負数領域のコラッツ予想を肯定する証明

負数領域におけるコラッツ予想について（Collatz and Flying Oldman’s Conjectures）

１　初めに

　yahoo知恵袋でco_********さんが 3n-1 の計算で楽しんでいて自動計算サイトを探していた質問に、Flying Oldmanさんのサイトが紹介されていました。そのサイトは【3n－1問題（3n+1問題コラッツ予想パロディ）】として、 奇数は 3n-1 して、偶数は２で割り算すると、与えられた負の整数が -1 に収束している（証明はなし）と述べられていた。
　フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』で複素数領域まで拡張しており、3n+1の負の正数域では循環シーケンスの例も挙げられていました。
例　−5, −14, −7, −20, −10, −5
3n-1系の正の整数域と3n+1の負の正数域は表裏の関係になるで有ろうと思われるので3n-1の正の整数域の循環シーケンスの例は逆数が解であると思われる。
例　 5, 14, 7, 20, 10, 5
で有るので、循環シーケンスになる。
他にも例を挙げると、
　$3n+1$システムにおける遷移の流れと、$3n-1$システムにおける遷移の流れを挙げると、
正数　６→　３→　１０→　５→　１６→　８→　４→　２→　１
負数 　ー６→ー３→　ー８→ー４→　ー２→　ー１
　
正数　　６→　３→　８→　４→　２→　１
負数 ー６→ー３→ー１０→ー５→ー１６→ー８→ー４→ー２→ー１

$3n+1$システムと $3n-1$システムで正数と負数で対象になる。
であるから$3n+1$システムの負数域では-1に収束せず、$3n-1$システムでも正数域では+1に収束しないことが分かりました。それ故に【コラッツ予想を肯定する証明】で使用した証明方法で証明できると思われる。

２     コラッツ演算による一般式の定義

　コラッツ演算を次のように定義する。

$ \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} a_{m}^{ -o }= \frac{a_{m}^{ - e }}{2^{n_m}}\cdots \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot (a_{m}^{ - e}が定義されているとき) a_{m}^{ - }=0 \pmod{2} n_m:max(n=\frac{a_{m}^{ -e }}{{2^{n_m}}} \in N) \\ a_{m+1}^{ -e}= 3a_{m}^{ - o} - 1 \cdots (a_{m}^{ -o}が定義されているとき)a_{m}^{ -o }=1 \pmod{2}a_{m}^{ - o}:a_{m}^{ - o} \lt -1 \end{array} \right. \end{eqnarray} $

　つまり、偶数演算が要求された場合、偶数演算は、一度要求されたら奇数になるまで$n_m$ 回実行されます。このように定義すると、奇数 と偶数 に分けることができる。 ただし、偶数演算の初回は $n_1$、以下$n_2,n_3, \cdots$ などとする。
　又、$a_{m}^{ - o }$は負の整数の奇数を、$a_{m}^{ -e } $は負の正数の奇数を表す為に符号ーを付けて強調している。$a_{m}^{ - o}:a_{m}^{ - o} \lt -1 $の定義は$a_{m}^{ - o}=-1$の場合、奇数のコラッツ演算を停止する。

　この定義に基づいて、奇数演算の回数 $m$ と偶数演算の回数$n_m$を変数とし一般式を定義する。与えられた最初の偶数自然数を偶数演算された結果を$a_1^{ - o}$とし、次の奇数演算で計算される自然数を$a_2^{ - e}$とする。Collatz m 回で指定された奇数演算を繰り返した結果は、$a_m^{ - o}$ と$a_{m+1}^{-e}$になります。

初めに与えられた自然数が偶数の場合

$$a_{1}^{ - o}= \frac{a_1^{ - e}}{2^{n_1}} $$
ここで ${n_1}$ は変数で ${n_1} \geq 1$ で、奇数になるまで 2 で偶数演算されます。次に奇数演算が行われ、

$a_{2}^{ - e}= 3a_{1}^{ - o} - 1$

結果として、

$$a_{2}^{ - e}= \frac{3}{2^{n_1}}a_{1}^{ - e}- 1$$

その後、コラッツ演算が繰り返えされ、一般項は、

$a_{m}^{ - e}=(3^{m-1}a_{1}^{ - e} - 3^{m-2}k_1-^{m-3}k_2- \cdots-3^1k_{m-2}- k_{m-1})/k_{m-1}$       （１）

となる。但し、 $k_{m}=2^{ \sum_{i=1}^{m}n_i}$　　とする。

３ Collatz 操作によって生成される循環シーケンスの有無

 $a_{2}^{ - e}$と$a_{1}^{ - e}$の関係は、

$$a_{2}^{ - e}= \frac{3}{k_{1}}a_{1}^{ - e} -1 $$

$a_{2}^{ - e}=a_{1}^{ - e}$とすると、

$$(k_{1}-3)a_{2}^{ - e}= -k_{1} $$

$$a_{1}^{ - e}= \frac{-k_{1}}{(k_{1}-3)} $$

左辺が負数であるから右辺も負数で無ければならない。よって、$k_{1}-3 \gt 0 $で無ければならない。又、偶数割る奇数であるから、

$$a_{1}^{ - e}= \frac{-k_{1}}{(k_{1}-3)} = -2n $$

で無ければならない。よって、$k_{1}=4 $とすると、

$$a_{1}^{ - e}= \frac{-4}{(4-3)} =-4= -2n $$

で有るが、$a_{2}^{ - e}= -4 $では、奇数演算が行われる前にー１に収束するので除外されている。

依って、$k_{1} \geq 8$とすると、

$$ -k_{1} = -2n(k_{1}-3) $$

$$ - 2n3 = -(2n-1)k_{1} $$

$$ \frac{2n3}{(2n-1)} = k_{1} \geq 8 $$

$$ 2n3 \geq 8(2n-1) $$

$$ 8 \geq 8 \times 2n - 2n3=5\times 2n$$

$$ \frac{8}{5\times 2} =0.8 \geq n$$

で有るので、$0.8\geq n$で有るが、$n \in \mathbb{Z} $ で無ければならないので、整除出来ず$a_{2}^{-e} = a_{1}^{-e} $とする仮定は背理し$a_{2}^{-e} \neq a_{1}^{-e} $で有る。依って、

$$ a_{1}^{-e}= \frac{k_1}{(k_1-3)} \notin \mathbb{Z} \Rightarrow a_{2}^e \neq a_{1}^{-e}$$

で有る。又、$a_{2}^{-e} \neq a_{1}^{-e} $で有るなら、

$$a_{1}^{ - e} \neq \frac{-k_{1}}{(k_{1}-3)} $$

で有り、前に計算したように、$a_{1}^{ - e} \notin \mathbb{Z} $で有るから、恒等的に肯定され、

$$ a_{2}^e \neq a_{1}^e \Rightarrow　a_{1}^e= \frac{k_1}{(k_1-3)} \notin \mathbb{Z} $$

で有る。依って、

$$ a_{2}^{ - e} \neq a_{1}^{ - e} \Longleftrightarrow \frac{-k_{1}}{(k_{1}-3)} \notin \mathbb{Z} $$

で有る。

 $a_{3}^{ - e}$と$a_{1}^{ - e}$の関係は、

$a_{3}^{ - e}=(3^{2}a_{1}^{ - e} - 3^{1}k_1)/k_{2}$

$a_{3}^{ - e}=a_{1}^{ - e}$とすると、

$$(k_{2}-3^2)a_{3}^{ - e}= -3k_{1} $$

$$a_{1}^{ - e}= \frac{-3k_{1}}{(k_{2}-3^2)} $$

は、$a_{2}^{-e} \neq a_{1}^{-e} $の続きとして、計算される同じ$a_{1}^{-e}$で計算されるので有るから、

$$a_{1}^{ - e}= \frac{-3k_{1}}{(k_{2}-3^2)} =a_{1}^{ - e} \notin \mathbb{Z} $$

で有るので、$a_{3}^{ - e}=a_{1}^{ - e}$とすると仮定は背理し、$a_{3}^{ - e} \neq a_{1}^{ - e}$で有る。依って、

$a_{2}^{-e} \neq a_{1}^{-e} \Longrightarrow a_{3}^{ - e} \neq a_{1}^{ - e}$で有る。

（１）式から、$a_{m-1}^{ - e} \neq a_{1}^{ - e} $とすると、

$a_{1}^{ - e} \neq (3^{m-2}a_{1}^{ - e} - 3^{m-3}k_1-^{m-4}k_2- \cdots-3^1k_{m-3}- k_{m-2})/k_{m-2}$

で有るので、

$$(k_{m-2}-3^{m-2}a_{1}^{ - e})a_{1}^{ - e} \neq ( - 3^{m-3}k_1-^{m-4}k_2- \cdots-3^1k_{m-3}- k_{m-2})$$

$$a_{1}^{ - e} \neq \frac{( - 3^{m-3}k_1-^{m-4}k_2- \cdots-3^1k_{m-3}- k_{m-2}}{(k_{m-2}-3^{m-2})} $$

$$a_{1}^{ - e} \notin \mathbb{Z} $$

と仮定し、（１）式から、$a_{m}^{−e}=a_{1}^{−e} $とすると、

$$a_{1}^{ - e} = \frac{( - 3^{m-2}k_1-^{m-3}k_2- \cdots-3^1k_{m-2}- k_{m-1})}{(k_{m-1}-3^{m-1})} $$

$$a_{1}^{ - e} = \frac{( - 3^{m-2}k_1-^{m-3}k_2- \cdots-3^1k_{m-2}- k_{m-1})}{(k_{m-1}-3^{m-1})}=a_{1}^{ - e} \notin \mathbb{Z} $$

で有るので、$a_{m}^{−e}=a_{1}^{−e} $とする仮定は背理し、$a_{m}^{−e} \neq a_{1}^{−e} $で有るので、$a_{m-1}^{ - e} \neq a_{1}^{ - e} \Longrightarrow a_{m}^{ - e} \neq a_{1}^{ - e}$で有るから、数学的帰納法により、コラッツ演算による循環数列は無い。

４　発散の有無

一般式から、

$$a_{m}^{ - e}= (\frac{3^{m-1}a_{1}^{ - e}}{k_{m-1}}-\frac{3^{m-2}k_1}{k_{m-1}} - \cdots-\frac{3^1k_{m-2}}{k_{m-1}} -1) $$

で有るが、$k_m=2^{ \sum_{i=1}^{m}n_i} $で有るので、$k_{m-1} \geq 2^{m-1}$で有る。 依って、

$$a_{m}^{ - e} \geq (\frac{3^{m-1}a_{1}^{ - e}}{2^{m-1}}-\frac{3^{m-2}k_1}{2^{m-1}} - \cdots-\frac{3^1k_{m-2}}{2^{m-1}} -1) $$

で、両辺が等しい場合は、全ての偶数のコラッツ演算が全て１回で無ければならない。故に、

$$a_{m}^{ - e} = (\frac{3^{m-1}}{2^{m-1}}a_{1}^{ - e}-\frac{3^{m-2}k_1}{2^{m-1}} - \cdots-\frac{3^1k_{m-2}}{2^{m-1}} -1) $$

$$a_{m}^{ - e} = (\frac{3^{m-1}}{2^{m-1}}a_{1}^{-e}-\frac{3^{m-2}}{2^{m-2}} - \cdots-\frac{3}{2} -1) $$

で、右辺第二項以下は初項がー１で等比$3/2 $の等比数列であるから、

$$ (-(\frac{3}{2})^{m-2} - \cdots - \frac{3}{2} - 1)=\frac{((\frac{3}{2})^{m-1}-1)}{(1-\frac{3}{2})}=\frac{((\frac{3}{2})^{m-1}-1)}{(-\frac{1}{2})}$$

$ =-2((\frac{3}{2})^{m-1}-1)$

依って、

$$a_{m}^{ - e} = (\frac{3^{m-1}}{2^{m-1}}a_{1}^{-e}-2((\frac{3}{2})^{m-1}-1))= (\frac{3^{m-1}}{2^{m-1}}(a_{1}^{-e}-2-1)) $$
$$= \frac{3^{m-1}}{2^{m-1}}(a_{1}^{-e}-3)) $$

$a_{1}^{-e}-3 \in \mathbb{Z} $ で有るが、

$$\frac{3^{m-1}}{2^{m-1}} \notin \mathbb{Z} $$

は奇数割る偶数であるから整数に成らない。依って、全ての偶数演算が１回では無いので、

$$a_{m}^{ - e} \gt (\frac{3^{m-1}a_{1}^{ - e}}{2^{m-1}}-\frac{3^{m-2}k_1}{2^{m-1}} - \cdots-\frac{3^1k_{m-2}}{2^{m-1}} -1)=(\frac{3^{m-1}}{2^{m-1}}(a_{1}^{-e}-3)) $$

依って、両辺の極値を取ると、

$$ \lim_{m \to \infty} a_{m}^{ - e} \gt \lim_{m \to \infty} (\frac{3^{m-1}}{2^{m-1}}(a_{1}^{-e}-3))= -\infty$$

で有るので、$a_{m}^{ - e}$ は有限である。

５　Cllatz 演算の終了

２節(循環なし)と３節(発散なし)の結果からの鳩ノ巣原理によりCollatz演算は停止しなければならない、よって$3n-1$のシステムは -1 に収束する。以上によりコラッツ予想を自然数から負数に拡張できた。