ディリクレ積分の初等的証明

前書き

まず、ディリクレ積分とは以下のような広義積分をさす。

これの初等的な計算法について記事にしたい。
広義積分であること以外高校数学に納めることを目指す。

前準備（1）積分の変形

この積分は級数でいうところの交代級数のようなやつであるので
その点を回避すべく次を示す。

前準備（2）$\cos$の和の計算

前準備（3）被積分関数の評価

積分の評価

補題４から
$${\int }_0^{n\pi }\frac{{\sin }^2(x)}{{\tan }^2(x/(2n))}dx\le {\int }_0^{n\pi }\frac{{\sin }^2(x)}{x^2/(2n{)}^2}dx\le {\int }_0^{n\pi }\frac{{\sin }^2(x)}{{\sin }^2(x/(2n))}dx$$
右辺を計算する。
被積分関数は補題３から
$$\{2\sum _{k=0}^{n-1}\cos ((2k+1)x/(2n)){\}}^2=4\sum _{k,l=0}^{n-1}\cos ((2k+1)x/(2n))\cos ((2l+1)x/(2n))$$
ゆえ
$${\int }_0^{n\pi }\frac{{\sin }^2(x)}{{\sin }^2(x/(2n))}dx=4\sum _{k,l=0}^{n-1}{\int }_0^{n\pi }\cos ((2k+1)x/(2n))\cos ((2l+1)x/(2n))dx$$
積和の公式より
$\cos ((2k+1)x/(2n))\cos ((2l+1)x/(2n))$
$=\frac{1}{2}\{\cos ((k+l+1)x/n)+\cos ((k-l)x/n)\}$
$k=l$のとき$\cos ((k-l)x/n)=1$であることに注意すると
$$4\sum _{k,l=0}^{n-1}{\int }_0^{n\pi }\cos ((2k+1)x/(2n))\cos ((2l+1)x/(2n))dx$$
$$=2\sum _{k,l=0}^{n-1}{\int }_0^{n\pi }\cos ((k+l+1)x/n)dx+2\sum _{k,l=0,k\ne l}^{n-1}{\int }_0^{n\pi }\cos ((k-l)x/n)dx+2\sum _{k=0}^{n-1}{\int }_0^{n\pi }1dx$$
$$=2\sum _{k,l=0}^{n-1}{[\frac{n}{k+l+1}\sin ((k+l+1)x/n)]}_0^{n\pi }+2\sum _{k,l=0,k\ne l}^{n-1}{[\frac{n}{k-l}\sin ((k-l)x/n)]}_0^{n\pi }+2n^2\pi$$
$$=2n^2\pi$$

左辺も同様に、被積分関数は
$$\frac{{\sin }^2(x)}{{\tan }^2(x/(2n))}={\cos }^2(x/(2n))\frac{{\sin }^2(x)}{{\sin }^2(x/(2n))}$$
なので、補題３から
$${\cos }^2(x/(2n))\{2\sum _{k=0}^{n-1}\cos ((2k+1)x/(2n)){\}}^2=4{\cos }^2(x/(2n))\sum _{k,l=0}^{n-1}\cos ((2k+1)x/(2n))\cos ((2l+1)x/(2n))$$
右辺の計算途中の結果と、
$${\cos }^2(x/(2n))=\frac{\cos \left(x/n\right)+1}{2}$$
より
$${\int }_0^{n\pi }{\cos }^2(x/(2n))\{2\sum _{k=0}^{n-1}\cos ((2k+1)x/(2n)){\}}^{2}dx$$
$$={\int }_0^{n\pi }4\frac{\cos \left(x/n\right)+1}{2}\sum _{k,l=0}^{n-1}\cos ((2k+1)x/(2n))\cos ((2l+1)x/(2n))dx$$
$$=\sum _{k,l=0}^{n-1}{\int }_0^{n\pi }(\cos \left(x/n\right)+1)\cos ((k+l+1)x/n)dx+\sum _{k,l=0,k\ne l}^{n-1}{\int }_0^{n\pi }(\cos \left(x/n\right)+1)\cos ((k-l)x/n)dx+\sum _{k=0}^{n-1}{\int }_0^{n\pi }(\cos \left(x/n\right)+1)dx$$
$$=\sum _{k,l=0}^{n-1}{\int }_0^{n\pi }\cos \left(x/n\right)\cos ((k+l+1)x/n)dx+\sum _{k,l=0,k\ne l}^{n-1}{\int }_0^{n\pi }\cos \left(x/n\right)\cos ((k-l)x/n)dx+n^2\pi$$

$$=\sum _{k,l=0}^{n-1}{\int }_0^{n\pi }\frac{\cos ((k+l+2)x/n)+\cos ((k+l)x/n)}{2}dx+\sum _{k,l=0,k\ne l}^{n-1}{\int }_0^{n\pi }\frac{\cos ((k-l+1)x/n)+\cos ((k-l-1)x/n)}{2}dx+n^2\pi$$
一つ目の積分の$k=l=0$の項と二つ目の積分の$k-l=-1,k-l=1$の項に注意すると
$${\int }_0^{n\pi }{\cos }^2(x/(2n))\{2\sum _{k=0}^{n-1}\cos ((2k+1)x/(2n)){\}}^{2}dx$$
$$=\frac{n\pi }{2}+(n-1)n\pi +n^2\pi$$
$$=2n^2\pi -\frac{n\pi }{2}$$
以上から
$${\int }_0^{n\pi }\frac{{\sin }^2(x)}{{\tan }^2(x/(2n))}dx\le {\int }_0^{n\pi }\frac{{\sin }^2(x)}{x^2/(2n{)}^2}dx\le {\int }_0^{n\pi }\frac{{\sin }^2(x)}{{\sin }^2(x/(2n))}dx$$
について
$$2n^2\pi -\frac{n\pi }{2}\le {\int }_0^{n\pi }\frac{{\sin }^2(x)}{x^2/(2n{)}^2}dx\le 2n^2\pi$$
各辺$4n^2\ge 0$で割ると
$$\frac{\pi }{2}-\frac{\pi }{8n}\le {\int }_0^{n\pi }\frac{{\sin }^2(x)}{x^2}dx\le \frac{\pi }{2}$$
$n\to \mathrm{\infty }$とすることで
$${\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{{\sin }^2(x)}{x^2}dx=\frac{\pi }{2}$$
補題2から
$${\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{\sin \left(x\right)}{x}dx={\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{{\sin }^2(x)}{x^2}dx=\frac{\pi }{2}$$