23

美しすぎる二項係数付き級数一覧

1343
0

Notation

βx:=Γ(x+12)Γ(12)Γ(x+1),βn=(2nn)22n,βn+12=22nπ(n+12)(2nn)

βxr,k:=γr,k(x)βxr



γ2r,1(x)=π(2x+12),γ2r+1,1(x)=(1)xπ(2x+12)γ5,3(x)=(1)xπ3(4x+1)3+(4x+1)16γ3,1(x)=π2(x+14)


G=0n(1)n(2n+1)2,A=0nβn3=πΓ(34)4

nkβk+125,3:=0k(βk+125,32βk1,1)k=0n1βk+125,3

Series

 0nβn3(8Gπ2+k=0n1βk+122)=0nβn30n(1)nβn3(8Gπ2+k=0n1βk+122)=120n(1)nβn3
0nβn+123k=0nβk4,1=0nβn30n(1)nβn+123k=0nβk4,1=130n(1)nβn3


0nβn+123,1=8Gπ2

0n(βn+124,12π1n+1)=6ln2π28ζ(3)π3
0n(βn+124,1(k=0nβk3,1)22π1n+1)=6ln2π



0n(1)n(n+12)4βn3k=0nβk3,1+0<n(1)n1n4βn3k=0n1βk3,1=4π0<n1n2m=0n1(1)mm+12

0n1(n+12)3βn2(k=0nβk3,1)2+0<n1n3βn2(k=0n1βk3,1)2=28ζ(3)
0n(1)n(n+12)4βn3(k=0nβk3,1)2+0<n(1)n1n4βn3(k=0n1βk3,1)2=π44π0<n1n2m=0n1(1)mm+12
0n1(n+12)5βn4(k=0nβk3,1)2+0<n1n5βn4(k=0n1βk3,1)2=16π3G28π2ζ(3)



0n1(2n+32)(n+12)4βn4(k=0nβk3,1)(k=0nβk2)=π512A


0nβn+125,1k=0nβk5,1=A23
0nβn+125,1k=0nβk5,1m=0k1βm+123,1l=0mβl3,1=A230
0nβn+125,1(k=0nβk5,1)(k=0nβk4,1)=A22
0nβn+125,1(k=0nβk5,1)(k=0nβk3,1)=23A2
0nβn+125,1(k=0nβk3,1)(k=0nβk5,11π(2ln2+l=12k1l))=320A2


0nβn+125,1(k=0nβk3,1)3=0n(2βn3βn+123)
0nβn5,1(nkβk+123,1)2=0nβn+125,1(k=0nβk4,1)2=0n(βn3βn+123)


0nβn+124(k=0nβk4,1)(k=0nβk2)=120nβn4
1A0nβn6,1nkβk+125,1=20nβn40nβn6,1A0nβn6,1nkβk+125,3=20nβn4+0nβn6,1

0nβn+126,1k=0nβk6,1+20nβn+124k=0nβk4=(0nβn4)2
0nβn+126,1(k=0nβk6,1)(k=0nβk3,1)=(0nβn4)20nβn+124m=0nβm4=0nβn+126,1(k=0nβk6,1kmβm+123,1)(k=0nβk4,1)

0nβn4(8Gπ2+k=0n1βk+122)(28ζ(3)π3+k=0n1βk+124,1)=0nβn6,1(nkβk+123,1)3+120nβn4
0nβn+126,1(k=0nβk3,1)3=340nβn6,1
0nβn+124(k=0nβk2)3=140nβn6,1
0nβn6,1(8Gπ2+k=0n1βk+122)2=0nβn+126,1(k=0nβk2)4



0n(1)nβn5n+12+0<n(1)nβn5n=10ln2π2(A0nβn+125,3+1A0nβn+125,1)
0n(1)n(n+12)6βn5+0<n(1)n1n6βn5=π62(1(0nβn+125,3)(0nβn+125,1))


0nβn7,1(28ζ(3)π3+k=0n1βk+124,1)0nβn7,1nkβk+123,1=0nβn+127,1(k=0nβk4,1)2

40nβn8,1(28ζ(3)π3+k=0n1βk+124,1)20nβn8,1nkβk+123,1=0nβn8,1(Ankβk+125,3+1Ankβk+125,1)30nβn8,10nβn8,1(nkβk+123,1)2=0nβn8,1(Ankβk+125,31Ankβk+125,1)

A20nβn+128,1(k=0nβk5,3)21A20nβn+128,1(k=0nβk5,1)2=40nβn8,1nkβk+123,1

30nβn8,1(nkβk+123,1)220nβn+128,1(k=0nβk3,1)3=0nβn8,1
0nβn+128,1(k=0nβk3,1)2+0nβn8,1(nkβk+125,1)(nkβk+125,3)=0nβn8,10nβn8,1(nkβk+123,1)2+0nβn+128,1(k=0nβk5,3)(k=0nβk5,1)=0nβn8,1


0nβn9,1(nkβk+123,1)30nβn+129,1(k=0nβk3,1)3=140nβn+129,1(Ak=0nβk5,31Ak=0nβk5,1)2


0nβn+1210,1(k=0nβk4,1)3+0nβn10,1(Ankβk+125,3+1Ankβk+125,1)=30nβn10,1(28ζ(3)π3+k=0n1βk+124,1)

投稿日:2024711
更新日:2024717
OptHub AI Competition

この記事を高評価した人

高評価したユーザはいません

この記事に送られたバッジ

バッジはありません。
バッチを贈って投稿者を応援しよう

バッチを贈ると投稿者に現金やAmazonのギフトカードが還元されます。

投稿者

Croitshen
Croitshen
56
3594

コメント

他の人のコメント

コメントはありません。
読み込み中...
読み込み中