$$\newcommand{BA}[0]{\begin{align*}}
\newcommand{BC}[0]{\begin{cases}}
\newcommand{BE}[0]{\begin{equation}}
\newcommand{bl}[0]{\boldsymbol}
\newcommand{BM}[0]{\begin{matrix}}
\newcommand{D}[0]{\displaystyle}
\newcommand{EA}[0]{\end{align*}}
\newcommand{EC}[0]{\end{cases}}
\newcommand{EE}[0]{\end{equation}}
\newcommand{EM}[0]{\end{matrix}}
\newcommand{h}[0]{\boldsymbol{h}}
\newcommand{k}[0]{\boldsymbol{k}}
\newcommand{L}[0]{\left}
\newcommand{l}[0]{\boldsymbol{l}}
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\newcommand{n}[0]{\boldsymbol{n}}
\newcommand{R}[0]{\right}
\newcommand{vep}[0]{\varepsilon}
$$
予想（NKSβ）.$\hspace{5pt}$
$\BA\D\\ \lim_{w\to0}\frac{d}{dw}\sum_{n=0}^\infty \frac{\qty(a,1-a,b,1-b)_{n+w}}{\Gamma(1+n+w)^4}=\frac{1}{C\pi^2}\lim_{w\to0}\qty(\frac{d}{dw})^3\sum_{n=0}^\infty \frac{\qty(a,1-a,b,1-b)_{n+w}}{\Gamma(1+n+w)^4} \EA$
が成り立つような$(a,b,C)$の組について，$\BA\D\\ (a,b,C)=\qty(\frac{1}{2},\frac{1}{2},8),\qty(\frac{1}{2},\frac{2}{3},10),\qty(\frac{1}{3},\frac{1}{3},12),\qty(\frac{1}{2},\frac{1}{4},14),\qty(\frac{1}{3},\frac{1}{4},16),\qty(\frac{1}{4},\frac{1}{4},20),\qty(\frac{1}{5},\frac{2}{5},20),\qty(\frac{1}{2},\frac{1}{6},26),\qty(\frac{1}{3},\frac{1}{6},28),\qty(\frac{1}{4},\frac{1}{6},32),\qty(\frac{1}{6},\frac{1}{6},44),\qty(\frac{1}{8},\frac{3}{8},44),\qty(\frac{1}{10},\frac{3}{10},68),\qty(\frac{1}{12},\frac{5}{12},92) \EA$
がある。 $\hspace{5pt}$上記に対して，より一般的な次の等式が成り立ちます。
定理.$\hspace{5pt}$$m\ge2,0< a_j<1$とし，
$\BA\D\\ S(w)&:=\sum_{n=0}^\infty \prod_{j=1}^m\frac{\qty(a_j,1-a_j)_{n+w}}{\Gamma(1+n+w)^2}\\ x_j&:=\frac{1}{\sin^2 \pi a_j}\qquad(j=1,2,\cdots,m)\\ H(X)&:=1-\prod_{j=1}^m\qty(1-\frac{X}{x_j}) \EA$
とおきます。また，$k$次多項式$G_k(X)$を$\BA\D\\ G_1(X)=X,G_{k+1}(X)=4X^2(X-1)G_k''(X)+2X(3X-2)G_k'(X) \EA$
で定め，$\BA\D\\ H(X)=\sum_{k=1}^m c_kG_k(X) \EA$
と一意的に展開します。$\hspace{5pt}$このとき$\BA\D\\ \sum_{k=1}^m c_k\frac{S^{(2k-1)}(0)}{\pi^{2k-1}}=0 \EA$
が成り立ちます。 $\hspace{5pt}$先ず，$a_1,1-a_1,a_2,1-a_2,\cdots,a_m,1-a_m$がすべて異なる場合について考えます。重複する場合は，最後にパラメータに関する解析接続，すなわち極限操作によって処理します。
$\BA\D {\cal A}=\{a_1,1-a_1,\cdots,a_m,1-a_m\} \EA$
とし，次のガンマ商を定義します：
$\BA\D F_w(z):=\prod_{\alpha\in {\cal A}}\frac{\Gamma(z+w+\alpha)}{\Gamma(\alpha)\Gamma(1+z+\alpha)} \EA$
このとき
$\BA\D S(w)=\sum_{n=0}^\infty F_w(n) \EA$
です。
$\hspace{5pt}$また，
$\BA\D \rho\not\equiv\alpha\quad({\rm mod}\,1)\quad\land\quad\rho\in(0,1) \EA$
となる$\rho$を選んで固定します。十分に大きい自然数$M$に対して
$\BA\D R:=M+\rho \EA$
とおき，複素平面上で正方形$Q_R$を
$\BA\D Q_R:=\{s\in{\mathbb C}:|{\frak R}s|\le R,\,\,|{\frak I}s|\le R\} \EA$
で定め，その境界を$C_R$とします。
$\hspace{5pt}$$C_R$上で
$\BA\D \frac{\pi}{\tan\pi z}F_w(z) \EA$
を積分します。
$\hspace{5pt}$整数$z=n\in{\mathbb Z}$において，$\D\frac{\pi}{\tan\pi z}$は留数$1$をもちますので，単位極からの寄与は
$\BA\D \sum_{n\in{\mathbb Z}}F_w(n)=S(w)+N(w) \EA$
です。ただし
$\BA\D N(w):=\sum_{q=1}^\infty F_w(-q) \EA$
とします。一方で$F_w(z)$の非整数極は
$\BA\D z=-w-\alpha-l\qquad(\alpha\in{\cal A},\quad l=0,1,2,\cdots) \EA$
にあります。この点における$F_w(z)$の留数を
$\BA\D A_{\alpha,l}:=\underset{z=-w-\alpha-l}{{^*}\rm Res}F_w(z) \EA$
とおきます。これらは単純極です。ここで，$z=-w-\alpha-l$を他のガンマ因子に代入すると$\Gamma(\beta-\alpha-l),\Gamma(1-\alpha-l)$となるため，$A_{\alpha,l}$は$w$を変数にもちません。
$\BA\D A_{\alpha}:=\sum_{l=0}^\infty A_{\alpha,l} \EA$
とおきます。非負整数極において$\tan\pi(-w-\alpha-l)=-\tan\pi(w+\alpha)$なので，留数定理により
$\BA\D \boxed{\quad S(w)+N(w)-\sum_{\alpha\in{\cal A}}\frac{\pi}{\tan\pi(w+\alpha)}A_{\alpha}=0\quad} \EA$
です。
$\hspace{5pt}$次に，$F_w(z)$そのものを同じ$C_R$上で積分します。$w$は平行移動に過ぎないので，十分に大きいにおいては
$\BA\D \Phi(s):=F_w(z-w)=\prod_{\alpha\in{\cal A}}\frac{\Gamma(s+\alpha)}{\Gamma(\alpha)\Gamma(s+1)} \EA$
を考えれば十分です。$|s|\to\infty$において，Stirling の公式から
$\BA\D |\Phi(s)|\le {\rm Const.}\times\prod_{\alpha\in{\cal A}}|s|^{\alpha-1}={\rm Const.}\times |s|^{-m} \EA$
です。また，$C_R$上では$|s|\ge R$なので，
$\BA\D |\Phi(s)|\le{\rm Const.}\times R^{-m} \EA$
です。なお，$C_R$の左辺は${\frak R}s=-R$は実軸上の極に近づく点を含みますが，
$\BA\D \frac{\Gamma(s+\alpha)}{\Gamma(s+1)}=\frac{\sin\pi(s+1)}{\sin\pi(s+\alpha)}\frac{\Gamma(-s)}{\Gamma(1-\alpha-s)} \EA$
により発散を回避することができます。
$\hspace{5pt}$複素積分の基本的評価として，曲線$C$上で$|f(s)|\le M$が成り立ち，曲線の長さが$L$なら
$\BA\D \qty|\int_C f(s)\,ds|\le\int_C|f(s)||ds|\le M\int_C|ds|=ML \EA$
です。今回の場合は
$\BA\D \qty|\Phi(s)\,ds|\le {\rm Const.}\times R^{-m}\cdot 8R={\rm Const.}\times R^{1-m}\to0\quad (R\to\infty) \EA$
よって
$\BA\D \int_{C_R}\Phi(s)\,ds\to0 \EA$
です。$C_R$はすべての極を含むので，
$\BA\D \boxed{\quad \sum_{\alpha\in{\cal A}}A_{\alpha}=0\quad} \EA$
です。
$\hspace{5pt}$次に
$\BA\D N(w)=\sum_{q=1}^\infty F_w(-q) \EA$
の$w=0$における微分係数を調べます。$q=1,2,\cdots$に対して
$\BA\D F_w(-q)=\prod_{\alpha\in{\cal A}}\frac{\Gamma(w-q+\alpha)}{\Gamma(\alpha)\Gamma(w-q+1)} \EA$
ですが，反射公式により
$\BA\D \frac{\Gamma(w-q+\alpha)}{\Gamma(w-q+1)}&=\frac{\sin\pi(w-q+1)}{\sin\pi(w-q+\alpha)}\frac{\Gamma(q-w)}{\Gamma(q+1-\alpha-w)}\\&=\frac{\qty(-1)^{q-1}\sin\pi w}{\qty(-1)^{q}\sin\pi(w+\alpha)}\frac{\Gamma(q-w)}{\Gamma(q+1-\alpha-w)}\\&=-\sin\pi w\cdot\frac{\Gamma(q-w)}{\sin\pi(w+\alpha)\Gamma(q+1-\alpha-w)} \EA$
であるので
$\BA\D F_w(-q)=\qty(\sin\pi w)^{2m}\prod_{\alpha\in{\cal A}}\frac{\Gamma(q-w)}{\sin\pi(w+\alpha)\Gamma(q+1-\alpha-w)} \EA$
と書けます。$\alpha\in(0,1)$なので，十分に小さい$\epsilon>0$をとれば，$|w|\le \epsilon$において$\sin\pi(w+\alpha)$は一様に有界です。
また，$|w|\le\epsilon$上で
$\BA\D \frac{\Gamma(q-w)}{\Gamma(q+1-\alpha-w)}=O(q^{\alpha-1})\qquad(q\to\infty) \EA$
が成り立ちます。ここで定数は$w$に依存せず，$|w|\le\epsilon$上で一様にとれますので
$\BA\D \prod_{\alpha\in{\cal A}}\frac{\Gamma(q-w)}{\sin\pi(w+\alpha)\Gamma(q+1-\alpha-w)}=O\qty(q^{\D\sum_{\alpha\in{\cal A}}(\alpha-1)})=O(q^{-m}) \EA$
が$|w|\le\epsilon$上で一様に成り立ちます。$m\ge 2$なので，
$\BA\D \sum_{q=1}^\infty q^{-m} \EA$
は収束し，Weierstrauss の判定法により
$\BA\D \sum_{q=1}^\infty \prod_{\alpha\in{\cal A}}\frac{\Gamma(q-w)}{\sin\pi(w+\alpha)\Gamma(q+1-\alpha-w)} \EA$
は$|w|\le\epsilon$上で一様絶対収束します。
$\hspace{5pt}$以上より
$\BA\D \boxed{\quad N^{(r)}(0)=0\qquad(r=0,1,\cdots,2m-1)\quad} \EA$
が成り立ちます。
$\hspace{5pt}$簡単の為
$\BA\D X=X(w):=\frac{1}{\sin^2\pi(w+\alpha)} \EA$
とします。このとき
$\BA\D (X')^2=4\pi^2X^2(X-1),\qquad X''=2\pi^2X(3X-2) \EA$
が成り立ち，任意の多項式$G(X)$に対して
$\BA\D \frac{d^2}{dw^2}G(X(w))=\pi^2\L(4X^2(X-1)G''(X)+2X(3X-2)G'(X)\R) \EA$
が成り立ちます。これは$G_k(X)$の漸化式そのものです。したがって，数学的帰納法により
$\BA\D \boxed{\quad\lim_{w\to0}\L(\frac{d}{dw}\R)^{2k-1}\frac{1}{\tan\pi(w+\alpha)}=-\pi^{2k-1}G_k\qty(\frac{1}{\sin^2\pi\alpha})\quad} \EA$
が成り立つことがわかります。
$\hspace{5pt}$ここまでをまとめると，
$\BA\D &(1):S(w)+N(w)-\sum_{\alpha\in{\cal A}}\frac{\pi}{\tan\pi(w+\alpha)}A_{\alpha}=0 \\ &(2):\sum_{\alpha\in{\cal A}}A_{\alpha}=0 \\ &(3):N^{(r)}(0)=0\qquad(r=0,1,\cdots,2m-1) \\ &(4):\lim_{w\to0}\L(\frac{d}{dw}\R)^{2k-1}\frac{1}{\tan\pi(w+\alpha)}=-\pi^{2k-1}G_k\qty(\frac{1}{\sin^2\pi\alpha}) \EA$
でした。$k=1,2,\cdots,m$として，$(1)$式を$2k-1$回微分して$w=0$を代入すると，
$\BA\D S^{(2k-1)}(0)&=-N^{(2k-1)}(0)+\pi\sum_{\alpha\in{\cal A}}A_{\alpha}\lim_{w\to0}\L(\frac{d}{dw}\R)^{2k-1}\frac{1}{\tan\pi(w+\alpha)}\\&=0+\pi\sum_{\alpha\in{\cal A}}A_{\alpha}\L(-\pi^{2k-1}G_k\qty(\frac{1}{\sin^2\pi\alpha})\R)\\&=-\pi^{2k}\sum_{\alpha\in{\cal A}}A_{\alpha}G_k\qty(\frac{1}{\sin^2\pi\alpha}) \EA$
よって
$\BA\D \sum_{k=1}^m c_k\frac{S^{(2k-1)}(0)}{\pi^{2k-1}}&=-\pi\sum_{\alpha\in{\cal A}}A_{\alpha}H\qty(\frac{1}{\sin^2\pi\alpha}) \EA$
です。一方で，$\alpha=a_j$あるいは$\alpha=1-a_j$なら
$\BA\D \frac{1}{\sin^2\pi \alpha}=\frac{1}{\sin^2\pi a_j}=x_j \EA$
で，定義より
$\BA\D H(x_j)=1 \EA$
なので
$\BA\D H\qty(\frac{1}{\sin^2\pi\alpha})=1 \EA$
であり
$\BA\D \sum_{k=1}^m c_k\frac{S^{(2k-1)}(0)}{\pi^{2k-1}}&=-\pi\sum_{\alpha\in{\cal A}}A_{\alpha}=0\EA$
となりました。
$\hspace{5pt}$以上では$a_1,1-a_1,a_2,1-a_2,\cdots,a_m,1-a_m$がすべて異なる場合を仮定していました。パラメータが重複する場合は，非整数極が高階極になるため，単純極としての議論はそのまま適用できません。しかし，定理の両辺は$a_1,\cdots,a_m$に関して正則に依存します。実際，$S(w)$を定義する級数は$m\ge2$のもとで$w=0$近傍およびパラメータのコンパクト集合上で局所一様収束します。また，係数$c_k$は$x_k^{-1}=\sin^2\pi a_j$の対称多項式で構成されますので，$x_i=x_j$となる場合にも特異性をもちません。したがって，一般の位置で成立した恒等式をパラメータの極限によって移すことにより，任意の$0< a_j<1$に対して定理は成り立ちます。
$\hspace{5pt}$最後に，$m=2$での等式を確認しておきます。
$\BA\D x_1=\frac{1}{\sin^2\pi a},\qquad x_2=\frac{1}{\sin^2\pi b} \EA$
とおくと，
$\BA\D H(x)=1-\qty(1-\frac{x}{x_1})\qty(1-\frac{x}{x_2})=\frac{x_1+x_2}{x_1x_2}x-\frac{1}{x_1x_2}x^2 \EA$
であり
$\BA\D G_1(x)=x,\qquad G_2(x)=6x^2-4x \EA$
なので
$\BA\D H(x)=\frac{x_1+x_2-\frac{2}{3}}{x_1x_2}G_1(x)-\frac{1}{6x_1x_2}G_2(x) \EA$
です。定理により
$\BA\D \frac{x_1+x_2-\frac{2}{3}}{x_1x_2}\frac{S'(0)}{\pi}-\frac{1}{6x_1x_2}\frac{S'''(0)}{\pi^3}=0 \EA$
よって
$\BA\D S'(0)=\frac{1}{2\qty(3\qty(x_1+x_2)-2)\pi^2}S'''(0) \EA$
すなわち
$\BA\D S'(0)=\frac{1}{2\qty(3\qty(\frac{1}{\sin^2\pi a}+\frac{1}{\sin^2\pi b})-2)\pi^2}S'''(0) \EA$
となります。実際，これで予想の式が成り立つことがわかりました。
