さっきの問題

三角形$PQR$の面積を$(\mathrm{△}PQR)$のように表すものとする。
$(1)$
三角形$ABC$の外心を$O$ $\mathrm{\angle }AOB,\mathrm{\angle }BOC,\mathrm{\angle }COA$をそれぞれ$c,a,b$とおけば$a+b+c=2\pi \cdots \mathrm{①}$を満たす。
また$a,b,c$のうちどれか$1$つでも$\pi$を超えると明らかに面積が小さくなるので$0\leqq a,b,c\leqq \pi$とする。
$$\begin{array}{rl}{\displaystyle (\mathrm{△}ABC)}& =(\mathrm{△}AOB)+(\mathrm{△}BOC)+(\mathrm{△}COA)\\ & =\frac{1}{2}(\sin c+\sin a+\sin b)\end{array}$$
$0\leqq x\leqq \pi$において$f(x)=\sin x$は$f^{\prime \prime }(x)=-\sin x\leqq 0$より上に凸なので凸不等式より$\mathrm{①}$において
$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \frac{1}{3}(\sin a+\sin b+\sin c)}& =f(a)+f(b)+f(c)\\ & \leqq f(\frac{a+b+c}{3})\\ & =\frac{\sqrt{3}}{2}\end{array}$$
${\displaystyle \therefore f(a+b+c)\leqq \frac{3\sqrt{3}}{2}}$
（等号成立は${\displaystyle a=b=c=\frac{2}{3}\pi }$の時）
$(\mathrm{△}ABC)$最大値を取る時${\displaystyle \sin a+\sin b+\sin c=\frac{1}{2}f(a+b+c)}$も最大値を取るので求めるべきは${\displaystyle \frac{3\sqrt{3}}{4}}$

$(2)$
四面体$ABCD$の$D$から$\mathrm{△}ABC$におろした垂線の足を$H$とする。
この時四面体の体積$V$は${\displaystyle (\mathrm{△}ABC)\cdot |\overrightarrow{DH}|\cdot \frac{1}{3}}$
で表されるので$\mathrm{△}ABC$を含む平面を固定した時$V$が最大になるのは$|\overrightarrow{DH}|$が最大になる時でこれは明らかに$\overrightarrow{DH}$が球の中心を通る時である
$|\overrightarrow{DH}|=1+t(0\leqq t\leqq 1)$とおいた時$\mathrm{△}ABC$を含む平面での球の断面は円でありその半径は${\displaystyle \sqrt{1-t^2}}$であり、$\mathrm{△}ABC$はその円に接するので$(1)$より$(\mathrm{△}ABC)$の最大値は${\displaystyle \frac{3\sqrt{3}}{4}(\sqrt{1-t}{)}^2=\frac{3\sqrt{3}}{4}(1-t^2)}$である。
故に$|\overrightarrow{DH}|=1+t$とおいた時の体積の最大値$v(t)$は
$$\begin{array}{rl}{\displaystyle v(t)}& =\frac{3\sqrt{3}}{4}(1-t^2)\cdot (1+t)\cdot \frac{1}{3}\\ & =\frac{\sqrt{3}}{4}(1+t)(1-t^2)\end{array}$$
である。(微分と増減表は略)よって$v(t)$の$0\leqq t\leqq 1$における最大値は${\displaystyle t=\frac{1}{3}}$の時で${\displaystyle V=v(\frac{1}{3})=\frac{8\sqrt{3}}{27}}$