摩訶不思議な級数を作る方法（小ネタ）
あいさつ
んちゃ！
今回は次の文献をもとに級数で遊んでみます。
おもちゃで遊ぶ子どもの気持ちになって読んで頂けると助かります。
単発ネタです。かなり短いのでその点はご了承お願いいたします。
今回使う公式
まずは今回の記事を書くきっかけになった公式を証明します。参考文献👈
\begin{equation} \forall \{a_{n}\}_{n\in\mathbb{N}}\subset\mathbb{C}:\sum_{n=1}^{N}\frac{1}{a_{n}}\prod_{m=1}^{n}\frac{a_{m}}{x+a_{m}}=\frac{1}{x}(1-\prod_{m=1}^{N}\frac{a_{m}}{x+a_{m}}) \end{equation}
[1]下記の様に差分により書き直す。
\begin{equation}
\frac{1}{a_{n}}\prod_{m=1}^{n}\frac{a_{m}}{x+a_{m}}=\frac{1}{x}(\prod_{m=1}^{n-1}\frac{a_{m}}{x+a_{m}}-\prod_{m=1}^{n}\frac{a_{m}}{x+a_{m}})
\end{equation}
[2][1]により
\begin{eqnarray}
\sum_{n=1}^{N}\frac{1}{a_{n}}\prod_{m=0}^{n}\frac{a_{m}}{x+a_{m}}&=&\frac{1}{x}(1-\prod_{m=1}^{N}\frac{a_{m}}{x+a_{m}})
\end{eqnarray}
上記公式を魔改造してみます。
\begin{eqnarray} &\forall& \{a_{n}\}_{n\in\mathbb{N}}(a_{n}-b_{n}\neq 0),\{b_{n}\}_{n\in\mathbb{N}}\subset\mathbb{C}:\forall \{\gamma_{n}(x)\}\subset\{\gamma:\mathbb{C}\rightarrow\mathbb{C}|\gammaは有理関数\}\ \\ &\sum_{n=1}^{N}&\frac{\gamma_{n-1}(x)(x+a_{n})(x+b_{n})-\gamma_{n}(x)(a_{n}-b_{n})}{a_{n}-b_{n}}\prod_{m=1}^{n}\frac{a_{m}-b_{m}}{(x+a_{m})(x+b_{m})}=\gamma_{0}(x)-\gamma_{N}(x)\prod_{m=1}^{N}\frac{a_{m}-b_{m}}{(x+a_{m})(x+b_{m})} \end{eqnarray}
[1]適当な有理関数列$\{\gamma_{n}(x)\}_{n\in\mathbb{N}_{0}}$を用いて差分で書き直す。
\begin{eqnarray}
\gamma_{n-1}(x)\prod_{m=1}^{n-1}\frac{a_{m}-b_{m}}{(x+a_{m})(x+b_{m})}-\gamma_{n}(x)\prod_{m=1}^{n}\frac{a_{m}-b_{m}}{(x+a_{m})(x+b_{m})}&=&\frac{\gamma_{n-1}(x)(x+a_{n})(x+b_{n})-\gamma_{n}(x)(a_{n}-b_{n})}{(x+a_{n})(x+b_{n})}\prod_{m=1}^{n-1}\frac{a_{m}-b_{m}}{(x+a_{m})(x+b_{m})}\\
&=&\frac{\gamma_{n-1}(x)(x+a_{n})(x+b_{n})-\gamma_{n}(x)(a_{n}-b_{n})}{a_{n}-b_{n}}\prod_{m=1}^{n}\frac{a_{m}-b_{m}}{(x+a_{m})(x+b_{m})}
\end{eqnarray}
[2][1]を代入すると以下の式が得られる。
\begin{eqnarray}
\sum_{n=1}^{N}\frac{\gamma_{n-1}(x)(x+a_{n})(x+b_{n})-\gamma_{n}(x)(a_{n}-b_{n})}{a_{n}-b_{n}}\prod_{m=1}^{n}\frac{a_{m}-b_{m}}{(x+a_{m})(x+b_{m})}=\gamma_{0}(x)-\gamma_{N}(x)\prod_{m=1}^{N}\frac{a_{m}-b_{m}}{(x+a_{m})(x+b_{m})}
\end{eqnarray}
さらに魔改造します。
\begin{eqnarray} &\forall& \{a_{n}\}_{n\in\mathbb{N}}(a_{n}-b_{n}\neq 0),\{b_{n}\}_{n\in\mathbb{N}}\subset\mathbb{C}:\forall \{\gamma_{n}(x)\}\subset\{\gamma:\mathbb{C}\rightarrow\mathbb{C}|\gammaは有理関数\}\ \\ &\sum_{n=1}^{N}&\frac{\gamma_{n-1}(x)(x+a_{n})^{K}(x+b_{n})^{L}-\gamma_{n}(x)(a_{n}-b_{n})^{K+L}}{(a_{n}-b_{n})^{K+L}}\prod_{m=1}^{n}\frac{(a_{m}-b_{m})^{K+L}}{(x+a_{m})^{K}(x+b_{m})^{M}}=\gamma_{0}(x)-\gamma_{N}(x)\prod_{m=1}^{N}\frac{(a_{m}-b_{m})^{K+L}}{(x+a_{m})^{K}(x+b_{m})^{M}} \end{eqnarray}
[1]
\begin{eqnarray}
\gamma_{n-1}(x)\prod_{m=1}^{n-1}\frac{(a_{m}-b_{m})^{K+L}}{(x+a_{m})^{K}(x+b_{m})^{M}}-\gamma_{n}(x)\prod_{m=1}^{n}\frac{(a_{m}-b_{m})^{K+L}}{(x+a_{m})^{K}(x+b_{m})^{M}}&=&\frac{\gamma_{n-1}(x)(x+a_{n})^{K}(x+b_{n})^{L}-\gamma_{n}(x)(a_{n}-b_{n})^{K+L}}{(x+a_{n})^{K}(x+b_{n})^{L}}\prod_{m=1}^{n-1}\frac{(a_{m}-b_{m})^{K+L}}{(x+a_{m})^{K}(x+b_{m})^{M}}\\
&=&\frac{\gamma_{n-1}(x)(x+a_{n})^{K}(x+b_{n})^{L}-\gamma_{n}(x)(a_{n}-b_{n})^{K+L}}{(a_{n}-b_{n})^{K+L}}\prod_{m=1}^{n}\frac{(a_{m}-b_{m})^{K+L}}{(x+a_{m})^{K}(x+b_{m})^{M}}
\end{eqnarray}
[2]代入して
\begin{eqnarray}
\sum_{n=1}^{N}\frac{\gamma_{n-1}(x)(x+a_{n})^{K}(x+b_{n})^{L}-\gamma_{n}(x)(a_{n}-b_{n})^{K+L}}{(a_{n}-b_{n})^{K+L}}\prod_{m=1}^{n}\frac{(a_{m}-b_{m})^{K+L}}{(x+a_{m})^{K}(x+b_{m})^{M}}=\gamma_{0}(x)-\gamma_{N}(x)\prod_{m=1}^{N}\frac{(a_{m}-b_{m})^{K+L}}{(x+a_{m})^{K}(x+b_{m})^{M}}
\end{eqnarray}
応用
では応用してみましょう。
途中計算ミスがある可能性があります。
くどいですが必ず自分で計算して確認してみてください。
$\gamma_{n}(x)=\frac{1}{(x+n+1)^{5}},a_{n}=\begin{pmatrix}2n+2\\n+1\end{pmatrix},b_{n}=\begin{pmatrix}2n\\n\end{pmatrix}$とすると下記の式を得る。
\begin{equation}
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{5}}\prod_{m=1}^{n-1}\frac{3m-1}{(4m+2)\begin{pmatrix}2m\\m\end{pmatrix}}=2\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2n+1}{n^{5}(3n-1)}\begin{pmatrix}2n\\n\end{pmatrix}\prod_{m=1}^{n}\frac{3m-1}{(4m+2)\begin{pmatrix}2m\\m\end{pmatrix}}
\end{equation}
[1]
\begin{eqnarray}
a_{n}-b_{n}&=&\frac{3n-1}{n+1}\begin{pmatrix}2n\\n\end{pmatrix}
\end{eqnarray}
[2]
\begin{eqnarray}
\sum_{n=1}^{N}\frac{\frac{1}{(x+n)^{5}}\{x+\frac{2(2n+1)}{n+1}\begin{pmatrix}2n\\n\end{pmatrix}\}\{x+\begin{pmatrix}2n\\n\end{pmatrix}\}-\frac{1}{(x+n+1)^{5}}\frac{3n-1}{n+1}\begin{pmatrix}2n\\n\end{pmatrix}}{\frac{3n-1}{n+1}\begin{pmatrix}2n\\n\end{pmatrix}}\prod_{m=1}^{n}\frac{\frac{3m-1}{m+1}\begin{pmatrix}2m\\m\end{pmatrix}}{\{x+\frac{2(2m+1)}{m+1}\begin{pmatrix}2m\\m\end{pmatrix}\}\{x+\begin{pmatrix}2m\\m\end{pmatrix}\}}&=&\frac{1}{(x+1)^{5}}-\frac{1}{(x+N+1)^{5}}\prod_{m=1}^{N}\frac{\frac{3m-1}{m+1}\begin{pmatrix}2m\\m\end{pmatrix}}{\{x+\frac{2(2m+1)}{m+1}\begin{pmatrix}2m\\m\end{pmatrix}\}\{x+\begin{pmatrix}2m\\m\end{pmatrix}\}}
\end{eqnarray}
[3]$x=0$を代入して
\begin{eqnarray}
2\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2n+1}{n^{5}(3n-1)}\begin{pmatrix}2n\\n\end{pmatrix}\prod_{m=1}^{n}\frac{3m-1}{(4m+2)\begin{pmatrix}2m\\m\end{pmatrix}}-\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(n+1)^{5}}\prod_{m=1}^{n}\frac{3m-1}{(4m+2)\begin{pmatrix}2m\\m\end{pmatrix}}=1
\end{eqnarray}
[4]
\begin{equation}
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{5}}\prod_{m=1}^{n-1}\frac{3m-1}{(4m+2)\begin{pmatrix}2m\\m\end{pmatrix}}=2\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2n+1}{n^{5}(3n-1)}\begin{pmatrix}2n\\n\end{pmatrix}\prod_{m=1}^{n}\frac{3m-1}{(4m+2)\begin{pmatrix}2m\\m\end{pmatrix}}
\end{equation}
$C(n,m)$をコネクターとする。この時、$a_{n}=C(n-1,m),b_{n,m}=C(n,m)$としましょう。
コネクターの定義より
\begin{equation}
\exists R(n,m)\in\mathbb{C}[n,m]\ s.t.\ a_{n}-b_{n}=R(n,m)C(n,m)
\end{equation}
を満たしますので、以下の式が成り立つ。
\begin{equation}
\sum_{n=1}^{N}\frac{\gamma_{n-1}(x)[x+\{1+R(n,m)\}C(n,m)]^{K}\{x+C(n,m)\}^{L}-\gamma_{n}(x)\{R(n,m)C(n,m)\}^{K+L}}{\{R(n,m)C(n,m)\}^{K+L}}\prod_{k=1}^{n}\frac{\{R(k,m)C(k,m)\}^{K+L}}{[x+\{1+R(k,m)\}C(k,m)]^{K}\{x+C(k,m)\}^{L}}=\gamma_{0}(x)-\gamma_{N}(x)\prod_{k=1}^{N}\frac{\{R(k,m)C(k,m)\}^{K+L}}{[x+\{1+R(k,m)\}C(k,m)]^{K}\{x+C(k,m)\}^{L}}
\end{equation}
特に右辺の第二項が収束する場合
\begin{eqnarray}
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\gamma_{n-1}(x)[x+\{1+R(n,m)\}C(n,m)]^{K}\{x+C(n,m)\}^{L}-\gamma_{n}(x)\{R(n,m)C(n,m)\}^{K+L}}{\{R(n,m)C(n,m)\}^{K+L}}\prod_{k=1}^{n}\frac{\{R(k,m)C(k,m)\}^{K+L}}{[x+\{1+R(k,m)\}C(k,m)]^{K}\{x+C(k,m)\}^{L}}=\gamma_{0}(x)
\end{eqnarray}
$\gamma_{n}(x)=\frac{1}{(x+n+1)^{3}},a_{n}=\frac{1}{\begin{pmatrix}n+m-1\\m\end{pmatrix}^{10}},b_{n}=\frac{1}{\begin{pmatrix}n+m\\m\end{pmatrix}^{10}}$とすると以下の様に書ける。
\begin{equation}
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{3}}\prod_{k=1}^{n-1}\frac{\{\frac{(k+m)^{10}-k^{10}}{k^{10}}\frac{1}{\begin{pmatrix}k+m\\m\end{pmatrix}^{10}}\}^{K+L}}{\{x+\frac{(k+m)^{10}}{k^{10}\begin{pmatrix}k+m\\m\end{pmatrix}^{10}}\}^{K}\{x+\frac{1}{\begin{pmatrix}k+m\\m\end{pmatrix}^{10}}\}^{L}}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^{10L-3}(n+m)^{10K}}{\{(n+m)^{10}-n^{10}\}^{K+L}}\prod_{k=1}^{n}\frac{\{\frac{(k+m)^{10}-k^{10}}{k^{10}}\frac{1}{\begin{pmatrix}k+m\\m\end{pmatrix}^{10}}\}^{K+L}}{\{x+\frac{(k+m)^{10}}{k^{10}\begin{pmatrix}k+m\\m\end{pmatrix}^{10}}\}^{K}\{x+\frac{1}{\begin{pmatrix}k+m\\m\end{pmatrix}^{10}}\}^{L}}
\end{equation}
\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
R(n,m)=\frac{(n+m)^{10}-n^{10}}{n^{10}}\\
1+R(n,m)=\frac{(n+m)^{10}}{n^{10}}
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}
より
\begin{equation}
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\frac{1}{(x+n)^{3}}\{x+\frac{(n+m)^{10}}{n^{10}\begin{pmatrix}n+m\\m\end{pmatrix}^{10}}\}^{K}\{x+\frac{1}{\begin{pmatrix}n+m\\m\end{pmatrix}^{10}}\}^{L}-\frac{1}{(x+n+1)^{3}}\{\frac{(n+m)^{10}-n^{10}}{n^{10}}\frac{1}{\begin{pmatrix}n+m\\m\end{pmatrix}^{10}}\}^{K+L}}{\{\frac{(n+m)^{10}-n^{10}}{n^{10}}\frac{1}{\begin{pmatrix}n+m\\m\end{pmatrix}^{10}}\}^{K+L}}\prod_{k=1}^{n}\frac{\{\frac{(k+m)^{10}-k^{10}}{k^{10}}\frac{1}{\begin{pmatrix}k+m\\m\end{pmatrix}^{10}}\}^{K+L}}{\{x+\frac{(k+m)^{10}}{k^{10}\begin{pmatrix}k+m\\m\end{pmatrix}^{10}}\}^{K}\{x+\frac{1}{\begin{pmatrix}k+m\\m\end{pmatrix}^{10}}\}^{L}}=\frac{1}{(x+1)^{3}}
\end{equation}
この式から以下の結論を得る。
\begin{eqnarray}
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{3}}\prod_{k=1}^{n-1}\frac{\{\frac{(k+m)^{10}-k^{10}}{k^{10}}\frac{1}{\begin{pmatrix}k+m\\m\end{pmatrix}^{10}}\}^{K+L}}{\{x+\frac{(k+m)^{10}}{k^{10}\begin{pmatrix}k+m\\m\end{pmatrix}^{10}}\}^{K}\{x+\frac{1}{\begin{pmatrix}k+m\\m\end{pmatrix}^{10}}\}^{L}}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^{10L-3}(n+m)^{10K}}{\{(n+m)^{10}-n^{10}\}^{K+L}}\prod_{k=1}^{n}\frac{\{\frac{(k+m)^{10}-k^{10}}{k^{10}}\frac{1}{\begin{pmatrix}k+m\\m\end{pmatrix}^{10}}\}^{K+L}}{\{x+\frac{(k+m)^{10}}{k^{10}\begin{pmatrix}k+m\\m\end{pmatrix}^{10}}\}^{K}\{x+\frac{1}{\begin{pmatrix}k+m\\m\end{pmatrix}^{10}}\}^{L}}
\end{eqnarray}
最後に
どうでしたか？
一見難しそうな式ですが、よく見ると予定調和で子どもだましで簡単でしょう？
僕が本記事で使った手法を用いれば原理的にはいくらでも複雑怪奇な級数を作って遊べます。
ぜひ、面白い級数を作って友達を驚かせてやりましょう。
ではばいちゃ！
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