ディリクレ積分の初等的証明

前書き

まず、ディリクレ積分とは以下のような広義積分をさす。

これの初等的な計算法について記事にしたい。
広義積分であること以外高校数学に納めることを目指す。

前準備（1）積分の変形

この積分は級数でいうところの交代級数のようなやつであるので
その点を回避すべく次を示す。

前準備（2）$\cos$の和の計算

前準備（3）被積分関数の評価

積分の評価

補題４から
$$ \int_{0}^{n\pi}\frac{\sin^2(x)}{\tan^2(x/(2n))}dx\leq\int_{0}^{n\pi}\frac{\sin^2(x)}{x^2/(2n)^2}dx\leq\int_{0}^{n\pi}\frac{\sin^2(x)}{\sin^2(x/(2n))}dx $$
右辺を計算する。
被積分関数は補題３から
$$ \{2\sum_{k=0}^{n-1}\cos((2k+1)x/(2n))\}^2=4\sum_{k,l=0}^{n-1}\cos((2k+1)x/(2n))\cos((2l+1)x/(2n)) $$
ゆえ
$$ \int_{0}^{n\pi}\frac{\sin^2(x)}{\sin^2(x/(2n))}dx=4\sum_{k,l=0}^{n-1}\int_{0}^{n\pi}\cos((2k+1)x/(2n))\cos((2l+1)x/(2n))dx $$
積和の公式より
$　\cos((2k+1)x/(2n))\cos((2l+1)x/(2n))$
$=\frac{1}{2}\{\cos((k+l+1)x/n)+\cos((k-l)x/n)\}$
$k=l$のとき$\cos((k-l)x/n)=1$であることに注意すると
$$ 　4\sum_{k,l=0}^{n-1}\int_{0}^{n\pi}\cos((2k+1)x/(2n))\cos((2l+1)x/(2n))dx $$
$$ =2\sum_{k,l=0}^{n-1}\int_{0}^{n\pi}\cos((k+l+1)x/n)dx+2\sum_{k,l=0,k\neq l}^{n-1}\int_{0}^{n\pi}\cos((k-l)x/n)dx+2\sum_{k=0}^{n-1}\int_{0}^{n\pi}1dx $$
$$ =2\sum_{k,l=0}^{n-1}\left[\frac{n}{k+l+1}\sin((k+l+1)x/n)\right]^{n\pi}_{0}+2\sum_{k,l=0,k\neq l}^{n-1}\left[\frac{n}{k-l}\sin((k-l)x/n)\right]^{n\pi}_{0}+2n^2\pi $$
$$ =2n^2\pi $$

左辺も同様に、被積分関数は
$$ \frac{\sin^2(x)}{\tan^2(x/(2n))}=\cos^2(x/(2n))\frac{\sin^2(x)}{\sin^2(x/(2n))} $$
なので、補題３から
$$ \cos^2(x/(2n))\{2\sum_{k=0}^{n-1}\cos((2k+1)x/(2n))\}^2=4\cos^2(x/(2n))\sum_{k,l=0}^{n-1}\cos((2k+1)x/(2n))\cos((2l+1)x/(2n)) $$
右辺の計算途中の結果と、
$$ \cos^2(x/(2n))=\frac{\cos(x/n)+1}{2} $$
より
$$ \int_{0}^{n\pi}\cos^2(x/(2n))\{2\sum_{k=0}^{n-1}\cos((2k+1)x/(2n))\}^2dx $$
$$ =\int_{0}^{n\pi}4\frac{\cos(x/n)+1}{2}\sum_{k,l=0}^{n-1}\cos((2k+1)x/(2n))\cos((2l+1)x/(2n))dx $$
$$ =\sum_{k,l=0}^{n-1}\int_{0}^{n\pi}(\cos(x/n)+1)\cos((k+l+1)x/n)dx+\sum_{k,l=0,k\neq l}^{n-1}\int_{0}^{n\pi}(\cos(x/n)+1)\cos((k-l)x/n)dx+\sum_{k=0}^{n-1}\int_{0}^{n\pi}(\cos(x/n)+1)dx $$
$$ =\sum_{k,l=0}^{n-1}\int_{0}^{n\pi}\cos(x/n)\cos((k+l+1)x/n)dx+\sum_{k,l=0,k\neq l}^{n-1}\int_{0}^{n\pi}\cos(x/n)\cos((k-l)x/n)dx+n^2\pi $$

$$ =\sum_{k,l=0}^{n-1}\int_{0}^{n\pi}\frac{\cos((k+l+2)x/n)+\cos((k+l)x/n)}{2}dx+\sum_{k,l=0,k\neq l}^{n-1}\int_{0}^{n\pi}\frac{\cos((k-l+1)x/n)+\cos((k-l-1)x/n)}{2}dx+n^2\pi $$
一つ目の積分の$k=l=0$の項と二つ目の積分の$k-l=-1,k-l=1$の項に注意すると
$$ \int_{0}^{n\pi}\cos^2(x/(2n))\{2\sum_{k=0}^{n-1}\cos((2k+1)x/(2n))\}^2dx $$
$$ =\frac{n\pi}{2}+(n-1)n\pi+n^2\pi $$
$$ =2n^2\pi-\frac{n\pi}{2} $$
以上から
$$ \int_{0}^{n\pi}\frac{\sin^2(x)}{\tan^2(x/(2n))}dx\leq\int_{0}^{n\pi}\frac{\sin^2(x)}{x^2/(2n)^2}dx\leq\int_{0}^{n\pi}\frac{\sin^2(x)}{\sin^2(x/(2n))}dx $$
について
$$ 2n^2\pi-\frac{n\pi}{2}\leq\int_{0}^{n\pi}\frac{\sin^2(x)}{x^2/(2n)^2}dx\leq2n^2\pi $$
各辺$4n^2\geq0$で割ると
$$ \frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{8n}\leq\int_{0}^{n\pi}\frac{\sin^2(x)}{x^2}dx\leq\frac{\pi}{2} $$
$n\rightarrow\infty$とすることで
$$ \int_{0}^{\infty}\frac{\sin^2(x)}{x^2}dx=\frac{\pi}{2} $$
補題2から
$$ \int_{0}^{\infty}\frac{\sin(x)}{x}dx= \int_{0}^{\infty}\frac{\sin^2(x)}{x^2}dx=\frac{\pi}{2} $$