}{8}$	$\frac{1}{8}$	$\frac{1}{8}$	$\frac{1}{8}$	$\frac{1}{8}$	$\frac{1}{8}$	$\frac{1}{8}$

したがって期待値は
$3 \times \frac{1}{8} + 4 \times \frac{1}{8} + 5 \times \frac{1}{8} + 6 \times \frac{1}{8} + 7 \times \frac{1}{8} + 8 \times \frac{1}{8} + 9 \times \frac{1}{8} + 10 \times \frac{1}{8} = \frac{13}{2}$

となる。

グレートアックス

(i)振り直す場合

一度目が $1$ か $2$ で、振り直して $1$ が出る確率は $\frac{2}{12} \times \frac{1}{12}$ である。したがってこの場合の表は以下のようになる。

ダメージ	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
確率	$\frac{1}{72}$	$\frac{1}{72}$	$\frac{1}{72}$	$\frac{1}{72}$	$\frac{1}{72}$	$\frac{1}{72}$	$\frac{1}{72}$	$\frac{1}{72}$	$\frac{1}{72}$	$\frac{1}{72}$	$\frac{1}{72}$	$\frac{1}{72}$

(ii)振り直さない場合

ダメージ	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
確率	$\frac{1}{12}$	$\frac{1}{12}$	$\frac{1}{12}$	$\frac{1}{12}$	$\frac{1}{12}$	$\frac{1}{12}$	$\frac{1}{12}$	$\frac{1}{12}$	$\frac{1}{12}$	$\frac{1}{12}$

したがって期待値は
$1 \times \frac{1}{72} + 2 \times \frac{1}{72} + 3 \times \frac{7}{72} + 4 \times \frac{7}{72} + 5 \times \frac{7}{72} + 6 \times \frac{7}{72} + 7 \times \frac{7}{72} + 8 \times \frac{7}{72} + 9 \times \frac{7}{72} + 10 \times \frac{7}{72} + 11 \times \frac{7}{72} + 12 \times \frac{7}{72} = \frac{22}{3}$

グレートソード

以下、両方振り直すものをパターンA、一方のみを振り直すものをパターンB、どちらも振り直さないものをパターンCとする。

$(2)$ ダメージが $2$ になる確率(以下同様)
パターンAのみ。一度目の出目は $(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2)$ の $4$ 通り。二度目の出目は $(1, 1)$ の $1$ 通りのみ。確率は $\frac{4}{36} \times \frac{1}{36} = \frac{1}{324}$

$(3)$
パターンAのみ。確率は $\frac{4}{36} \times \frac{2}{36} = \frac{1}{162}$

$(4)$
パターンAのとき。確率は $\frac{4}{36} \times \frac{3}{36} = \frac{1}{108}$
パターンBのとき。一度目の出目は $(1, 3), (2, 3), (3, 1), (3, 2)$ の $4$ 通り。二度目の出目は $1$ の $1$ 通りのみ。よって確率は $\frac{4}{36} \times \frac{1}{6} = \frac{1}{54}$
パターンCはなし。
したがって $4$ ダメージとなる確率は $\frac{1}{108} + \frac{1}{54} = \frac{1}{36}$

$(5)$
パターンAのとき。確率は $\frac{4}{36} \times \frac{4}{36} = \frac{1}{81}$
パターンBのとき。一度目の出目は $(1, 3), (2, 3), (3, 1), (3, 2), (1, 4), (2, 4), (4, 1), (4, 2)$ の $8$ 通り。 $3$ が出たときの二度目の出目は $2$ の $1$ 通り、 $4$ が出たときの二度目の出目は $1$ の $1$ 通りのみ。よって確率は $\frac{4}{36} \times \frac{1}{6} \times 2 = \frac{1}{27}$
パターンCはなし。
したがって $5$ ダメージとなる確率は $\frac{1}{81} + \frac{1}{27} = \frac{4}{81}$

※以上から、パターンBは、振り直さないほうの出目が $n$ 通り（上なら $3$ 、 $4$ の2通り）あるとき、確率は $\frac{n}{54}$ となることがわかる。

$(6)$
パターンAのとき。確率は $\frac{4}{36} \times \frac{5}{36} = \frac{5}{324}$
パターンBのとき。振り直さない方の出目は $3$ 、 $4$ 、 $5$ の $3$ 通り。よって確率は $\frac{3}{54} = \frac{1}{18}$
パターンCのとき。出目は $(3, 3)$ の $1$ 通り。よって確率は $\frac{1}{36}$
したがって $6$ ダメージとなる確率は $\frac{5}{324} + \frac{1}{18} + \frac{1}{36} = \frac{8}{81}$

$(7)$
パターンAのとき。確率は $\frac{4}{36} \times \frac{6}{36} = \frac{1}{54}$
パターンBのとき。振り直さない方の出目は $3$ 、 $4$ 、 $5$ 、 $6$ の $4$ 通り。よって確率は $\frac{4}{54} = \frac{2}{27}$
パターンCのとき。出目は $(3, 4)$ 、 $(4, 3)$ の $2$ 通り。よって確率は $\frac{2}{36} = \frac{1}{18}$
したがって $7$ ダメージとなる確率は $\frac{1}{54} + \frac{2}{27} + \frac{1}{18} = \frac{4}{27}$

$(8)$
パターンAのとき。確率は $\frac{4}{36} \times \frac{5}{36} = \frac{5}{324}$
パターンBのとき。振り直さない方の出目は $3$ 、 $4$ 、 $5$ 、 $6$ の $4$ 通り。よって確率は $\frac{4}{54} = \frac{2}{27}$
パターンCのとき。出目は $(3, 5)$ 、 $(4, 4)$ 、 $(5, 3)$ の $3$ 通り。よって確率は $\frac{3}{36} = \frac{1}{12}$
したがって $8$ ダメージとなる確率は $\frac{5}{324} + \frac{2}{27} + \frac{1}{12} = \frac{14}{81}$

$(9)$
パターンAのとき。確率は $\frac{4}{36} \times \frac{4}{36} = \frac{1}{81}$
パターンBのとき。振り直さない方の出目は $3$ 、 $4$ 、 $5$ 、 $6$ の $4$ 通り。よって確率は $\frac{4}{54} = \frac{2}{27}$
パターンCのとき。出目は $(3, 6)$ 、 $(4, 5)$ 、 $(5, 4)$ 、 $(6, 3)$ の $4$ 通り。よって確率は $\frac{4}{36} = \frac{1}{9}$
したがって $9$ ダメージとなる確率は $\frac{1}{81} + \frac{2}{27} + \frac{1}{9} = \frac{16}{81}$

$(10)$
パターンAのとき。確率は $\frac{4}{36} \times \frac{3}{36} = \frac{1}{108}$
パターンBのとき。振り直さない方の出目は $4$ 、 $5$ 、 $6$ の $3$ 通り。よって確率は $\frac{3}{54} = \frac{1}{18}$
パターンCのとき。出目は $(4, 6)$ 、 $(5, 5)$ 、 $(6, 4)$ の $3$ 通り。よって確率は $\frac{3}{36} = \frac{1}{12}$
したがって $10$ ダメージとなる確率は $\frac{1}{108} + \frac{1}{18} + \frac{1}{12} = \frac{4}{27}$

$(11)$
パターンAのとき。確率は $\frac{4}{36} \times \frac{2}{36} = \frac{1}{162}$
パターンBのとき。振り直さない方の出目は $5$ 、 $6$ の $2$ 通り。よって確率は $\frac{2}{54} = \frac{1}{27}$
パターンCのとき。出目は $(5, 6)$ 、 $(6, 5)$ の $2$ 通り。よって確率は $\frac{2}{36} = \frac{1}{18}$
したがって $11$ ダメージとなる確率は $\frac{1}{162} + \frac{1}{27} + \frac{1}{18} = \frac{8}{81}$

$(12)$
パターンAのとき。確率は $\frac{4}{36} \times \frac{1}{36} = \frac{1}{324}$
パターンBのとき。振り直さない方の出目は $6$ の $2$ 通り。よって確率は $\frac{1}{54}$
パターンCのとき。出目は $(6, 6)$ の $1$ 通り。よって確率は $\frac{1}{36}$
したがって $12$ ダメージとなる確率は $\frac{1}{324} + \frac{1}{54} + \frac{1}{36} = \frac{4}{81}$

以上よりダメージと確率の表は以下のようになる。

ダメージ	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
確率	$\frac{1}{324}$	$\frac{1}{162}$	$\frac{1}{36}$	$\frac{4}{81}$	$\frac{8}{81}$	$\frac{4}{27}$	$\frac{14}{81}$	$\frac{16}{81}$	$\frac{4}{27}$	$\frac{8}{81}$	$\frac{4}{81}$

したがって期待値は
$2 \times \frac{1}{324} + 3 \times \frac{1}{162} + 4 \times \frac{1}{36} + 5 \times \frac{4}{81} + 6 \times \frac{8}{81} + 7 \times \frac{4}{27} + 8 \times \frac{14}{81} + 9 \times \frac{16}{81} + 10 \times \frac{4}{27} + 11 \times \frac{8}{81} + 12 \times \frac{4}{81} = \frac{25}{3}$