正多角形の極限を円と認めたら？
はじめに
ごきげんよう、フラワと申します。
円は曲線で、正多角形は折れ線です。有限の段階では決して同じ図形ではありませんが、辺の数を限りなく増やした正多角形を円そのものとして認めてみると、どのようなことが分かるのでしょうか。
今回は、円に内接する正多角形と外接する正多角形を考えます。辺の数を $2$ 倍ずつにすると、一方の周長は増え、もう一方の周長は減ります。しかも、その二つの変化を説明するのは、同じ三角不等式です。
この観察から出発し、三角関数の基本極限、周長の漸化式、円周率の近似へと話を進めていきましょう。
今回認めること
半径 $r>0$ の円に内接する正 $n$ 角形の周長を $\ell_n$、外接する正 $n$ 角形の周長を $L_n$ とする。
辺の数 $n$ を限りなく増やすと、両者の周長は円周に収束するものと認める。すなわち
$$
\lim_{n\to\infty}\ell_n
=\lim_{n\to\infty}L_n
=2\pi r
$$
を前提とする。ただし、$\pi$ は円周と直径の比である。
ここで認めたのは、図形が見た目として円に近づくことだけではなく、周長も円周へ収束するという関係です。この収束関係自体はひとまず証明せず、そこから何が導けるかを調べます。
最後には、この前提を用いずに証明できることがどこまであるのかも振り返ります。
三角不等式から円周を挟む
外接正 $n$ 角形――角を切り落とす
半径 $r$ の円に外接する正 $n$ 角形の周長を $L_n$ とする。
冒頭の前提のもとで、任意の整数 $n\geq3$ について
$$
L_n>2\pi r
$$
を示せ。
頂点を切り落とす操作
外接正 $n$ 角形の一つの頂点を $A$ とし、その両側の辺と円との接点を $T_1,T_2$ とします。短い方の弧 $T_1T_2$ の中点を $M$ とし、$M$ における接線と線分 $AT_1,AT_2$ との交点をそれぞれ $B,C$ とします。
外接正n角形の頂点を切り落とす図
すべての頂点でこの操作を行えば、もとの $n$ 個の接点に、各弧の中点が加わります。これらは円周を $2n$ 等分するので、新しくできる多角形は円に外接する正 $2n$ 角形です。
周長が短くなる理由
頂点 $A$ の周辺において、もとの周の一部をなす折れ線 $T_1AT_2$ の長さは
$$
T_1A+AT_2=T_1B+BA+AC+CT_2
$$
である。一方、新しい正 $2n$ 角形の対応する部分 $T_1BCT_2$ の長さは
$$
T_1B+BC+CT_2
$$
である。
三角形 $ABC$ に三角不等式を用いると $BA+AC>BC$ であるから、頂点 $A$ を切り落とすと、この部分の周長は必ず短くなる。これをすべての頂点について足し合わせれば
$$
L_n>L_{2n}
$$
を得る。
同じ操作を繰り返すと
$$
L_n>L_{2n}>L_{4n}>\cdots>L_{2^kn}>\cdots
$$
である。
冒頭の前提より
$$
\lim_{k\to\infty}L_{2^kn}=2\pi r
$$
となるので、
$$
L_n>L_{2n}\geq\lim_{k\to\infty}L_{2^kn}=2\pi r
$$
が成り立つ。したがって $L_n>2\pi r$ が示された。
外接正多角形では、頂点を切り落として辺の数を $2$ 倍にすると、周長が短くなります。その操作を何度も繰り返すことで、周長は減少しながら円周へ近づいていきます。
内接正 $n$ 角形――頂点を付け加える
半径 $r$ の円に内接する正 $n$ 角形の周長を $\ell_n$ とする。
冒頭の前提のもとで、任意の整数 $n\geq3$ について
$$
\ell_n<2\pi r
$$
を示せ。
辺の間に新しい頂点を加える
内接正 $n$ 角形の隣り合う二頂点を $P,Q$ とし、短い方の弧 $PQ$ の中点を $M$ とします。
すべての辺について弧の中点を新しい頂点として加えると、円周を $2n$ 等分する点が得られます。したがって、新しくできる多角形は円に内接する正 $2n$ 角形です。
このとき、もとの一辺 $PQ$ は、二辺からなる折れ線 $PMQ$ に置き換わります。
周長が長くなる理由
三角形 $PMQ$ に三角不等式を用いると
$$
PQ< PM+MQ
$$
である。すべての辺について足し合わせれば
$$
\ell_n<\ell_{2n}
$$
を得る。
したがって
$$
\ell_n<\ell_{2n}<\ell_{4n}<\cdots<\ell_{2^kn}<\cdots
$$
である。冒頭の前提より
$$
\lim_{k\to\infty}\ell_{2^kn}=2\pi r
$$
となるので、
$$
\ell_n<\ell_{2n}\leq\lim_{k\to\infty}\ell_{2^kn}=2\pi r
$$
が成り立つ。よって $\ell_n<2\pi r$ が示された。
内接側は外接側と反対です。一辺を二辺に置き換えることで、周長は増加しながら円周へ近づいていきます。
二つの操作に共通する原理
以上の結果をまとめると、次の定理が得られます。
半径 $r$ の円に内接・外接する正 $n$ 角形の周長を、それぞれ $\ell_n,L_n$ とする。
冒頭の前提のもとで、任意の整数 $n\geq3$ について
$$
\ell_n<2\pi r< L_n
$$
が成り立つ。さらに、辺の数を $2$ 倍にすれば
$$
\ell_n<\ell_{2n}<2\pi r< L_{2n}< L_n
$$
となる。
内接側では、一つの線分を二辺からなる折れ線に置き換えました。外接側では、二辺からなる折れ線を一つの線分に置き換えました。
向きは反対ですが、どちらの根拠も
$$
\text{三角形の二辺の和}>\text{残りの一辺}
$$
という同じ三角不等式です。
内側の周長は増え、外側の周長は減り、その間に円周がある。これが今回の話の中心となる構造です。
正多角形から三角関数の極限へ
周長を三角関数で表す
以下、角度は弧度法で表します。半径 $r$ の円において、弧の長さ $s$ に対する中心角を $\theta$ とすれば、弧度法の定義は $\theta=s/r$ です。円一周の弧の長さは $2\pi r$ なので、一周に対応する角は $2\pi$ となります。
内接正多角形の場合
円の中心を $O$、内接正 $n$ 角形の隣り合う二頂点を $P,Q$ とすると、$\angle POQ=2\pi/n$ です。
二等辺三角形 $OPQ$ を二つの直角三角形に分ければ、一辺の長さは $2r\sin(\pi/n)$ となるので
$$
\ell_n=2nr\sin\frac{\pi}{n}
$$
を得ます。
外接正多角形の場合
外接正 $n$ 角形の一辺を $AB$、その接点を $T$、円の中心を $O$ とします。$OT\perp AB$ であり、対称性から $T$ は辺 $AB$ の中点です。
また、$\angle AOT=\pi/n$ なので、直角三角形 $OAT$ より $AT=r\tan(\pi/n)$ です。したがって
$$
L_n=2nr\tan\frac{\pi}{n}
$$
となります。
正多角形から得られる数列の極限
先ほどの circle-bound にこれらの式を代入すると
$$
2nr\sin\frac{\pi}{n}
<2\pi r
<2nr\tan\frac{\pi}{n}
$$
であるから
$$
\frac{\sin(\pi/n)}{\pi/n}
<1<
\frac{\tan(\pi/n)}{\pi/n}
$$
となります。
さらに、冒頭の前提より
$$
\begin{aligned}
\frac{\sin(\pi/n)}{\pi/n}
&=\frac{\ell_n}{2\pi r}\longrightarrow1,\\
\frac{\tan(\pi/n)}{\pi/n}
&=\frac{L_n}{2\pi r}\longrightarrow1
\end{aligned}
$$
が成り立ちます。
ここまでで分かったのは、$x=\pi/n$ という特別な形の数を通って $0$ に近づく場合の極限です。
数列の極限から関数の極限へ
冒頭の前提のもとで
$$
\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1
$$
を示せ。
なぜ $x=\pi/n$ だけでは不十分なのか
先ほど分かったのは
$$
\lim_{n\to\infty}
\frac{\sin(\pi/n)}{\pi/n}=1
$$
という数列の極限です。
しかし、求めたいのは、$x$ がどのような実数値を取りながら $0$ に近づいても成り立つ関数の極限です。$x=\pi/n$ とおくだけでは、その間にある実数を調べたことにはなりません。
そこで、任意の $x$ を隣り合う $\pi/n$ の間に挟むことを考えます。
任意の実数 $x$ を挟む
まず、右側極限を考える。
$$
a_n=\frac{\sin(\pi/n)}{\pi/n},
\qquad
b_n=\frac{\tan(\pi/n)}{\pi/n}
$$
とおくと、前述の結果より $a_n\to1,\ b_n\to1$ である。
$0< x<\pi/3$ を任意に取る。このとき
$$
\frac{\pi}{n+1}< x\leq\frac{\pi}{n}
$$
を満たす整数 $n\geq3$ がただ一つ存在し、$x\to+0$ のとき $n\to\infty$ となる。
ここで、$0< u< v<\pi/2$ のとき
$$
\begin{aligned}
\sin v-\sin u
&=2\cos\frac{u+v}{2}\sin\frac{v-u}{2}>0,\\
\tan v-\tan u
&=\frac{\sin(v-u)}{\cos u\cos v}>0
\end{aligned}
$$
であるから、この範囲では $\sin x,\tan x$ はともに単調増加する。
したがって
$$
\sin\frac{\pi}{n+1}<\sin x,
\qquad
\tan x\leq\tan\frac{\pi}{n}
$$
が成り立つ。
さらに、$0< x<\pi/2$ では $\sin x<\tan x$ であることを用いると
$$
\begin{aligned}
\frac{\sin x}{x}
&>\frac{\sin(\pi/(n+1))}{\pi/n}
=\frac{n}{n+1}a_{n+1},\\
\frac{\sin x}{x}
&<\frac{\tan(\pi/n)}{\pi/(n+1)}
=\frac{n+1}{n}b_n
\end{aligned}
$$
を得る。よって
$$
\frac{n}{n+1}a_{n+1}
<
\frac{\sin x}{x}
<
\frac{n+1}{n}b_n
$$
である。
$x\to+0$ のとき $n\to\infty$ であり
$$
\frac{n}{n+1}a_{n+1}\longrightarrow1,
\qquad
\frac{n+1}{n}b_n\longrightarrow1
$$
となるので、はさみうちの原理より
$$
\lim_{x\to+0}\frac{\sin x}{x}=1
$$
が従う。
次に $x\to-0$ とする。$t=-x$ とおけば $t\to+0$ であり、
$$
\frac{\sin x}{x}
=\frac{\sin(-t)}{-t}
=\frac{\sin t}{t}
$$
だから
$$
\lim_{x\to-0}\frac{\sin x}{x}=1
$$
となる。左右の極限が一致するので
$$
\boxed{\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1}
$$
が示された。
ここで使った「挟みうち」
正多角形から直接得られたのは、離散的な値 $x=\pi/n$ における極限でした。
その隙間にある任意の実数 $x$ を、隣り合う $\pi/n$ の間に挟むことによって、関数の極限へと進めたわけです。
最初は円周を内側と外側の周長で挟み、ここでは関数の値を二つの数列で挟みました。対象は異なりますが、どちらも挟みうちの考え方です。
辺の数を倍にする操作の代数的な姿
半角の公式から周長の漸化式へ
今度は、$\ell_n,L_n$ が既に分かっているときに、辺の数を $2$ 倍にした $\ell_{2n},L_{2n}$ を直接求めることを考えます。
$t=\pi/n$ とおくと
$$
\ell_n=2nr\sin t,\qquad L_n=2nr\tan t
$$
なので、$\ell_n/L_n=\cos t$ です。
外接側の計算
半角の公式より
$$
\begin{aligned}
L_{2n}
&=4nr\tan\frac{t}{2}\\
&=\frac{4nr\sin t}{1+\cos t}\\
&=\frac{2\ell_n}{1+\ell_n/L_n}\\
&=\frac{2\ell_nL_n}{\ell_n+L_n}
\end{aligned}
$$
となります。
内接側の計算
同じく半角の公式から
$$
\ell_{2n}^2
=\left(4nr\sin\frac{t}{2}\right)^2
=8n^2r^2(1-\cos t)
$$
です。一方、
$$
\ell_nL_{2n}
=(2nr\sin t)\frac{4nr\sin t}{1+\cos t}
=8n^2r^2(1-\cos t)
$$
なので、$\ell_{2n}^2=\ell_nL_{2n}$ を得ます。
したがって、次の漸化式が成立します。
任意の整数 $n\geq3$ について
$$
\begin{aligned}
L_{2n}&=\frac{2\ell_nL_n}{\ell_n+L_n},\\
\ell_{2n}&=\sqrt{\ell_nL_{2n}}
\end{aligned}
$$
が成り立つ。
一度 $\ell_n,L_n$ が分かれば、新しい三角関数の値を計算しなくても、辺の数を倍にした周長が求められます。
調和平均と幾何平均が現れる
正の実数 $a,b$ の調和平均と幾何平均は、それぞれ
$$
H(a,b)=\frac{2ab}{a+b},
\qquad
G(a,b)=\sqrt{ab}
$$
です。すると、polygon-rec は
$$
L_{2n}=H(\ell_n,L_n),
\qquad
\ell_{2n}=G(\ell_n,L_{2n})
$$
と表せます。
外接側では二つの周長の調和平均が現れ、内接側では新しい外接周長との幾何平均が現れたわけです。
しかも、$0< a< b$ に対し
$$
a<\frac{2ab}{a+b}< b,
\qquad
a<\sqrt{ab}< b
$$
が成り立ちます。
$\ell_n< L_n$ であるから、まず調和平均の性質より
$$
\ell_n< L_{2n}< L_n
$$
となり、続いて幾何平均の性質より
$$
\ell_n<\ell_{2n}< L_{2n}
$$
となります。これらを合わせると
$$
\ell_n<\ell_{2n}< L_{2n}< L_n
$$
を得ます。
これは、前半で三角不等式を用いて示した大小関係と同じです。
幾何学的には「辺を付け加える・角を切り落とす」という操作によって説明された関係が、代数学的には「調和平均・幾何平均」の性質として現れたのです。
二つの周長の差はどのくらい縮まるか
内接・外接正 $n$ 角形の周長の差を
$$
D_n=L_n-\ell_n
$$
とおきます。
任意の整数 $n\geq3$ と正の整数 $k$ について
$$
0< D_{2^kn}<\frac{D_n}{2^k}
$$
が成り立つ。
$\ell_{2n}>\ell_n$ であるから
$$
\begin{aligned}
0< D_{2n}
&=L_{2n}-\ell_{2n}\\
&< L_{2n}-\ell_n\\
&=\frac{2\ell_nL_n}{\ell_n+L_n}-\ell_n\\
&=\frac{\ell_n}{\ell_n+L_n}(L_n-\ell_n)
\end{aligned}
$$
である。
ここで $\ell_n< L_n$ より
$$
\frac{\ell_n}{\ell_n+L_n}<\frac12
$$
なので、$D_{2n}< D_n/2$ を得る。
これを繰り返せば
$$
0< D_{2^kn}<\frac{D_n}{2^k}
$$
となる。
したがって、辺の数を倍にするたびに、内接・外接の周長の差は半分未満に縮まります。どれくらいの速さで二つの周長が接近するのかを、具体的な不等式で評価できたわけです。
数値で見る円周率の挟みうち
正六角形から出発する
半径 $1$ の円では
$$
\frac{\ell_n}{2}<\pi<\frac{L_n}{2}
$$
が成り立ちます。
正六角形を考えると
$$
\ell_6=6,\qquad L_6=4\sqrt3
$$
です。したがって
$$
3<\pi<2\sqrt3
$$
を得ます。
ここから polygon-rec を繰り返し使えば、辺の数が $12,24,48,\ldots$ の正多角形についても、内接・外接の周長を求められます。
計算結果
| $n$ | $\ell_n/2$ | $L_n/2$ |
|---|---|---|
| $6$ | $3.0000$ | $3.4641$ |
| $12$ | $3.1058$ | $3.2154$ |
| $24$ | $3.1326$ | $3.1597$ |
| $48$ | $3.1394$ | $3.1461$ |
| $96$ | $3.1410$ | $3.1427$ |
※小数第 $5$ 位を四捨五入した近似値です。
辺の数を増やすにつれて、円周率が二つの値の間に挟まれていく様子が分かります。しかも、最初の値が分かれば、以後は調和平均と幾何平均を繰り返すだけで計算できます。
もう一度、冒頭の前提を考える
円周への収束を仮定せずに示せること
冒頭では
$$
\lim_{n\to\infty}\ell_n
=\lim_{n\to\infty}L_n
=2\pi r
$$
を前提としていました。しかし、ここまでに得られた漸化式を使うと、この前提なしでも証明できることがあります。
まず、$0<\pi/n<\pi/2$ なので、周長の公式から
$$
\ell_n=2nr\sin\frac{\pi}{n}
<2nr\tan\frac{\pi}{n}=L_n
$$
が分かります。この大小関係には、円周への収束という前提を用いていません。
さらに、調和平均と幾何平均の性質だけから
$$
\ell_n<\ell_{2n}< L_{2n}< L_n
$$
が導けます。
ここで整数 $n\geq3$ を一つ固定し、数列
$$
a_k=\ell_{2^kn},\qquad b_k=L_{2^kn}
$$
を考えます。
二つの数列はそれぞれ収束する
$\{a_k\}$ は単調増加かつ上に有界、$\{b_k\}$ は単調減少かつ下に有界なので、どちらも有限の極限をもちます。
その極限を $\alpha,\beta$ とすると、polygon-gap より
$$
0< b_k-a_k<\frac{L_n-\ell_n}{2^k}
$$
であるから、$k\to\infty$ として
$$
\beta-\alpha=0
$$
を得ます。したがって $\alpha=\beta$ です。
つまり
$$
\lim_{k\to\infty}\ell_{2^kn}
=\lim_{k\to\infty}L_{2^kn}
$$
が成り立ちます。
どこまでが証明されたのか
ここで示せたのは、固定した $n$ から辺の数を $2$ 倍ずつ増やしていくと、内接・外接の周長が同じ値に収束するという事実です。
一方、その共通極限が出発点の $n$ によらず同一であることや、それが円周 $2\pi r$ に等しいことまでは、この議論だけでは示していません。
つまり、冒頭の前提を完全に証明したわけではありません。
それでも、正多角形の周長が一つの値へ接近していく仕組みそのものは、有限の図形に対する三角不等式と漸化式から説明できました。
最初は正多角形の極限を円と認めるところから始めましたが、最後には、その極限がどのように形成されるのかを別の角度から考えることができたわけです。
おわりに
今回は、正多角形の極限を円と認めることから出発し、円周の挟みうち、三角関数の基本極限、周長の漸化式、そして円周率の近似へと進みました。
内接正多角形では、一辺を二辺に置き換えることで周長が増加する。外接正多角形では、二辺を一辺に置き換えることで周長が減少する。そのどちらにも、同じ三角不等式が働いていました。
さらに、辺の数を倍にするときの周長を調べると、調和平均と幾何平均が現れました。前半で示した幾何学的な大小関係が、最後には平均の性質から再び導かれたことも印象的です。
有限の折れ線である正多角形が、辺の数を増やすことで一つの曲線に近づいていく。その過程には、幾何学・不等式・数列・三角関数といった、一見異なる分野の数学が結び付いています。
普段何気なく利用している公式や定理も、見方を変えれば、こうした数学的なつながりを見いだせるのかもしれません。
最後までお読みいただき、ありがとうございました。
みなさまの日常に良き数学の彩りのあらんことを。
それでは、ごきげんよう。
