【リーマン幾何学】Einsteinかつconformally flatならば定曲率空間（4次元以上）
4次元以上の擬リーマン多様体がEinsteinかつconformally flatならば、定曲率空間である。
$R_{ab}=\lambda g_{ab} $とする。
$n\ge3$のRiemannテンソルの分解は
\begin{align}
R_{abcd}
&=
W_{abcd}
+\frac{1}{n-2}
\left(
g_{ac}R_{bd}
-g_{ad}R_{bc}
-g_{bc}R_{ad}
+g_{bd}R_{ac}
\right)\\
&\quad
-\frac{R}{(n-1)(n-2)}
\left(
g_{ac}g_{bd}
-g_{ad}g_{bc}
\right).
\end{align}
であり、conformally flat なので$W_{abcd}=0$である。
今、
\begin{aligned}
&g_{ac}R_{bd}
-g_{ad}R_{bc}
-g_{bc}R_{ad}
+g_{bd}R_{ac}\\
&=
\lambda
\left(
g_{ac}g_{bd}
-g_{ad}g_{bc}
-g_{bc}g_{ad}
+g_{bd}g_{ac}
\right)\\
&=
2\lambda
\left(
g_{ac}g_{bd}
-g_{ad}g_{bc}
\right).
\end{aligned}
であるから、
\begin{aligned}
R_{abcd}
&=
\frac{2\lambda}{n-2}
\left(
g_{ac}g_{bd}
-g_{ad}g_{bc}
\right)
-\frac{n\lambda}{(n-1)(n-2)}
\left(
g_{ac}g_{bd}
-g_{ad}g_{bc}
\right)\\
&=
\frac{2\lambda(n-1)-n\lambda}{(n-1)(n-2)}
\left(
g_{ac}g_{bd}
-g_{ad}g_{bc}
\right)\\
&=
\frac{(n-2)\lambda}{(n-1)(n-2)}
\left(
g_{ac}g_{bd}
-g_{ad}g_{bc}
\right)\\
&=
\frac{\lambda}{n-1}
\left(
g_{ac}g_{bd}
-g_{ad}g_{bc}
\right).
\end{aligned}
となる。よって sectional curvature は
$$
c=\frac{\lambda}{n-1}
$$
となる。
