正多角形の極限を円と認めたら？
多角形の極限を円と認めてみる
初めに
ごきげんよう皆様フラワと申します。
今回考えていくのは題名にある通りですね。
では早速問題形式で解説していきましょう。
外接正$n$角形の周長と円周
円を正$n$角形の$n \to \infty$における極限と認める。このとき、
円周が$2\pi r$の円に外接する正$n$角形の周の長さ$L_n$について、
$3$以上の任意の整数$n$で$L_n>2\pi r$であることを示せ。
正$n$角形の各頂点を切り落として正$2n$角形を作る操作を行う。
円に外接する正 $n $ 角形の隣り合う $2 $ つの接点を $ T_1, T_2$ とし、その交点（$ T_1, T_2$の間の頂点）を$ A $とする。
ここで、弧 $ \stackrel{\huge\frown}{T_1 T_2 } $の中点$M$における円の接線を引き、
元の正 $n $ 角形の辺$AT_1, AT_2 $ との交点をそれぞれ $B, C $とする。
このとき、線分 $ BC $は新たに作られる正 $ 2n$ 角形の $1 $ 辺となる。
元の正 $n$ 角形の周の一部を構成していた折れ線は$ T_1A+AT_2 $で、
$T_1B+BA+AC+CT_2$である。
新しくできた正$2n$角形の周の一部の長さは、 $ T_1B+BC+CT_2$である。
$ T_1 B + (AB + AC) + CT_2>T_1B+BC+CT_2$ ($∵$三角不等式 $( AB + AC > BC)$)
故に角を切り落とす操作によって周の長さは必ず短くなる。
したがって、すべての$n \geq 3 $ において
$L_n>L_{2n}$
画像の名前
したがって、これを繰り返し適応すると、
$\displaystyle L_n>L_{2n}>L_{4n}> \cdots> \lim_{k \to \infty} L_{n \cdot 2^{k}} $
問題の定義から、正多角形を円に近づける極限における周の長さは円周$2\pi r$に一致する。
即ち$\displaystyle\lim_{k \to \infty} L_{n \cdot 2^{k}}=2\pi r $
(いかなる$n$をとってもそれより周が短い$2n$角形を作れる。)
$∴L_n>2\pi r$
題意は示された。
いかがでしたか？三角不等式って案外使いどころあったりで面白いですよね。
勿論何の制限もしてないので頑張って微分してくれてもいいんですが実は最後の話につなげていくためにこれをしてます。
内接正$n$角形の周長と円周
円周$2\pi r$の円に内接する正$n$角形の周の長さを$l_n$について、
$3$以上の任意の整数$n$で$l_n<2\pi r$であることを示せ。
問題の内接正$n$角形の頂点をそれぞれ$P_1,P_2, \cdots,P_n $とする。
正$n$角形の一辺は$P_{i}P_{i+1}$で、どの一辺の長さも等しい即ち$i$によらず、$a_n$とおく。
(ただし、$P_{n+1}=P_1$とする。)
また、その$a_n$は円の弦のである。
さらに、弧$\stackrel{\huge\frown}{P_{i}P_{i+1}}$も$i$によらず、これを$b_n$とおく。
ここで、$P_{i},P_{i+1}$を結ぶ最短経路は直線であるから、$a_n< b_n$が成り立つ。
この正$n$角形は$a_n$を、円は$b_n$を$n$個足し合わせたものになるので、
$\displaystyle l_n= na_n $
$\displaystyle 2\pi r= nb_n $
$∴ 2\pi r>l_n$
題意は示された。
これに関しては今回のテーマ正多角形の極限を円と認める云々は関係なく成り立ちますね。
かなり自明に近い証明でした。
内接、外接正$n$角形の周長と円周のまとめ
円を正$n$角形の$n \to \infty$における極限と認めると、以下が示された。
(円周率$\pi$の定義は円周$÷ $直径)
半径$r$の円に、外接する正$n$角形の周の長さ$L_n$、内接する正$n$角形の周の長さを$l_n$とすると、
$l_n<2\pi r< L_n$
が成り立つ。
(ただし、$l_n<2\pi r$は上記を認める云々関係なく示された。)
ここから少し面白い証明をしてみたいと思います。
円周$2\pi r$は$\pi$の定義から明らかなのでいいでしょう。
弧度法は、弧の長さ$s$と半径$r$の比$\displaystyle \theta= \frac{s}{r} $という定義です。
上の話を利用してみる
上記を認めたうえで
$\displaystyle \lim_{x \to \ 0} \frac{\sin x}{x}=1$
を示せ。
これを示したいのですがその前にいったん補題を示します。
$f(x)=f(-x)$を満たす関数について、
右側極限$\displaystyle \lim_{x\to \ +0} f(x)= \alpha $が存在するならば、
左側極限$\displaystyle \lim_{x\to \ -0} f(x)$も存在し、$\alpha$に等しい。
$t=-x$とおく、
$x\to -0$のとき、$t\to +0$となる。
$\displaystyle \lim_{x\to \ -0} f(x)= \lim_{t\to \ +0} f(-t)$
条件$f(x)=f(-x)$より、
$\displaystyle \lim_{t\to \ +0} f(-t)= \lim_{t\to \ +0} f(t)$となり、この値は、$\alpha$である。
$∴\displaystyle \lim_{t\to \ -0}f(x)=\alpha$
題意は示された。
では早速元の証明行きましょう。
$\displaystyle l_n=2nr \sin \frac{\pi}{n} $ , $\displaystyle L_n=2nr \tan \frac{\pi}{n} $ で表せる。(これの証明は省略)
$l_n<2\pi r< L_n$から、$\displaystyle2nr \sin \frac{\pi}{n}<2\pi r <2nr \tan \frac{\pi}{n}$$\Longleftrightarrow\displaystyle n \sin \frac{\pi}{n}<\pi < n \tan \frac{\pi}{n}$
$ \displaystyle\frac{\pi}{n} =x$とおく。$n= \displaystyle\frac{\pi}{x}$より、
$\displaystyle \frac{\pi}{x} \sin x <\pi<\frac{\pi}{x} \tan x$
$\Longleftrightarrow \displaystyle \frac{\sin x }{x} <1<\frac{ \tan x}{x}$
逆数を取り、
$\displaystyle \frac{x\cos x}{\sin x}<1< \frac{x}{\sin x}$
$n\to \infty $ のとき、$ x\to+0$より、$\displaystyle \frac{x}{\sin x}>0$で両辺を割ると、
$\displaystyle\cos x<\frac{x}{\sin x}< \\1$
$x\to +0$ のとき、$\cos x\to\ 1$ではさみうちの原理より、
$\displaystyle \lim_{x \to \ +0} \frac{x}{\sin x}=1$
$∴\displaystyle \lim_{x \to \ +0} \frac{\sin x}{x}=1$
ここで、$f(x)=\displaystyle \frac{\sin x}{x}$とおくと、
$f(x)=f(-x)$より、右側極限が$1$なら左側極限も$1$である。($∵$補題)
$∴\displaystyle \lim_{x \to \ 0} \frac{\sin x}{x}=1$
おわりに
いかがでしたでしょうか、正多角形の極限を円と認めたらこのようなことを示せるんですね。
面白いです。(感想が小学生未満)
正多角形の辺が極限において円という曲線へ収束するように、私たちの生きる世の中は
一見すると複雑で捉えどころのないこの世界も、見方を変えてその論理を紐解いていけば、
存外シンプルな本質で形作られているのかもしれませんね。
普段何気なく解いてる裏に、こうした物語を見出すことで、
皆さんの日常が数学という名の鮮やかな彩りで満たされることを願っています。
さて、改めまして、
最後までお読みいただきありがとうございました。皆さんの日常に良き数学の彩のあらんことを。それでは、ごきげんよう。
