東大数学過去問解答例(2024理6)
ここでは東大数学の2024理6(改)の解答例を解説していきます。解答例はあくまでも例なので、最短・最易の解答とは限らないことにご注意ください。またこの解答を信じきってしまったことで起こった不利益に関しては一切の責任を負いませんので、参照する際は慎重に慎重を重ねて議論を追ってからご参照ください。また誤り・不適切な記述・非自明な箇所などがあればコメントで指摘していただけると幸いです。
素数とは$1$と自分自身以外に正の約数を持たない$2$以上の自然数を指す。ここで整数$a,b$に対して$n^3+an^2+bn$が素数になるような整数$n$の個数を$N(a,b)$とおく。$N(a,b)$の取り得る最大値を求め、それを実現する$a,b$の組を一つ挙げなさい。
まず$f=x^3+ax^2+bx$とおく。$f(n)$が素数になり得る$n$は以下の
(i) $n=1$かつ$1+a+b$は素数
(ii)$n=-1$かつ$a-b-1$は素数
(iii) $n$は素数かつ$n^2+an+b=1$
(iv) $-n$は素数かつ$n^2+an+b=-1$
のいずれかである。ここで(iii)の条件を満たす整数$p_3$と(iv)の条件を満たす整数$-p_4$考えたとき、
$$
(p_3+p_4)(p_3-p_4+a)=2
$$
であるが、$p_3+p_4\geq4$であるから、これはあり得ない。よって
(a) (iii)を満たす$n$と(iv)を満たす$n$が同時に存在するような$a,b$は存在しない
ことがわかった。
また(i)(ii)が同時に満たされているとき$p=1+a+b,q=a-b-1$とおくと
$$
b=\frac{p-q}{2}-1
$$
$$
a=\frac{p+q}{2}
$$
と表される。ここで$n=r$のとき(iii)が満たされているとすると、これは
$$
r^2+\frac{p+q}{2}r+\frac{p-q}{2}=r^2+\frac{p}{2}r+\frac{p}{2}+\frac{q}{2}(r-1)=2
$$
であるが、$p,q,r\geq2$であるからこの等式は成り立たない。よって
(b) (i)を満たす$n$と(ii)を満たす$n$と(iii)満たす$n$が同時に存在する$a,b$の組は存在しない
ことがわかった。
また$n=-r$のとき(iv)が満たされているとすると
$$
r^2-\frac{p+q}{2}r+\frac{p-q}{2}=0
$$
である。ここで条件を満たす素数$r$が二つ以上存在したとし、それを$r_1,r_2$とする。このとき
$$
\frac{p-q}{2}=r_1r_2\geq r_1+r_2=\frac{p+q}{2}
$$
となり矛盾する。以上から
(c) (i)を満たす$n$と(ii)を満たす$n$と(iv)を満たす$n$が同時に存在するとき、(iv)を満たす$n$は一つしかない
ことがわかった。(a)(b)(c)から、任意の$a,b$に対して$N(a,b)\leq3$であることがわかる。
ここで$\color{red}(a,b)=(10,20)$のとき$f(1)=31,f(-7)=7,f(-3)=3$であるから$N(10,20)=3$である。以上から$N(a,b)$の最大値は$\color{red}3$である。
$N(a,b)=3$になる例で$(a,b)=(10,20)$を挙げたのは、元の問題の一問目に「$N(10,20)$を求めなさい」という問題があるためです。他にも$(a,b)=(-5,7)$なども例になっています。見つけ方としては、素数$p\neq q$に対して多項式$F_{p,q}=x(x-p)(x-q)+x$や$G_{p,q}=x(x+p)(x+q)-x$などの形の多項式を考え、そこから$x=1$または$x=-1$の場合に$F_{p,q}$ないし$G_{p,q}$が素数するような$p,q$をしらみつぶしに探すのが標準的かと思います($(-5,7)$は$F_{2,3}$として、$(10,20)$は$G_{3,7}$として得られます)