懸賞問題解説　その３（整数問題編）

はじめに

第59回懸賞問題の解説を放置したままだったので残り何題かを放流します。今回第3弾は弊数学研究部の顧問の先生の整数問題の解説です．
その１（自作）、その２（幾何）も併せてごらんください。

問９

問題

a,b,cを正の整数とします．このとき以下の条件を満たす正の整数の組は存在するかを証明してください．
条件：aとbの最小公倍数をx, bとcの最小公倍数をy, cとaの最小公倍数をzとすると,x,y,zは相異なる正整数でこの順番に等差数列となる．

コメント

a,b,cをその最大公約数gで割ることで最大公約数を1であるとしてよいです．
あとは3変数を分解するときによく使う形でごちゃごちゃするだけです。

解説

a＝Aαβ,b＝Bβγ,c＝CγαとA,B,Cは互いに素かつα,β,γは互いに素であるようにおく。
仮定はx+z=2yであるので,代入してαβγで割ると,A(B＋C)＝2BC
よってＡ=1,2
A＝1のとき・・・B=C=1よりx=y=zだがこれは条件に合わない．
A＝２のとき(B-1)(C-1)=1よりB＝２,C＝２だがこれは互いに素であることに反する．
よって存在しないことが示された．
めでたしめでたし。
ちなみに,こんな感じにABCαβγgを置く問題としてはJJMO2020本選3番などがあります！

問11

問題

偶数桁の自然数に対して,下半分の桁を並べた数から上半分の桁を並べた数を引いた数が3になる数を「仏教数」と定義します．例えば2023は23－20＝３なので仏教数です．仏教数の中で5の累乗になるものを全て求めてください．

コメント

25などが解のようです。（実際これだけですが．）
どうやって不等式評価をすればよいでしょうか。

解説

とりあえず見やすい形にすると
$$m(10^n+1)=5^s-3　m10^n+(m+3)＝5^s☆　10^{n-1}≦m＜10^n-3$$
を解けばよさそうです．
大小関係から
$$5^s＞m10^n＞10^{2n-1}＞5^{2n-1}$$よりs>2n-1
CASE1　　n=1のとき11m=5^s-3にm=1~6を代入して25が条件を満たす．
CASE2　　n≧2のときs>2n-1＞nより☆とにらめっこしてm+3は5でs回割り切れる．よって$m+3≧5^s＞m10^n$だがこれはmの範囲に矛盾しており不適。
よって答えは25のみである．

問20

問題

$$ \frac{(2^b-1)(2^c+3^d)^3}{(2^a+1)}=2023$$
の正整数解を全て求めよ．

解説

整理して$2023(2^a+1)=(2^b-1)(2^c+3^d)^3$まず、任意の整数ｎについて$2^n+1$は7の倍数にならないので$2^b-1$は7の倍数．つまりｂは3の倍数であり、b=3kとおく．もし$2^b-1$が17の倍数であればbは8の倍数だが,このときこれは5の倍数となりaは偶数．このとき左辺は3の倍数ではなく右辺は3の倍数なので不適．よって$2^b-1$は17の倍数ではなく、このとき
$$2023(2^a+1)=(8^k-1)(2^c+3^d)^3$$
このとき$2^c+3^d$は17の倍数であり,左辺は$17^3$の倍数．$2^a+1$は17の倍数であり,aは2で2回割れることが必要．よって奇数sを用いてa=4sと表される．aは偶数なのでkは奇数。よってこれから
$$7・17^2(16^s+1)＝(8^k-1)(2^c+3^d)^3$$
ここで$8^k-1$が7以外の素因数pを持ったと仮定する．ここで上の議論よりp≠17このときmodpでの2の位数をdとするとdは3kの約数なので奇数,$16^s+1$がpの倍数なのでdは8sの約数．ここからdはSの約数でありS＝xdとして$16^s+1＝(2^d-1+1)^{4x}+1$なのでこれはpの倍数ではなく不適．
よってある自然数ωを用いて$$8^k－1＝7^ω$$である．
これはLTEの補題で不等式評価してもよいしジグモンディーの定理などからk=1このとき与式は
$$17^2(16^s+1)＝(2^c+3^d)^3$$
ここでs＝1のときは調べるとc＝3,d＝2以下s≧2を考える．このとき（左辺）≡１mod32だが一般に整数ｍに対して
$$m^3-1=(m-1)(m^2+m+1)$$$m^2+m+1$は奇数であることに注意して$2^c+3^d≡1(mod32)$$17^2(16^s+1)≡2(mod3)$であるからcは奇数なので
・ｃ＝１のとき$2+3^d≡１(mod8)$だがこれは矛盾．
・ｃ＝３のときmod17をみてd≡2(mod16)だがこのときmod32で17となり矛盾．
・ｃ≧５のとき$3^d≡1(mod32)$でｄは8の倍数．このとき$3^d≡±1(mod１７)$一方ｃは奇数なので$2^c$は17で割って1にも16にもならないので不適．
よって解は(4,3,3,2)となる．
手順がとにかく多くていろんな手法が融合しておりかなり難易度が高いです。平方剰余の第一補充則などから解いてくれた方もいました！整数問題ｂｏｔさんの難易度では標準のようです．（期間中には正解者はいませんでした。）

最後に

残りの問題も今後uploadします．誤植等があればぜひ教えていただけると幸いです．では。