さっきの問題

三角形$PQR$の面積を$(\triangle PQR)$のように表すものとする。
$(1)$
三角形$ABC$の外心を$O$ $\angle AOB,\angle BOC,\angle COA$をそれぞれ$c,a,b$とおけば$a+b+c=2\pi \cdots ①$を満たす。
また$a,b,c$のうちどれか$1$つでも$\pi$を超えると明らかに面積が小さくなるので$0\leqq a,b,c \leqq \pi$とする。
\begin{align} \displaystyle (\triangle ABC) &= (\triangle AOB)+(\triangle BOC)+(\triangle COA) \\ &= \frac{1}{2}(\sin c+\sin a+\sin b) \\ \end{align}
$0\leqq x \leqq \pi$において$f(x)=\sin x$は$f^{\prime\prime}(x)=-\sin x\leqq 0$より上に凸なので凸不等式より$①$において
\begin{align} \displaystyle \frac{1}{3}(\sin a+\sin b+\sin c) &= f(a)+f(b)+f(c) \\ & \leqq f(\frac{a+b+c}{3}) \\ &= \frac{\sqrt{3}}{2} \end{align}
$\displaystyle \therefore f(a+b+c)\leqq \frac{3\sqrt{3}}{2}$
（等号成立は$\displaystyle a=b=c=\frac{2}{3}\pi$の時）
$(\triangle ABC)$最大値を取る時$\displaystyle\sin a+\sin b+\sin c =\frac{1}{2}f(a+b+c)$も最大値を取るので求めるべきは$\displaystyle\frac{3\sqrt{3}}{4}$

$(2)$
四面体$ABCD$の$D$から$\triangle ABC$におろした垂線の足を$H$とする。
この時四面体の体積$V$は$\displaystyle(\triangle ABC)\cdot|\overrightarrow{DH}|\cdot\frac{1}{3}$
で表されるので$\triangle ABC$を含む平面を固定した時$V$が最大になるのは$|\overrightarrow{DH}|$が最大になる時でこれは明らかに$\overrightarrow{DH}$が球の中心を通る時である
$|\overrightarrow{DH}|=1+t\quad(0\leqq t \leqq 1)$とおいた時$\triangle ABC$を含む平面での球の断面は円でありその半径は$\displaystyle\sqrt{1-t^2}$であり、$\triangle ABC$はその円に接するので$(1)$より$(\triangle ABC)$の最大値は$\displaystyle {\frac{3\sqrt{3}}{4}(\sqrt{1-t})^2}=\frac{3\sqrt{3}}{4}(1-t^2)$である。
故に$|\overrightarrow{DH}|=1+t$とおいた時の体積の最大値$v(t)$は
\begin{align} \displaystyle v(t) &= \frac{3\sqrt{3}}{4}(1-t^2)\cdot (1+t)\cdot \frac{1}{3} \\ &= \frac{\sqrt{3}}{4}(1+t)(1-t^2) \\ \end{align}
である。(微分と増減表は略)よって$v(t)$の$0\leqq t \leqq 1$における最大値は$\displaystyle t=\frac{1}{3}$の時で$\displaystyle V=v\big(\frac{1}{3}\big)=\frac{8\sqrt{3}}{27}$