立方体の切断面を決める3点：小四面体の体積比まで導く

立体の切断図では、見えている二点だけを結び続けると、同じ平面にない線まで描いてしまいます。先に平面を決める三点を固定し、その後で立方体の各面との交線を引きます。

自作例

一辺1の立方体を考えます。一つの頂点を $O$ とし、$O$ から出る三辺の中点をそれぞれ $P,Q,R$ とします。この三点を通る平面で立方体を切ります。
座標を使うなら
$$ O=(0,0,0),\quad P=\left(\frac12,0,0\right),\quad Q=\left(0,\frac12,0\right),\quad R=\left(0,0,\frac12\right) $$
と置けます。
$P,Q,R$ は同一直線上にないので、一つの平面を定めます。その方程式は
$$ x+y+z=\frac12 $$
です。三点を代入すると、いずれも左辺が $1/2$ になります。
単位立方体の一頂点から出る三辺の中点P、Q、Rと三角形PQRの切断面
2026年8月31日に作成したFermion自作図。学校問題を転載せず、青い三角形で切断面、右側で小四面体の体積計算を示しています。

各面で中点同士を結ぶ

立方体の底面 $z=0$ では、切断面の式は
$$ x+y=\frac12 $$
となり、交線は $P$ と $Q$ を結ぶ線分です。同様に $y=0$ の面では $P$ と $R$、$x=0$ の面では $Q$ と $R$ を結びます。
したがって切断面は三角形 $PQR$ です。三辺の長さを確かめると
$$ PQ=\sqrt{\left(\frac12\right)^2+\left(-\frac12\right)^2} =\frac1{\sqrt2}. $$
$QR,RP$ も同じ長さなので、切断面は正三角形です。面積は
$$ \frac{\sqrt3}{4}\left(\frac1{\sqrt2}\right)^2 =\frac{\sqrt3}{8} $$
となります。

切り取られる小四面体の体積

頂点 $O$ 側にできる四面体 $OPQR$ を見ます。$OP,OQ,OR$ は互いに直交し、長さはすべて $1/2$ です。
直方体の一つの頂点から出る三辺を使う四面体の体積は、三辺を持つ直方体の $1/6$ です。したがって
$$ V_{OPQR} =\frac16\cdot\frac12\cdot\frac12\cdot\frac12 =\frac1{48}. $$
立方体の体積は $1^3=1$ なので
$$ V_{OPQR}:V_{\text{cube}}=1:48. $$
残った立体の体積は
$$ 1-\frac1{48}=\frac{47}{48} $$
です。

切断点を同じ割合に動かして検算する

もし切断点が三辺上で頂点 $O$ から同じ割合 $r$ の位置にあるなら、切り取られる四面体の直交三辺はすべて長さ $r$ です。直三角錐の体積公式から
$$ V=\frac16r^3 $$
となります。今回は $r=1/2$ だから
$$ \frac16\left(\frac12\right)^3=\frac1{48}, $$
先ほどの計算と一致します。
ここで $1/8$ と答えないよう注意します。$1/8$ は三辺が半分の直方体の体積です。四面体はその直方体の $1/6$ しかありません。

作図で崩れやすい場所

• 三点が同一直線上なら平面は一つに決まらない
• 同じ面にある二点だけを結ぶ
• 切断面の線を立方体の辺だと思い込まない
• 体積比と辺の比を同じにしない
• 見えない線は破線にし、どの面上かを確認する
  学校別の問題へ進むときも、最初に「平面を決める三点」「同じ面にある点の組」「切り取る側」を余白へ書くと安定します。
  鷗友学園女子中学校の2026年度第1回には立体図形が含まれ、学校公式の問題冊子は 入試結果・問題ページ で確認できます。中学受験hubの 鷗友学園2026年度無料版 は、第1回・第2回の35解答欄、独自作図、方針、別解・確かめを27ページに収録しています。本記事の例題は本試験問題の転載ではなく自作です。
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