ネットで知ったとある問題に回答するだけ

192

あいさつ

んちゃ！
今回はネット上で知ったとある問題を解きます。
めちゃくちゃ短いです

問題

$n, {k_{i}}_{i \in N} \subset N$ が次の連立方程式を満たすとき組 $(n, {k_{1}, . . ., k_{n}})$ を全て求めよ。
$\begin{array}{r} {\begin{cases} \sum_{i = 1}^{n} k_{i} = 5 n - 4 \\ \sum_{i = 1}^{n} \frac{1}{k_{i}} = 1 \end{cases} \end{array}$

回答

与えられた式の積を考えると次の式を得る。

n + \sum_{1 \leq i < j \leq n} (\frac{k_{j}}{k_{i}} + \frac{k_{i}}{k_{j}}) = 5 n - 4

ここで、少し天下り的ではあるが、両辺から

n

を引いて、両辺に

2 {1 + 2 \dots + (n - 1)} = 2 \sum_{1 \leq i < j \leq n}

を足すと

\begin{array}{rcl} \sum_{1 \leq i < j \leq n} \frac{(k_{i} + k_{j})^{2}}{k_{i} k_{j}} & = & n^{2} + 3 n - 4 \\ = & (n + 4) (n - 1) \\ \geq & 4 \sum_{1 \leq i < j \leq n} \\ = & 2 n (n - 1) \end{array}

ゆえに整理すると次の不等式を得る。

(n - 1) (n - 4) \leq 0

仮定より、

n

は自然数なので

n = 1, 2, 3, 4

の場合だけ考えればよい事が分かる。

[1]

n = 1

の場合は

(1, {1})

[2]

n = 2

の場合は

(2, {3, 3})

[3]

n = 3

の場合は

(3, {2, 3, 6})

[4]

n = 4

の場合は

(4, {4, 4, 4, 4})

投稿日：2月14日

更新日：2月15日

この記事を高評価した人

高評価したユーザはいません

この記事に送られたバッジ

バッジはありません。

バッチを贈って投稿者を応援しよう

バッチを贈ると投稿者に現金やAmazonのギフトカードが還元されます。

投稿者

ずんだもん

5589

他の人のコメント

コメントはありません。

読み込み中

ずんだもん

ネットで知ったとある問題に回答するだけ

あいさつ
問題