コラッツ予想から派生した予想
はじめに
コラッツ予想について試行錯誤していたら、コラッツ予想に類似した形ができたので報告します。
コラッツ数列の計算で、偶数を省こうと考えていた過程で得られました。
コラッツ予想
以下の漸化式でえられる数列$\{c_n\}$を考える。
\begin{cases}
c_0=s \\
c_n \text{を}2\text{で割ると}0\text{あまる} \Rightarrow \
c_{n+1}=\displaystyle \frac{1}{2} c_n \\[8pt]
c_n \text{を}2\text{で割ると}1\text{あまる} \Rightarrow \
c_{n+1}=3c_n+1
\end{cases}
初期値$s$にどんな自然数を設定しても、数列はいつか必ず$1$に到達する。
派生した予想
以下の漸化式でえられる数列$\{d_n\}$を考える。
\begin{cases}
d_0=t \\[8pt]
d_n \text{を}8\text{で割ると}1\text{あまる} \Rightarrow \
d_{n+1}=\displaystyle \frac{3}{4} d_n + \frac{1}{4} \qquad \text{操作A}\\[8pt]
d_n \text{を}8\text{で割ると}3\text{あまる} \Rightarrow \
d_{n+1}=\displaystyle \frac{3}{2} d_n + \frac{1}{2} \qquad \text{操作B}\\[8pt]
d_n \text{を}8\text{で割ると}5\text{あまる} \Rightarrow \
d_{n+1}=\displaystyle \frac{1}{4} d_n - \frac{1}{4} \qquad \text{操作D}\\[8pt]
d_n \text{を}8\text{で割ると}7\text{あまる} \Rightarrow \
d_{n+1}=\displaystyle \frac{3}{2} d_n + \frac{1}{2} \qquad \text{操作E}
\end{cases}
初期値$t$にどんな奇数を設定しても、数列はいつか必ず$1$に到達する。
出所がコラッツ予想なので、上の予想はコラッツ予想と同値な気がします。
試した限りにおいて、次のことが予想されます。
数列1:コラッツ数列$\{c_n\}$から偶数を除いたもの。
数列2:数列$\{d_n\}$から操作Dで出力される数を除いたもの（ただし、1は数列に含める）。
※5→1は操作Dで出力されるが、この1は除かない
上記の数列1、数列2は一致する。
コメント
$t=1$を入れると、出力が1で自己ループに入るので綺麗（自画自賛）
漸化式の操作が、すべての奇数を入力できることを強調するために上の書き方をしましたが、
操作Bと操作Eは「4で割ったら3あまる」でまとめることができます。
コラッツ予想を証明されようとする方は、上の予想もついでに証明していただけると幸いです。
