等しい和への分割問題

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次の問題を解いてみてください:

自然数 $m \geq 2$ を固定する。自然数 $n$ であって、ある実数 $\alpha \in (0, 1)$ と分割 $\{1, \ldots, n\} = A_1 \sqcup \cdots \sqcup A_m$ が存在して
$$ \sum_{k \in A_i} \alpha^k = 1 \quad (1 \leq i \leq m) $$
を満たすものを全て求めよ。