ネットで知ったとある問題に回答するだけ

221

あいさつ

んちゃ！
今回はネット上で知ったとある問題を解きます。
めちゃくちゃ短いです

問題

$n,\{k_{i}\}_{i\in\mathbb{N}}\subset\mathbb{N}$が次の連立方程式を満たすとき組$(n,\{k_{1},...,k_{n}\})$を全て求めよ。
\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} \displaystyle\sum_{i=1}^{n}k_{i}=5n-4\\ \displaystyle\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{k_{i}}=1 \end{array} \right. \end{eqnarray}

回答

与えられた式の積を考えると次の式を得る。\begin{equation}n+\sum_{1\leq i\lt j\leq n}(\frac{k_{j}}{k_{i}}+\frac{k_{i}}{k_{j}})=5n-4\end{equation}ここで、少し天下り的ではあるが、両辺から$n$を引いて、両辺に$2\{1+2\cdots+(n-1)\}=2\sum_{1\leq i\lt j\leq n}$を足すと\begin{eqnarray}\sum_{1\leq i\lt j\leq n}\frac{(k_{i}+k_{j})^{2}}{k_{i}k_{j}}&=&n^{2}+3n-4\\&=&(n+4)(n-1)\\&\geq&4\sum_{1\leq i\lt j\leq n}\\&=&2n(n-1)\end{eqnarray}ゆえに整理すると次の不等式を得る。\begin{equation}(n-1)(n-4)\leq 0\end{equation}仮定より、$n$は自然数なので$n=1,2,3,4$の場合だけ考えればよい事が分かる。

[1]$n=1$の場合は$(1,\{1\})$

[2]$n=2$の場合は$(2,\{3,3\})$

[3]$n=3$の場合は$(3,\{2,3,6\})$

[4]$n=4$の場合は$(4,\{4,4,4,4\})$

投稿日：2月14日

更新日：2月15日