0
未解決問題議論

負数領域のコラッツ予想を肯定する証明

コラッツ予想,３N-1,負数領域
21
0

負数領域におけるコラッツ予想について（Collatz and Flying Oldman’s Conjectures）

１　初めに

　yahoo知恵袋でco_********さんが 3n-1 の計算で楽しんでいて自動計算サイトを探していた質問に、Flying Oldmanさんのサイトが紹介されていました。そのサイトは【3n－1問題（3n+1問題コラッツ予想パロディ）】として、 奇数は 3n-1 して、偶数は２で割り算すると、与えられた負の整数が -1 に収束している（証明はなし）と述べられていた。
　フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』で複素数領域まで拡張しており、3n+1の負の正数域では循環シーケンスの例も挙げられていました。
例　−5, −14, −7, −20, −10, −5
3n-1系の正の整数域と3n+1の負の正数域は表裏の関係になるで有ろうと思われるので3n-1の正の整数域の循環シーケンスの例は逆数が解であると思われる。
例　 5, 14, 7, 20, 10, 5
で有るので、循環シーケンスになる。
他にも例を挙げると、
　3n+1システムにおける遷移の流れと、3n−1システムにおける遷移の流れを挙げると、
正数　６→　３→　１０→　５→　１６→　８→　４→　２→　１
負数 　ー６→ー３→　ー８→ー４→　ー２→　ー１
　
正数　　６→　３→　８→　４→　２→　１
負数 ー６→ー３→ー１０→ー５→ー１６→ー８→ー４→ー２→ー１

3n+1システムと 3n−1システムで正数と負数で対象になる。
であるから3n+1システムの負数域では-1に収束せず、3n−1システムでも正数域では+1に収束しないことが分かりました。それ故に【コラッツ予想を肯定する証明】で使用した証明方法で証明できると思われる。

２     コラッツ演算による一般式の定義

　コラッツ演算を次のように定義する。

{am−o=am−e2nm⋯⋅⋅⋅⋅⋅(am−eが定義されているとき)am−=0(mod2)nm:max(n=am−e2nm∈N)am+1−e=3am−o−1⋯(am−oが定義されているとき)am−o=1(mod2)am−o:am−o<−1

　つまり、偶数演算が要求された場合、偶数演算は、一度要求されたら奇数になるまでnm 回実行されます。このように定義すると、奇数 と偶数 に分けることができる。 ただし、偶数演算の初回は n1、以下n2,n3,⋯ などとする。
　又、am−oは負の整数の奇数を、am−eは負の正数の奇数を表す為に符号ーを付けて強調している。am−o:am−o<−1の定義はam−o=−1の場合、奇数のコラッツ演算を停止する。

　この定義に基づいて、奇数演算の回数 m と偶数演算の回数nmを変数とし一般式を定義する。与えられた最初の偶数自然数を偶数演算された結果をa1−oとし、次の奇数演算で計算される自然数をa2−eとする。Collatz m 回で指定された奇数演算を繰り返した結果は、am−o とam+1−eになります。

初めに与えられた自然数が偶数の場合

a1−o=a1−e2n1
ここで n1 は変数で n1≥1 で、奇数になるまで 2 で偶数演算されます。次に奇数演算が行われ、

a2−e=3a1−o−1

結果として、

a2−e=32n1a1−e−1

その後、コラッツ演算が繰り返えされ、一般項は、

am−e=(3m−1a1−e−3m−2k1−m−3k2−⋯−31km−2−km−1)/km−1       （１）

となる。但し、 km=2∑i=1mni　　とする。

３ Collatz 操作によって生成される循環シーケンスの有無

 a2−eとa1−eの関係は、

a2−e=3k1a1−e−1

a2−e=a1−eとすると、

(k1−3)a2−e=−k1

a1−e=−k1(k1−3)

左辺が負数であるから右辺も負数で無ければならない。よって、k1−3>0で無ければならない。又、偶数割る奇数であるから、

a1−e=−k1(k1−3)=−2n

で無ければならない。よって、k1=4とすると、

a1−e=−4(4−3)=−4=−2n

で有るが、a2−e=−4では、奇数演算が行われる前にー１に収束するので除外されている。

依って、k1≥8とすると、

−k1=−2n(k1−3)

−2n3=−(2n−1)k1

2n3(2n−1)=k1≥8

2n3≥8(2n−1)

8≥8×2n−2n3=5×2n

85×2=0.8≥n

で有るので、0.8≥nで有るが、n∈Z で無ければならないので、整除出来ずa2−e=a1−eとする仮定は背理しa2−e≠a1−eで有る。依って、

a1−e=k1(k1−3)∉Z⇒a2e≠a1−e

で有る。又、a2−e≠a1−eで有るなら、

a1−e≠−k1(k1−3)

で有り、前に計算したように、a1−e∉Zで有るから、恒等的に肯定され、

a2e≠a1e⇒　a1e=k1(k1−3)∉Z

で有る。依って、

a2−e≠a1−e⟺−k1(k1−3)∉Z

で有る。

 a3−eとa1−eの関係は、

a3−e=(32a1−e−31k1)/k2

a3−e=a1−eとすると、

(k2−32)a3−e=−3k1

a1−e=−3k1(k2−32)

は、a2−e≠a1−eの続きとして、計算される同じa1−eで計算されるので有るから、

a1−e=−3k1(k2−32)=a1−e∉Z

で有るので、a3−e=a1−eとすると仮定は背理し、a3−e≠a1−eで有る。依って、

a2−e≠a1−e⟹a3−e≠a1−eで有る。

（１）式から、am−1−e≠a1−eとすると、

a1−e≠(3m−2a1−e−3m−3k1−m−4k2−⋯−31km−3−km−2)/km−2

で有るので、

(km−2−3m−2a1−e)a1−e≠(−3m−3k1−m−4k2−⋯−31km−3−km−2)

a1−e≠(−3m−3k1−m−4k2−⋯−31km−3−km−2(km−2−3m−2)

a1−e∉Z

と仮定し、（１）式から、am−e=a1−eとすると、

a1−e=(−3m−2k1−m−3k2−⋯−31km−2−km−1)(km−1−3m−1)

a1−e=(−3m−2k1−m−3k2−⋯−31km−2−km−1)(km−1−3m−1)=a1−e∉Z

で有るので、am−e=a1−eとする仮定は背理し、am−e≠a1−eで有るので、am−1−e≠a1−e⟹am−e≠a1−eで有るから、数学的帰納法により、コラッツ演算による循環数列は無い。

４　発散の有無

一般式から、

am−e=(3m−1a1−ekm−1−3m−2k1km−1−⋯−31km−2km−1−1)

で有るが、km=2∑i=1mniで有るので、km−1≥2m−1で有る。 依って、

am−e≥(3m−1a1−e2m−1−3m−2k12m−1−⋯−31km−22m−1−1)

で、両辺が等しい場合は、全ての偶数のコラッツ演算が全て１回で無ければならない。故に、

am−e=(3m−12m−1a1−e−3m−2k12m−1−⋯−31km−22m−1−1)

am−e=(3m−12m−1a1−e−3m−22m−2−⋯−32−1)

で、右辺第二項以下は初項がー１で等比3/2の等比数列であるから、

(−(32)m−2−⋯−32−1)=((32)m−1−1)(1−32)=((32)m−1−1)(−12)

=−2((32)m−1−1)

依って、

am−e=(3m−12m−1a1−e−2((32)m−1−1))=(3m−12m−1(a1−e−2−1))
=3m−12m−1(a1−e−3))

a1−e−3∈Z で有るが、

3m−12m−1∉Z

は奇数割る偶数であるから整数に成らない。依って、全ての偶数演算が１回では無いので、

am−e>(3m−1a1−e2m−1−3m−2k12m−1−⋯−31km−22m−1−1)=(3m−12m−1(a1−e−3))

依って、両辺の極値を取ると、

limm→∞am−e>limm→∞(3m−12m−1(a1−e−3))=−∞

で有るので、am−e は有限である。

５　Cllatz 演算の終了

２節(循環なし)と３節(発散なし)の結果からの鳩ノ巣原理によりCollatz演算は停止しなければならない、よって3n−1のシステムは -1 に収束する。以上によりコラッツ予想を自然数から負数に拡張できた。

投稿日：2024年9月17日
更新日：2024年9月17日
OptHub AI Competition

この記事を高評価した人

高評価したユーザはいません

この記事に送られたバッジ

バッジはありません。
バッチを贈って投稿者を応援しよう

バッチを贈ると投稿者に現金やAmazonのギフトカードが還元されます。

投稿者

collatz_conjecture
0
1959

コメント

他の人のコメント

コメントはありません。
読み込み中
collatz_conjecture
負数領域のコラッツ予想を肯定する証明
  1. 負数領域におけるコラッツ予想について（Collatz and Flying Oldman’s Conjectures）