Fibonacci数列の逆数和

Fibonacci数列は$F_1=F_2=1,F_{n+2}=F_{n+1}+F_n$で定まる整数列である．本稿では以下の定理を示す：

以下に述べる証明はDuverneyDuverneyによるものである．

$e$の無理性

一般に実数$a$が十分に収束の速い無限級数表示を持つ場合，それを用いて$a$の無理性が示せることがある．その一例として$e$の無理性の証明を復習する．正整数$A,B$が存在して$e=A/B$となったと仮定しよう．すると
$$A/B=e=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{1}{n!}}$$
なので，分母を払って
$$A-\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{B}{n!}}=0$$
を得る．これを以下のように二つに分ける：
$$A-\sum _{n=0}^N{\displaystyle \frac{B}{n!}}=\sum _{n=N+1}^{\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{B}{n!}}.$$
両辺に$N!$を掛けて左辺を整数にする：
$$N!A-\sum _{n=0}^{N}BN(N-1)\dots (n+1)=\sum _{n=N+1}^{\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{B}{n(n-1)\dots (N+1)}}.$$
上の式の値を$X_N$と定める．すると$X_N$は$N\to \mathrm{\infty }$で$0$に収束する．実際，
$${\displaystyle \frac{1}{n(n-1)\dots (N+1)}}\le {\displaystyle \frac{1}{N^{n-N}}}$$
より
$$X_N=\sum _{n=N+1}^{\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{B}{n(n-1)\dots (N+1)}}\le \sum _{n=N+1}^{\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{B}{N^{n-N}}}={\displaystyle \frac{B}{N-1}}\to 0(N\to \mathrm{\infty })$$
となる．一方で$X_N$は整数なので，十分大きい$N$に対して$X_N=0$である．言い換えると，十分大きい$N$に対して
$$A-\sum _{n=0}^N{\displaystyle \frac{B}{n!}}=0$$
が成り立つことになるが，そのようなことはあり得ない．以上で$e$が無理数であることが示された．

$q$-指数関数，$q$-対数関数

$\psi$の良い無限級数表示を得るために，以下のような関数を準備する．

これらは通常の指数関数$e^x$および対数関数$-\log (1-x)$のTaylor展開において正整数$n$を$q^n-1$に置き換えたものである．このような置き換えを$q$類似と呼ぶ．

ここでFibonacci数列の一般項を思いだそう．$\mathbb{Q}(\sqrt{5})=\{a+b\sqrt{5}\mid a,b\in \mathbb{Q}\}$および$\mathbb{Z}[\sqrt{5}]=\{a+b\sqrt{5}\mid a,b\in \mathbb{Z}\}$と定める．また$x=a+b\sqrt{5}\in \mathbb{Q}(\sqrt{5})$に対して$\bar{x}=a-b\sqrt{5}\in \mathbb{Q}(\sqrt{5})$と定める．$\alpha ={\displaystyle \frac{1+\sqrt{5}}{2}}\in \mathbb{Z}[\sqrt{5}]$とすると
$$\alpha +\bar{\alpha }=1,\alpha \bar{\alpha }=-1$$
であり，Fibonacci数列の一般項は
$$F_n={\displaystyle \frac{{\alpha }^n-{\bar{\alpha }}^n}{\sqrt{5}}}$$
で与えられる．よって$\psi$は
$$\psi =\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{\sqrt{5}}{{\alpha }^n-{\bar{\alpha }}^n}}=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{\sqrt{5}{\bar{\alpha }}^{-n}}{(\alpha /\bar{\alpha }{)}^n-1}}=\sqrt{5}{L}_{\alpha /\bar{\alpha }}({\bar{\alpha }}^{-1})$$
と表すことができる．$-{\bar{\alpha }}^{-1}=\alpha$に注意すると，EandLから以下の表示が得られる：

$q$-指数関数は収束が非常に速いため，これを無理性の証明に用いることができる．

証明

以上の準備のもとで$\psi$の無理性を示そう．実は，無理性より少し強い以下の主張を示すことができる．証明の構造は，前述の$e$の無理性の証明と本質的に同じである．