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東大数学過去問解答例(2024理6)

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ここでは東大数学の2024理6(改)の解答例を解説していきます。解答例はあくまでも例なので、最短・最易の解答とは限らないことにご注意ください。またこの解答を信じきってしまったことで起こった不利益に関しては一切の責任を負いませんので、参照する際は慎重に慎重を重ねて議論を追ってからご参照ください。また誤り・不適切な記述・非自明な箇所などがあればコメントで指摘していただけると幸いです。

2024理6(改)

素数とは1と自分自身以外に正の約数を持たない2以上の自然数を指す。ここで整数a,bに対してn3+an2+bnが素数になるような整数nの個数をN(a,b)とおく。N(a,b)の取り得る最大値を求め、それを実現するa,bの組を一つ挙げなさい。

まずf=x3+ax2+bxとおく。f(n)が素数になり得るnは以下の

(i) n=1かつ1+a+bは素数
(ii)n=1かつab1は素数
(iii) nは素数かつn2+an+b=1
(iv) nは素数かつn2+an+b=1

のいずれかである。ここで(iii)の条件を満たす整数p3と(iv)の条件を満たす整数p4考えたとき、
(p3+p4)(p3p4+a)=2
であるが、p3+p44であるから、これはあり得ない。よって

(a) (iii)を満たすnと(iv)を満たすnが同時に存在するようなa,bは存在しない

ことがわかった。

また(i)(ii)が同時に満たされているときp=1+a+b,q=ab1とおくと
b=pq21
a=p+q2
と表される。ここでn=rのとき(iii)が満たされているとすると、これは
r2+p+q2r+pq2=r2+p2r+p2+q2(r1)=2
であるが、p,q,r2であるからこの等式は成り立たない。よって

(b) (i)を満たすnと(ii)を満たすnと(iii)満たすnが同時に存在するa,bの組は存在しない

ことがわかった。

またn=rのとき(iv)が満たされているとすると
r2p+q2r+pq2=0
である。ここで条件を満たす素数rが二つ以上存在したとし、それをr1,r2とする。このとき
pq2=r1r2r1+r2=p+q2
となり矛盾する。以上から

(c) (i)を満たすnと(ii)を満たすnと(iv)を満たすnが同時に存在するとき、(iv)を満たすnは一つしかない

ことがわかった。(a)(b)(c)から、任意のa,bに対してN(a,b)3であることがわかる。

ここで(a,b)=(10,20)のときf(1)=31,f(7)=7,f(3)=3であるからN(10,20)=3である。以上からN(a,b)の最大値は3である。

N(a,b)=3になる例で(a,b)=(10,20)を挙げたのは、元の問題の一問目に「N(10,20)を求めなさい」という問題があるためです。他にも(a,b)=(5,7)なども例になっています。見つけ方としては、素数pqに対して多項式Fp,q=x(xp)(xq)+xGp,q=x(x+p)(x+q)xなどの形の多項式を考え、そこからx=1またはx=1の場合にFp,qないしGp,qが素数するようなp,qをしらみつぶしに探すのが標準的かと思います((5,7)F2,3として、(10,20)G3,7として得られます)

投稿日:2024225
更新日:2024226
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藍色の日々。趣味の数学と院試の過去問の(間違ってるかもしれない雑な)解答例を上げていきます。リンクはX(旧Twitter)アカウント 

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