Hirsch 微分トポロジーの問題1.4.6
$C^\infty$級写像$f:D^3\to D^2$で$0\in D^2$が正則値で、$f^{-1}(0)$が結び目となるものが存在する。
直感的には、結び目に沿う管状近傍をとって、結び目上で大きさ$0$、管状近傍の外で大きさ$1$となるようなbump関数をとって、それを結び目に沿って滑らかに重ねていけば良さそうといのがあります。
![結び目!FORMULA[6][36957][0]](https://firebasestorage.googleapis.com/v0/b/mathlog-361213.appspot.com/o/uploads%2Fmathdown%2FMbvM3aS4SOGiFw724uqD.jpeg?alt=media)
結び目$K$
ただ、そうやって単純に構成した場合にうまくいくのは結び目が“単純”な場合だけで、ぐるぐると絡まっているような結び目だと、その大域的な構造からうまくいかないなと思うなど…。
もしかしたら上手くやればいけるのかもしれませんが。
$K$を所与の結び目とする。
このとき、明らかに$[D^3\backslash K:S^1]\simeq H^1(D^3\backslash K,\mathbb Z)=\mathbb Z$であるから、この同型の$0$でない代表元に対してWhitney近似を行い、$C^\infty$写像$f:D^3\backslash K \to S^1$をとる。
いま$K$に沿った十分小さい半径$\varepsilon$の管状近傍$N\subset D^3$をとり、その座標を$(t,r,\theta)\in N\approx [-1,1]×D^2$とする。
このとき、$f$を摂動して、$N\backslash K$上で$f(t,r,\theta)=e^{i\theta}$を満たすように$f$を取り直す。
ここで、滑らかな単調増加関数$\rho:[0,\varepsilon]\to [0,1]$で$\rho(0)=0,\rho(\varepsilon)=1$かつ原点近傍で奇関数かつ境界での任意の$n$階微分が$0$なるものをとり、$f$を、$N\backslash K$上で$\rho(r)e^{i\theta}$、$K$上で$0$となるように取り直す。
するとこの$f$は、$D^3\to D^2$の$C^\infty$級写像となる。
また、その構成の仕方から$f^{-1}(0)=K$であり、特にその上で$f$は正則である。
よってこの$f$が求める写像である。
原理はあまり分かってないですが、Pontryagin Thom constructionなる構成を使えばもっと直接的に示せるっぽいです。
